Глухов М. М. Алгебра том 1, страница 55

Выберем теперь в каждой из групп Г„,. один первообразный корень ы;,г = 1,т. Тогда каждый из корней е; из (15) можно будет записать в виде е; = ш,", где 1; Е О,п, — 1. В итоге набор (е1,е2,...,е„,) однозначно определяется набором целых чисел (т,1, 12,..., 1, ), где ~, Е Е О, и, — 1, г Е 1, т. Соответствующий этому набору характер обозначим чеРез Х1, т, т . Равенство (15) тепеРь пРимет виД: Так как каждый элемент группы С однозначно представляется в виде у ' у2" ...

у',1; Е О,п, — 1,г = 1,т, то в итоге мы имеем биективное отображение о группы С на множество С всех ее комплексных характеров: В связи с этим характеры естественно проиндексировать не наборами целых чисел, а элементами группы С, обозначив ш ш ""Р 1=1 1=1 (17) (19) Х,(с)Хь(с) = ~С! о,ь, сЕС (ю Ф)(д) = р(д) Ф(д). (20) ' ) Хс(а)Хс(Ь) = ~С! Ьа,ь сЕС где Х„(с) Х,(с) = ~Х„(с)~ = 1.

тп ",).Х.(с)хь(с) =,"). П,""' сЕС характп еров: (18) Ча,Ь Е С: Х~(Ь) = Хь(а). 317 316 где у = д~' у2 ... у'"". Тогда равенство (15) можно записать в следующем виде: а равенство (16) в виде о(д) = Хд, д Е С. На множестве С всех характеров группы С можно определить операцию умножения, положив для 1р, ф Е С и д Е С: Так как С вЂ” абелева группа, то 1р ф также является гомоморфизмом группы С в С'.

В итоге мы имеем группоид (С, ). Из равенства (17) сразу следует, что биекция о является изоморфизмом группы С на группоид С, и, значит, С тоже группа. В итоге доказана Т е о р е м а 6. Характеры конечной абелевой еруппы С образуютп группу С отпноситпельно операции умножения характперов, и этпа группа изоморфна аруппе С. Учитывая, что С вЂ” группа, определим порядок характера Х группы С как порядок элемента в группе С. Характер Х, порядка 1, т. е.

равный тождественно единице, является единицей группы С. О п р е д е л е н и е 5. Пусть Х Е С. Отображение Х: С вЂ” > С', определенное по правилу Х(д) = Х(д), где Х(у) — число, сопряженное с Х(у) в С, называется характпером, сопряженным с Х. Нетрудно заметить, что определение сопряженного характера корректно (Х действительно лежит в С).

Более того, так как значения характеров являются в С корнями из 1, а число, обратное к корню из единицы, совпадает с сопряженным к исходному, то характер Х, обратный к Х в группе С, совпадает с Х. Непосредственно из (17) следует Т е о р е м а 7. При указанной выше нумерации характперов еруппы С элементпами из С имеетп местпо соотпношение двойственности для С л е дс т в и е.

Если а,Ь Е С, тпо найдетпся тпакой характпер Х ~ С, чтпо Х(а) ф Х(Ь). Действительно, в противном случае мы бы имели Хс(а) = Хс(Ь) или в силУ (18) Х (с) = Хь(с) для всех с Е С, т. е. Хс = Хь, что пРотивоРечит условию а ф Ь. Приведем еще ряд менее очевидных свойств характеров. Т е о р е м а 8. Для любых двух характперов Х, Хь еруппы С выполняютпся равенстпва: б,,ь= 1, еслиа=Ь вЂ” символ Кронекера. О, если а ф Ь Равенства (19) и (20) называются соответственно первым и вторым соотношениями ортпоаональности для характеров группы С. П В силу соотношения (18) доказать достаточно лишь одно из равенств (19), (20). Докажем (19). При а = Ь равенство (19) выполняется, поскольку для любого с е С Пусть а ф Ь,а = П д,".,Ь = П д,".,с = П д,', где ~;,з;,й; Е О,п; — 1. 4=1 4=1 4=1 т 1-1 Тогда, используя равенство (17) и соотношение Х (с) = Х~(с), получим: где г; = 1; — з;, г Е 1, т.

Так как а ф Ь, то найдется такое 1 Е 1, т, что 1~ ф з . Тогда т~ ф 0(шос1 и ), и потому ш.' ф 1. Значит, ат — 1 гт йт ь,.=о ' Ш,"' — 1 б: (СГ(д);+) - (7;,)™м, Ха(с) = ~~~ Хс(а) = ~С~ ба е ,Ь,(х) = оа1'1+ "+""""' сЕС сЕС С(Х, а) = ,'~ Х(х) жесР(д) (21) (22) 318 319 и равенство (19) верно.

П Из (19), (20) при Ь = е получаем С л е д с т в и е. Для любого а е С выполняютпся равенстпва ~ 5. Характеры конечных полей и суммы Гаусса О п р е д е л е н и е 6. Пусть СГ(д) — конечное поле порядка д. Характеры его мультипликативной группы СГ(д)' и аддитивной группы (СГ(д), +) называются соответственно мультипликатпивными и аддитпивными характерами поля СГ(д). Соответствующие группы характеров поля СГ(д) обозначим через (д) и СГ(д).

Условимся обозначать мультипликативные и аддитивные характеры поля СГ(д) соответственно буквами Х и ф с индексами. Так как группа СГ(д)' — циклическая порядка д — 1, то в силу теоремы 6 группа СГ(д)' — циклическая порядка д — 1. Поэтому все мультипликативные характеры поля СГ(д) имеют своими порядками делители числа д — 1, и для каждого делителя И числа д — 1 существует ~р(а) характеров порядка а. Группа (СГ(д), +) является элементарной абелевой р-группой, где р = сЬахСГ(д), и, значит, все нетривиальные аддитивные характеры поля СГ(д) имеют порядок р.

Установим связи между мультипликативными и аддитивными характерами поля СГ(д). Для этого нам понадобятся так называемые тригонометрические суммы Гаусса. О п р е д е л е н и е 7. Суммой Гаусса для мультипликативного характера Х и аддитивного характера ф поля СГ(д) называется комплексное число С(Х, Ф) = ~, Х(х) ф(х). жесР(д)' Аддитивные характеры поля СГ(д) тоже можно занумеровать элементами из СГ(д). Если'д = р™, то имеет место изоморфизм и каждому элементу а Е (СГ(д), +) однозначно ставится в соответствие вектор б(а) = (а1,а2,...,а ), где а; Е О,р — 1. Выберем в С' первооб- разный корень степени р из единицы ш = ег '~" и обозначим через ф, характер, определенный равенством где (х1,...,х ) = б(х).

В частности для простого поля СГ(в) (когда в = р) 4,(х) = ш' . В этом случае сумма Гаусса С(Х,ф) обозначается также символом С(Х, а) и определяется равенством Кроме того, в этом случае С(Х, е) обозначают через С(Х). Теперь можно сформулировать теорему о соотношениях между характерами из СГ(д)' и СГ(д). Т е о р е м а 9. Пустпь Х и ф соотпветпстпвенно мультпипликатпивный и аддитпивный характперы поля СГ(д). Тогда для любого а е СГ(д)' выполняютпся соотношения: 1 Х(а) = —,'~ С(Х, Фь) Фь(а), ЬЕСР~д) 1 Ф(а) = ,'~ С(хь Ф) Хь(а).

ЬЕСР(д) П Формулы (21), (22) доказываются непосредственным вычислением их правых частей с использованием опреления 7 и второго соотношения ортогональности для аддитивных и мультипликативных характеров поля СГ®. П В связи с теоремой 9, а также в связи с другими приложениями сумм Гаусса, представляет интерес задача вычисления их значений. Частичное решение этой задачи содержит следующая теорема о свойствах сумм Гаусса. Т е о р е м а 10. Для любьиг )( Е СГ(д)' и ф Е СГ(о) выполняются соотношения: Учитывая следствие теоремы 8 для характера )(, получаем равенство б).

П я — 1 ес Х = Х. Ф = Фо, а) С()(, ф) = — 1, если )( = )(, ~ Ф ~о О, если)(ф)(, ф=фо, б) С(х, Ф) С()(, Ф) = я, если Х Ф х Ф Ф Фо в) ~С(Х, Ф) ~ = Я, ес и Х Ф Х., Ф Ф Фо. П Равенства утверждения а) следуют непосредственно из опреде- лений и следствия теоремы 8. Равенство в) следует из б). Проверим равенство б): Задачи С(ж Ф) С(Х Ф) = ~~~, Х(а) Ф(а) ~~~, Х(Ь) Ф(Ь) ае СР(д) ьеСР(д) )((а))((Ь) ф(а)ф(Ь) = а,ЬЕСР(д)' 1'(а Ь ) ф(а — Ь). а,ЬЕСР(д)' Сгруппируем слагаемые по параметру И = а Ь 1.

Получим (прибавляя и вычитая ф(0)): С()(, Ф) С(Х, Ф) = ~ ~Х(И) ~ ~Ф(Ь (И вЂ” е)) — ~(0) сМСР(д)' ьеСР(д) Заметим, что при И ф е элемент Ь (И вЂ” е) пробегает вместе с Ь все поле СГ(д), и в этом случае согласно следствию к теореме 8: и для каждого г Е 1, а выполняются соотношения ~(Ь (а — е)) = О. ьеСР(д) Если же И = е, то ,'~ ф(Ь (И вЂ” е)) = о. Отсюда ьеСР(д) 7.

Составить таблицу характеров группы Уа. 320 321 П1=п,2=...=п,ь,.)п;~,.+, >...>пи, Докажите, что ехрС = т = р1" р2" ... р,"", и число элементов ! порядка т в группе С равно п 1 — ( —Ђ ) ... 1 — ~ †) \, Р1 рз 1. Опишите все конечные абелевы группы, в которых любая собственная подгруппа — циклическая. 2. Пусть С вЂ” конечная абелева группа с каноническим разложением (11). Докажите, что минимальная мощность системы образующих группы С есть р(С) = шах(11,...,1„). 3.

Назовем два канонических разложения абелевой группы С (в прямую сумму подгрупп) эквивалентными, если они различаются лишь перестановкой слагаемых. Опишите все классы эквивалентных канонических разложений для групп Ж2 ® Ж2 Жа ® Жа Жа ® Ж2 Жр ® Жр (р простое). Докажите, что любые два канонических разложения группы С эквивалентны тогда и только тогда, когда С вЂ” циклическая группа. 4.

При каких условиях на п Е Я существует ровно Й классов изоморфных абелевых групп порядка п, й Е (1, 2, 3, 4)? 5. Пусть М(п, т) число классов изоморфных абелевых групп порядка п с экспонентой т. Докажите, что: а) М(п, т) ) 0 тогда и только тогда, когда т~п и каждый простой делитель р числа п делит т; б) М(п,т) = 1 тогда и только тогда, когда выполняются условия пункта а), и для каждого простого, делящего п, либо р2 не делит т либо р2 не делит — ". 6.

Пусть С вЂ” абелева группа порядка п, ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ УКАЗАТЕЛЬ ИМЕН 323 322 Абель Н. Х. — 7, 47, 239 Адамар Ж. — 77 Архимед — 25, бб Безу Э. — 179, 180, 188, 191, 196 Бернсайд У. — 239, 262, 268, 269, 296, 306 Бине Ш. Ф. М. — 135 Валле Пуссен Ш. Ж. — 77 Вандермонд А. Т. — 135, 180 Виет Ф.

— 5, 211 Вилес А. — б Вильсон Д. — 101 Виноградов И. М. — 78 Галуа Э. — 7, 57, 239, 294 Гаусс К. Ф. — 5, б, 160, 161, 168, 195, 197, 302, 318, 319 Гольдбах Х. — 78 Граве Д. А. — 8 Дедекинд Р. — 24 Декарт Р. — 5 Диксон А. Л. — 296 Дирихле П. Г. — 77 Евклид — 68, 69, 70, 76, 77, 99 Жордан К. М. Э. — 239, 295, 296 Кантор Г. — 9 Капелли А.— 161, 168 Кардано Д. — б Клейн Ф. Х. — 7, 239, 285, 294, 303 Коши О. Л. — 135, 280, 297, 298 Крамер Г. — 156, 159, 163 Кронекер Л. — 134, 161, 168,200, 317 Кэли А.

— 45, 46, 56, 57, 58, 239, 263, 264, 279 Лагранж Ж. Л. — 5, 181, 239, 249, 251, 252, 258, 259, 268, 276, 296, 297, 298, 302 Лаплас П. С. — 119, 123, 131 Лежандр А. М. — 76, 77 Ли С. М. — 239 Лобачевский Н. И. — 8 Мерсенн М. — 78 Молин Ф. Э. — 8 Муавр А. — 83, 84, 85 Мухаммед ал-Хорезми — 5 Ньютон И. — 5, б, 35 Пеано Д. — 24 Руффини П.