Глухов М. М. Алгебра том 1, страница 3

Множество всех прообразов элемента Ь из В называется его полпым прообразом и обозначается через У 1(Ь). Таким образом, У '(Ь) = (а: а Е А, Да) = Ь), или несколько короче, ~ 1(6) = (а е А: Да) = 6). Естественным пу- тем определяется образ ДА1) подмножества А1 из А и полный прообраз ~ 1(В1) подмножества В1 из В при отображении ~: у(А1) = Ц (Да)), и ~ 1(В1) = Ц Г (6). аеА1 ЬЕВ1 Отображение множества А в В называют также функцией, заданной на множестве А со значениями в множестве В.

При этом элемент ~(а) называют значением Функции ~ в точке а, а множество всех пар вида (а, 6) где а е А, 6 е В и Яа) = 6, — графиком функции, или отоб- 3 а м е ч а н и е 1. Приведенное выше определение отображения не является математически строгим, поскольку в нем используется неопределенный термин "правило". Для строгого определения понятия отображения используется подход через график. А именно, отображение ~: А — ~ В отождествляется с его графиком, который уже определяется строго, как подмножество М декартова произведения А х В, содержащее для каждого элемента а е А единственную пару с первым элементом а.

При таком определении отображения ~ равенство Да) = 6 означает наличие в М пары (а,Ь). В зависимости от свойств образов и прообразов различают отображения сюръективные, инъективные и биективные. О и р е д е л е н и е 6. Отображение ~: А — ~ В называется сюраективным если каждый элемент из В является образом хотя бы одного 1 элемента из А, то есть ~(А) = В. О и р е д е л е н и е 7. Отображение ~: А — + В называется инаективным, если оно разные элементы множества А отображает в разные элементы множества В. Инъективные отображения называют также вложениями. О и р е д е л е н и е 8. Отображение ~: А — ~ В называется биективным, или взаимно оокозначным отображением А на В, если оно сюръективно и инъективно. П р и м е р 1. Определим отображение ~1.

У, — ~ Ио, положив для або: где ~а~ — абсолютная величина числа а. Очевидно, что ~1 — сюръективное, но не инъективное отображение. П р и м е р 2. Отображение Ь. У вЂ” ~ Ио, определенное равенством: 2 а, если а>0, ~2а~ — 1, если а < О, является биективным отображением. Примером биективного отображения множества А на себя является тождественное отображение ел, или просто е, которое любой элемент из А отображает в себя ел(а) = а. О п р е д е л е н и е 9.

Композиций отображений ~1.  — ~ С и Ь. А — ~ В называется отображение ~1 о Ь. А — ~ С, определенное условием: Ю о Ь)(а) = Л(Ь(а)) для любого элемента а е А. То же самое отображение называют еще произведением отображений Ь и ~1 и обозначают в виде Ь ~1, или Ь~1. Таким образом, (Ь Л) (а) = Л (Ь(а)). Отметим некоторые свойства введенных операций. У т в е р ж д е н и е 1. Если ~1 .. А — ~ В, Ь.  — ~ С, ~з. С вЂ” ~ Р, тио Уз о ~г) о Л = 1з о (Ь о Л). (2) П Н Найдем образ элемента а из А при действии отображений, записанных в левой и правой частях равенства (2). Из (1) имеем Яз о Ь) о ~1)(а) = (~з о Ь)(~1(а)) = ~з(Ь®(а))), (~з о (Ь о ~1))(а) = ~зонг о ~1)(а)) = ~з(Ь(Яа))). Отсюда и следует (2). П С использованием операции умножения равенство (2) запишется в виде ЯЬ~з) = ЮЬ)~з. У т в е р ж д е н и е 2.

Если отиображения ~1. А ~ В, Ь.  — ~ С сюрьек:тивны, иньективны или биек;тивны, тио соответстивенно таким же будет и отиображение ф = Ь о ~1 —— ~1~г. П Действительно, из сюръективности Ь и ~1, следует соответственно: для любого с е С существует такой элемент 6 е В, что Ь(6) = с, и 14 ой элемент а Е А, что ~1(а) = 6. Отсюда имеем: Ф(а) = Ь(Ь(а)) = = у (6) = с, и отображение ф сюръективно. Если же ~1, ~г инъективны и а1 ~ аг, то Ь(а1) 1 Ь(аг) " Ь%(а1)) ~ ~ у (у (а )), т.

е. ф(а1) ф- ф(аг), и Ф вЂ” инъективно. П Заметим, что обратные утверждения в общем случае неверны. Так, например, тождественное отображение ен представляется в виде композиции ен = Ь о ~1, где ~1 — не сюръективное отображение И в И, определенное условием ~1(х) = х+ 1, а Ь вЂ” не инъективное отображение И в И, определенное следующим образом: х — 1, еслихЕИих>1, Ь(х) = 1, если х=1. Вместе с тем имеет место У т в е р ж д е н и е 3. Пусть ф = ~1 Ь. Тогда: если ф — сюрьективно, тио Ь вЂ” сюрьективно; если ф — иньективно, тио ~1 — иньек:тивно.

Утверждение 3 легко доказывается методом от противного (докажите в качестве упражнения). Характерной особенностью биективных отображений является наличие для них обратных отображений. О п р е д е л е н и е 10. Отображение ~: А ~ В называется обратимым, если существует такое отображение ~'.  — + А, что ~~' = ел, ~'~ = ед. При этом отображение ~' называется обратным для ~ и обозначается через ~ Имеет место следующий критерий обратимости. У т в е р ж д е н и е 4.

Отиображение ~: А ~ В обратиимо тиогда и тиолько тиогда, когда оно биектиивно. П Если ~ — обратимо, то его биективность (и биективность обратного к нему отображения ~') следует из утверждения 3. Обратно, пусть отображение ~: А — + В биективно. Определим отображение ~'.  — А, положив для 6 Е В: ~'(6) = а, если Да) = 6. Такое а найдется в силу сюръективности ~ и это а единственно в силу инъективности ~. Следовательно, отображение ~' определено корректно.

Очевидно, что оно является обратным для ~. П О п р е д е л е н и е 11. Множества А и В называют равномощными, и пишут ~А~ = ~В~, если существует биективное отображение ~: А — ~ В. О п р е д е л е н и е 12. Множество А называется конечным, если оно пусто или равномощно отрезку 1, п натурального ряда И. В послед- 15 0 (У(а)) Так как ~Ща))~ = 1 при любом а Е А, то равенство аЕА 0 (У(А)) = ~А~ возможно лишь в том случае, когда Да1) ф.

да2) аЕА и любых значениях а а А. т пр г Е Э о означает, что ~ инъективно. Обратно, пусть ~ — инъективно. Тогда оно разные элементы отобража- ет в разные, и поэтому ~ДА)~ = Д (Да)) = ~А~. Отсюда и из условия аЕА ~А~ = ~В~ имеем: ~ДА)~ = ~В~. Теперь, учитывая включение А с В У( ) и конечность множества В, получаем: ДА) = В. Следовательно, ~— сюръективно. О Наряду с понятиями теории множеств в современной математике широко используются язык и средства математической логики. Подробно они будут изучаться в отдельном курсе. Здесь же мы остановимся нем случае число п называют мощностью множества А, а само А — п-элементным множеством. Мощность пустого множества считается равной нулю. Все остальные множества называются бесконечными. Мощность конечного множества А обозначается через ~А~, тот факт, что А — конечно, записывается в виде ~А~ ( оо.

Заметим, что в определении 12 конечного и бесконечного множества используется знание натурального ряда чисел. В принципе без этого можно обойтись, если воспользоваться следующим характеристическим свойством бесконечных множеств. Любое бесконечное множество равномощно некоторому своему собственному подмножеству. Однако мы не будем здесь вдаваться в тонкости теории множеств, а будем считать, что множества натуральных, целых, рациональных и действительных чисел читателю известны из средней школы. Для отображений конечных множеств справедливо У т в е р ж д е н и е 5. Если А,  — конечные и равномощные множества, тио для любого отиображения ~: А — ~ В эквивалентпны условия: а) ~ — сюрьективно; б) ~ — инъективно; в) ~ — биективно. О Из определений 6 — 8 видно, что для доказательства утверждения 5 достаточно установить эквивалентность а) и б).

Пусть ~ — сюръективно, т. е. ДА) = В. Тогда ~В~ = ~~(А)~ лишь на обозначениях основных логических операций и их использовании для сокращений записи утверждений. Основным неопределяемым понятием математической логики является понятие высказывания. Обычно под высказыванием понимают любое утверждение, про которое можно сказать, что оно истинно или ложно, и не может быть одновременно истинным и ложным. Если высказывание а истинно (ложно), то говорят, что оно имеет значение "истина" (" ложь" ) и пишут а = и (а =— л ). Основными логическими операциями над высказываниями являются: коньюнкция й, дизьюнкция Ч, импликация => и отрицание Первые три из них соответствуют в русском языке соединению двух утверждений союзами "и", "или", "если ..., то", отрицание соответствует вставке частицы "не".

Значения получаемых таким образом высказываний определяются значениями исходных высказываний и соответствующими операциями на множестве (и, л), которые определяются следующей таблицей. Таблица 1 Обратите особое внимание на импликацию а ~ 6 высказываний а, 6. Она является ложной лишь в том случае, когда а — истинное, а 6— ложное высказывания. В частности, если а = л, то высказывание а ~ 6 истинно, но это не означает, что истинно высказывание 6, оно может быть любым. В связи с этим говорят: "из лжи следует все, что угодно". Кроме утверждений, имеющих вполне определенные значения — истину или ложь, в математике широко используются предложения, зависящие от переменных со значениями из заданных множеств и превращающиеся в высказывания при замене в них всех переменных любыми значениями из рассматриваемых множеств. Такие утверждения называют предикатами.

В целях общности к предикатам относят и высказывания. Примером предиката может служить неравенство "т < у" на множестве К. Само оно не является выска- 16 17 (3') (4') Чт1 е А: р(х1,а2,...,а„), Зт1 е А: р(т1, а2,..., а„). Ю8~В = в, лая — = ч8~кв~ ч = ч ~к (р Зс О) 8с г = р й (о й г), рйд=рЧд, р й (д ~ ) = (р й д) ~ (р 8с г), лчеь= — чаю (р~о) ~г = р~ (О~г), р~о= — равд, рч (дйг) = (рная) 8с~рчг). Чт1 е А: р(т1,...,т„), (3) Зт1 е А: р(х1,..., т„).

(4) 19 18 зыванием. Однако при замене т, у действительными числами становится высказыванием: "2 < 3" — истинное высказывание, "5 < 1" — ложное высказывание. К предикатам относятся, в частности, все уравнения с неизвестными на множестве К или любом его подмножестве М. Заметим, что строго предикат р от и переменных на множестве А можно определить как отображение р: А" — ~ (и, л).