Глухов М. М. Алгебра том 1, страница 53

Покажите, что центр конечной неабелевой группы есть подгруппа не простого индекса. 36. Опишите все конечные группы, разбивающиеся на 2 класса сопряженных элементов. 37. Подгруппы А и В группы (С, ) называются сопряженными, если В = д 1Ад для некоторого у Е С. Докажите, что число подгрупп группы С, сопряженных с А, равно )С: Ис(А)~. 38. Докажите, что группа диэдра Р„порождается подстановками д = (в в... "„1",) и о = ( в,...

",), и не коммуеаеивна. Поважнее, что Рз = ~з, а Р4 содержит подгруппу Клейна К4 39. Докажите, что группа С движений тетраэдра есть А4, и опишите движения, составляющие в С подгруппу Клейна К4. 40. Докажите, что группы движений куба и октаэдра изоморфны. 41. Опишите возможные порядки элементов и экспоненты групп Я„, п < 6, перечислите их классы сопряженных элементов. 302 303 а=о Ы Е 1,п: р~й ~ р~$к. ~ск Р ~ 'Й~ (а =,9 ~ ~(, ) = у(,9)) ) з 305 304 П Заказ Хю 571, ' ' 'а~-1) цикл длинны й р~ Докажите, что у™ есть произведение а' независимых циклов длины е' = й. Н' И-1 У = П(а„а„а<а+„,>,..., а а<а+<Е-Ц.

'1) где т~(х) — остаток от деления х на Й. 43. Докажите, что для подстановки у Е Я„с цикловой структурой ~1",2'з,..., и'"] и для любого простого р Е И уравнение х" = д разрешимо в Я„тогда и только тогда, когда 44. Докажите, что А„= ((1,2,3), (1, 2,4),..., (1,2, и)). 45. Покажите, что если в группе С ( Я„есть нечетная подстановка, то множество Н всех ее четных подстановок есть подгруппа индекса 2.

46. Пусть С~ — множество всех циклов длины й > 1 в Я„. Найдите ~С~~. Покажите, что (С~) = А„, если й — нечетно, и (С~) = Я„, если й — четно. 47. В условиях предыдущей задачи покажите, что для некоторого е Е Е И выполняется равенство Я„= С2 0 С22 0 ... 0 С2, и найдите наименьшее е' с этим свойством. 48. Докажите, что подстановки у = (0,1,..., п — 1) и и = (О, а) на множестве О, п — 1 порождают группу Я(0, п — 1) тогда и только тогда, когда (а, п) = 1. (При условии (а, п) = т > 1 покажите, что любая подстановка ~ Е (у, и) обладает свойством 49. Опишите с точностью до изоморфизма все группы порядков 2 — 7.

50. Пусть у = (О, 1,..., п — 1) — подстановка на кольце У„. Докажите, что нормализатор подгруппы С = (у) в группе Я(У„) есть АСЦ1, У„). 51. Пусть у Е Я„и ого у = т. Докажите, что ~И~„((у))~ = у(т) ~И~„(у) ~. (Для этого докажите соотношения: и Е ~я„((у)) 4=~ *и 'у'и Е (у) 4=~ и 'уп = у", й Е У* .) 52. Докажите, что при п > 3 центр группы Я„ тривиален. и из ~~31, опр деляемые условиями ~ 53. Пусть ~ и у — подстановки из Ча Е Ж а = а+ 1). Докажите, что в группе =, д ле С= (~ ) лежит множество Н = (и е Я(Ж): ~п1оЬ ( оо и имеющая конечной сис темы об.

азующих. е "быть нормальным дели телем" на мно- 54. Покажите, что отношение г пп группы Я4 не транзитивно. жестве всех подгрупп гр, 55. Докажите, что если Н ( С, И (С тодд 1м елителем, т. е. если С, в которой Н является нормальным д "(И,Н,. если Н < Я„и в Н есть трансп спозиция, то Н = Я„. 56. Докаж~т~, что если и 57.

Докажите, что для подгру ппы Н группы сл ждения эквивалентны: а) Н<С; классов сопряженных элементов из б) Н вЂ” объединение некоторых классов сопряж С; некото ых классов сопРяженных ) Н (~) где ~ — объединение некотоРых элементов из С; п 4 и В группы (С, ') эквивале 58. Докажите, что для подгруп~ утверждения: а) С=АхВ; б) С= АВ, А<С, В<С, АПВ = е. 59. Докажите следующее соотношения: а) (С*/Й>о, ) = Г; б) С /ГМВ*„; в) Г/Г МГ; г) тУ/тпУ И Ж„; д) Я„/А„= Ж2, е) ~4/К4 = ~зз ж) Щ/Ж И Т(С').

— по пп = х  — по ппыгруппыСи С=Ах 60. Докажите, что если А,  — подгрупп то А < С и С/А М В. — не абелева группа, то С/С(С) — не 61. Покажите, что если С вЂ” не абелева групп, циклическая группа. : Н = и и (т, п) = 1. Докажите, что 62. Пусть Н< С, ~Н~ = т, ~С: Н~ = п и т,п (С ) 63. Коммутатор ато ом элементов д, Ь группы, н пы С называется ее подгруппа (уй~= -д у. 1 — 6 1 1 и. Коммутантом группы назыв С(И) = (д е С: Ид = О).

307 306 ~С, С], порожденная коммутаторами всех пар элементов из С. Докажите, что ~С, С] < С, и если Н < С, то группа С/Н абелева тогда и только тогда, когда [С, С] С Н. 64. Докажите, что ~Я„, Я„] = А„. 65. Пусть ~р: С вЂ” К гомоморфизм групп, и Н < С. Докажите, что р(Н) «р(С) и ~р(С)(~р(Н) М С/НКег~р. 66. Пусть А<В<(С, ) и Н<С. Докажите, что АН < ВН и ВН(АН и В(А(В й Н). 67. Используя теоремы Силова и теорему Бернсайда, докажите, что все не коммутативные группы порядка и ( 60 не просты.

Докажите это же, не пользуясь теоремой Бернсайда. 68. Вычислите порядок группы РБЦтп, д) и докажите, что группы РВ1(2, 2) и РБИ2, 3) не являются простыми. 69. Докажите, что любая группа порядка 2р, где р — простое, непроста. 70. Докажите коммутативность всех групп порядка 15. 71. Пусть А,  — группы и А ( А1, В1 ( В. Покажите, что С = = А1 З В1 — подгруппа А З В. Докажите, что если А и  — конечные группы, то в А З В все подгруппы С имеют указанный вид тогда и только тогда, когда (]А],]В]) = 1. 72.

Пусть А,  — конечные подгруппы абелевой группы (С, +). Докажите, что если (]А], ]В]) = 1, то для любой подгруппы С < С верно равенство С й (А+ В) = (С й А) + (С й В), а если А й В = 0 и (]А], ]В]) ф 1, то существует подгруппа С ( С, для которой это равенство неверно. 73. Пусть р — наименьший простой делитель порядка конечной группы С, Н ( С и ]С: Н] = р.

Докажите, что Н < С. Глава ХП КОНЕЧНЫЕ АБЕЛЕВЫ ГР'УППЫ В предыдущей главе читатель уже заметил, что условие коммутативности группы существенно облегчает изучение многих ее свойств. Это естественно наводит на мысль о целесообразности отдельного систематического изучения коммутативных групп. Кроме того, абелевыми группами настолько "пропитана" вся алгебра, что изучение их строения необходимо не только в теоретико-групповых, но и в общематематических интересах.

В настоящее время теория абелевых групп развита весьма глубоко, однако полного описания их строения не существует. В данной главе дается полное описание строения лишь конечных абелевых групп. ~ 1. Каноническое разложение конечной абелевой группы Согласно теореме 10.Х1 любая конечная циклическая группа либо примарна, либо есть прямая сумма примарных циклических подгрупп. Этот результат следующим образом обобщается до основной теоремы о строении конечных абелевых групп. Т е о р е м а 1.

Любая конечная абелева группа (С, +) либо являетпся примарной циклической группой, либо раскладываетпся в прямую сумму примарных циклических подгрупп: С = (~1) +... + (~~), ог6 ~; = р~', р1,..., р~ — простпые числа. (1) Заметим, что числа р1,...,рт в разложении (1), вообще говоря, не являются попарно различными. Рассмотрим сначала случай, когда С вЂ” примарная группа. Напомним, что согласно утверждению 2.Х1 в группе С существует элемент, порядок которого равен ее экспоненте. Для произвольного Ы Е Я обозначим через С(И) подгруппу группы С вида Л е м м а 1. Пустпь С естпь р-группа, ехр С = р™ и ~ — элемент порядка р из С.

Тогда следующие утпверждения эквивалентпны: а) С = (Д вЂ” циклическая группа; б) С(р) — циклическая группа; в) С(р) С (Ц. П а) ~ б) По теореме 4в).Х1 любая подгруппа циклической группы С вЂ” циклическая группа. б) ~ в) Так как ехрС(р) = р и С(р) — циклическая группа, то она порождается любым элементом порядка р из группы С. Поскольку ого р 1~ = р, то С(р) = (р 1~> С (Д. в) ~ а) Допустим, что С ф (~>.

Выберем в С~ (~) элемент у наименьшего возможного порядка. Тогда ого'рд < ого д < р™ и, следовательно, рд Е ((), т. е. рд = К~ для некоторого К Е М. Так как огсз К~ < р™ = огсз ~, то р~К, скажем т. = р/с, й Е М. Тогда р(д — /с~) = 0 и д — й~ Е С(р) С (~). Отсюда д Е (Ц. Противоречие. П Л е м м а 2. В условиях леммы 1 сущестпвуетп подгруппа Н < (С, +) тпакая, чтпо С = (~) + Н. П Пусть |С~ = р'. Докажем лемму индукцией по параметру з. Если з = 1, то утверждение очевидно: С = (~) и Н = О. Пусть т > 1 и лемма верна для всех групп с условием з < т.

Докажем лемму для случая, когда в = т. Если С = (Я, то лемма верна. Пусть С ф (Я. Тогда по лемме 1 существует элемент а Е С(р) ~ (~). Рассмотрим факторгруппу С = = С/(а) и канонический эпиморфиэм ~р: С вЂ” > С. Для любого у Е С положим д = ~р(д). Заметим, что ого~ = р~. Действительно, в противном случае р ~~ = О, т.