Глухов М. М. Алгебра том 1, страница 2

Этот результат Галуа имеет принципиальное значение не столько потому, что закрыл проблему о разрешимости уравнений в радикалах, сколько потому, что положил начало новому этапу развития алгебры. Дело в том, что для решения указанной проблемы Галуа развил зарождавшиеся к тому времени теорию групп и теорию полей. Позднее эти теории нашли глубокие приложения как в самой алгебре, так и в других областях науки (в геометрии, кристаллографии, физике, химии и др.). Так, например, в 1872 г.

немецкий математик Ф. Х. Клейн (1849 — 1925) в работе, известной под названием "Эрлангенская программа",предложил новый подход к классификации и изучению геометрий, основанный на инвариантах групп, рассматриваемых в геометриях преобразований пространств. В 1890 г. русский кристаллограф и геометр Е. С. Федоров (1853 — 1919), основываясь на свойствах групп преобразований, дал полную классификацию пространственных решеток кристаллов. С современной точки зрения, группы и поля являются типичными примерами множеств с операциями, или, как говорят, алгебраических структур. Общее определение операции сформировалось путем абстрагирования от известных операций сложения и умножения чисел. В соответствии с этим, под операцией ~ на произвольном множестве А понимают правило, по которому любым двум элементам из А, взятым в определенном порядке, сопоставляется элемент того же множества А.

Точнее, так определенные операции называются бинарными операциями. Примерами бинарных операций являются операции сложения и умножения действительных чисел, операция сложения векторов плоскости (или пространства), операции сложения и умножения многочленов, операция композиции геометрических преобразований и др. По аналогии с бинарной операцией можно определить и-арную операцию на множестве А при любом натуральном и, как правило, сопоставляющее каждому упоРядоченному набору (а1, аг,..., а„) элементов из А вполне определенный элемент множества А.

При и = 1 такие операции называются унарными. Задача исследования множеств с операциями остается главной задачей алгебры с Х1Х в. по настоящее время. В связи с этим современную алгебру называют наукой о множестивах с операциями. К развитию алгебры, как науки о множествах с операциями, привела также и задача исследования и решения систем линейных уравнений со многими неизвестными. А именно, построение общей теории систем линейных уравнений потребовало изучения таких алгебраических структур, как многомерные векторные пространства и кольца матриц. В настоящее время основные алгебраические структуры — группы, полугруппы, квазигруппы, кольца, поля, модули, линейные алгебры, линейные пространства и др.

используются и в таких сравнительно новых прикладных областях математики, как криптография, теория автоматов, теория графов, теория информации и т. д. Потребности этих и других наук служат, в свою очередь, главной движущей силой развития алгебры. Развитие алгебры в дореволюционной России связано с именами таких выдающихся математиков как Л. Эйлер (1707 — 1783), который жил и работал в Петербурге более 30 лет, Н. И.

Лобачевский (1792-1856), П. Л. Чебышев (1821 — 1894), Д. А. Граве (1863 — 1939), Ф. Э. Молин (1861 — 1941) и др. Создателем первой отечественной алгебраической школы был ученик Д. А. Граве, известный математик, полярный исследователь и общественный деятель О. Ю. Шмидт (1891 — 1956). В 1916 г. в Киеве была издана его книга "Абстрактная теория групп", в которой впервые в мировой литературе основы теории групп излагались без предположения о конечности рассматриваемых групп. В 1939 г. О.

Ю. Шмидт организовал при Московском университете семинар по теории групп, который со временем стал одним из основных центров деятельности российских алгебраистов. К настоящему времени крупные алгебраические школы сложились и в ряде других городов России: в Санкт-Петербурге, Новосибирске, Екатеринбурге и др.

~ 2. Первоначальные понятия и обозначения из теории множеств и математической ЛОГИКИ Непосредственно из трактовки современной алгебры, как науки о множествах с операциями, следует, что в алгебре не обойтись без использования основных понятий теории множеств. Само понятие множества считается в математике основным, неопределяемым понятием. Создатель теории множеств немецкий математик Г. Кантор (1845 — 1918) пояснил его следующим образом: "Под множеством понимают объединение в одно общее объектов, хорошо различаемых нашей интуицией или нашей мыслью". Говорят также, что множество — это совокупность (собрание, семейство) каких-либо реально существующих или мыслимых объектов, объединенных по некоторому признаку.

Предполагается, что объекты, входящие в множество, попарно различны. Объекты, из которых составлено множество, называются его элементами. Множества и элементы множеств обозначаются различными буквами без индексов и с индексами. При этом, как правило, множества и элементы отождествляются с их обозначениями. Например, вместо фразы "элемент, обозначенный буквой а, содержится в множестве, обозначенном буквой А", говорят короче: "элемент а содержится в множестве А (или принадлежит множеству А)", и пишут а е А. Запись а ф А означает, что а не является элементом множества А. Множества А, В называют равными, что записывают в виде А = В, если каждый элемент множества А содержится в В, и, наоборот, каждый элемент множества В содержится в А.

В противном случае говорят, что множества А, В не равны, и пишут А ~ В. Множество обычно задают или перечислением всех его элементов, или указанием правила перечисления, или указанием каких-либо хаРактеристических свойств его элементов. В первом случае множество обозначается в виде заключенного в фигурные скобки списка его элементов, например (а, в, г), (5). Во втором случае записывают в фигурных скобках несколько первых элементов с многоточием, например (0,2,4,6,...). Если же множество А задается системой свойств Р1,..., Рк его элемен- тов, то пишут А = (а: Р1,..., Рц) или А = (а ~ Р1,..., Рц) и говорят, что А есть множество всех элементов а, обладающих свойствами Р1,..., Рк. Иногда приходится говорить о множестве, про которое неизвестно заранее, содержит оно хотя бы один элемент.

Так, мы говорим о множестве решений уравнения, не решая его и, значит, не зная еще, имеет ли оно хотя бы одно решение. В связи с этим вводится множество, совсем не содержащее элементов. Оно называется пустым и обозначается символом И. Для некоторых, часто используемых ниже и известных из средней школы числовых множеств введем стандартные обозначения: И = (1, 2,3, ...) — множество натуральных чисел; Ыа = (О, 1, 2, 3, ...) — множество целых неотрицательных чисел; У = (О, ~1, ~2, ...) — множество целых чисел; Я вЂ” множество рациональных чисел, т. е.

чисел, представимых дробями вида ~~, где а,6 Е У,6 ~ 0; Й вЂ” множество действительных (или вещественных) чисел, т. е. чисел, представимых бесконечными десятичными дробями; т, и = (т, т + 1,..., п), где т, и Е У, и т ( п. Если каждый элемент множества А является элементом множества В, то говорят, что А есть подмножество множества В (или А входит в В, или В включает А), и пишут А С В.

В частности, подмножествами любого множества А являются А и Я. Все остальные его подмножества называются собственными. Если хотят подчеркнуть, что подмножество с А множества В не совпадает с В, то пишут А ~ В и говорят, что В строго включает А. Например, для указанных выше числовых множеств имеют место строгие включения: с с И~Ив ~ЖФО~К. В математике и на практике часто приходится получать из одних множеств другие, используя различные операции над множествами.

Определим четыре такие операции. О п р е д е л е н и е 1. Обьединением множестив А, В называется множество А О В, состоящее из всех тех элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств А, В: А 0 В = (т: т Е А или т Е В). О п р е д е л е н и е 2. Пересечением множестив А, В называется множество А П В, состоящее из всех тех элементов, которые содержатся в обоих множествах А, В: А и В = (тп: тп Е А и тп Е В). Заметим, что пересечение двух множеств может оказаться пустым множеством. В этом случае исходные множества называют непересекающимися. О п р е д е л е н и е 3.

Декартиовым произведением множестив А, В называют множество А х В, состоящее из всевозможных упорядоченных пар вида (а, 6), где а е А, 6 е В: Ах В=((а,6):аЕА,6ЕВ). О п р еде л е н и е 4. Разностиью множестив А, В называют множество А~В, состоящее из всех элементов множества А, не содержащихся вВ: А~В = (тп: тп Е А, тп ф В). В том случае, когда В С А, множество А~В называется дополнением множестпва В до А.

По аналогии с определениями 1 — 2 можно определить объединение и пересечение произвольного семейства множеств (А,: г е 1) (здесь 1 — любое конечное или бесконечное множество индексов): 0) А, = (а: а е А, хотя бы для одного г Е 1), 161 И А, = (а: а Е А, для всех г Е 1). 161 10 А" = ((а1,...,а„): а; Е А,г = 1,п). ~:А — +В.

~1(а) = ~а~, 13 12 В частности, если 1 = (1, 2,..., и), то указанные множества записывают в виде Д А,, П А,, или подробнее: А1 0... 0 А„, А1 П... П А„. Пред1=1 г=1 ставление любого множества А в виде объединения непустых и попарно непересекающихся множеств называют разбиением множества А.

Определим еще декартово произведение п множеств: А1 х ... х А„= ((а1,...,а„): а, Е А;,г Е 1,п'). В том случае, когда А~ — —... — — А„= А, мы получим и-ю декартову степень множества А: Таким образом, А" есть множество всевозможных наборов длины п из элементов множества А. Подчеркнем, что в отличие от множества, в котором все элементы считаются различными по определению, набор (а~,...,а„) может содержать и одинаковые элементы. В дальнейшем упорядоченные наборы (не обязательно различных) элементов из А будут называться также сис;темами элементов из А.

Важную роль в дальнейшем будет играть понятие отображения множеств. О и р е д е л е н и е 5. Пусть А,  — произвольные множества. О:тображением множества А в множество В называют всякое правило ~, по которому каждому элементу множества А сопоставляют вполне определенный (единственный) элемент множества В. Тот факт, что ~ есть отображение А в В, кратко записывают в виде: Если при этом элементу а из А сопоставлен элемент 6 из В, то 6 называют образом элемента а, а а — прообразом элемента 6 при отображении ~, что записывается в виде Да) = 6. Из определения отображения ~ следует, что у каждого элемента а из А существует единственный образ, однако, для элемента 6 Е В прообразов может быть много, а может и вообще не быть.