Механика жидкости и газа. Избранное. Под общей ред. А.Н. Крайко., страница 9

Для осесиммет- М а ричных течений т -- расстояние точки от оси симметрии. х При этом т = т -~- у сов си где и расстояние от оси симметрии точек обтекаемого контура, .а а— т угол между касательной к конту- О ру и осью симметрии. Далее будем рассматривать совершенный газ, так что я = с„)п (р'1з) р). Обратимся к соотношениям, которым должны удовлетворять параметры потока на скачке уплотнения. Путем простых преобра- зований эти соотношения, вытекающие из законов сохранения массы, импульса и энергии, можно привести к форме: р~Оз у — 1 2 1 — + 7-в 1 7+1 мз в1вз д иу / у в|во 1 и+ = 17)сова — ), 1+ у*!д ), 1+ у*!11)' где р, р, и и и - соответствующие параметры за скачком. Первое из этих соотношений показывает, .что давление р за ударной волной имеет тот же порядок величины, что и скоростной напор р'У~ на- (2) его точки О (рис. Ц.

При установившемся течении идеального газа уравнения, описывающие движение в области между ударной волной и поверхностью обтекаемого тела, принимают вид Г. Г. Черный, А. Л. Гонор, Е. Л. Иванова (Гл. 40 бегающего потока (если только углы между направлением потока и поверхностью головной части тела но очень малы; /1 угол межцу касательной к скачку уплотнения у = у'(х) и направлением набегающего потока). Из следующих двух соотношений вытекает, во-первых, что отношение плотности набегающего потока р' к масштабу плотности за скачком должно совпадать с отношением масштабов для измерения у и, х, и, во-вторых, что зто отношение масштабов будет малой величиной, если мала сумма у — 1 2 1 + у+ 1 у Ч- 1 Мз з1в',3' с1ф = риг' Йу — риг' (1 + у/1т)е1х., заменим уравнение неразрывности -.- третье уравнение (1) -- уравнениями ду 1 ду у у1о (3) д1й риг ' дт 11 и Остальные три уравнения (1), используя формулу и д д и д — +т — = 1+у/Л дх т ду 1-~-у/Л дх е,' приведем к виду ди до др ри — + ри — + — = О, дх дх дх е-.1 др д~ = — г" —, — =О.

1Ч-у/Я дх ЛЧ-у дй' дх (4) Следуя сказанному выше, будем искать решение точных уравнений движения газа (3) и (4) в виде рядов по степеням е в следующей форме; у = еуо + ., и = ио + еиу +, и = сто + (5) Р = Ро ч ер1 + . ; Р = Ро/е + Рз + ~) Для плоских вихревых течений идеального газа такое преобразование использовалось И.А. Кибелем (б). т.е. если М зш Д» 1 (гиперзвуковое течение) и значение отношения теплоемкостей у не на много превышает единицу. Пля воздуха у = 1.4, и при гиперзвуковых течениях написанная выше сумма равна 1/6.

При у -+ 1 для гипорзвуковых течений она стремится к нулю. Применим в случае обтекания тел воздухом с образованием достаточно сильных ударных волн для решения системы (1) с граничными условиями (2) на ударной волне метод разложения решения в ряды по степеням е = ( у — 1)/( у+ 1). Систему (1) удобно преобразовать к новым независимым переменным --.

функции тока уу и координате х ). Введя функцию тока уу с помощью равенства 1.2) Обтекание тел газом ири большой сверхзвуковой скорости 41 Подставив эти ряды в уравнения (3) и (4), для определения первых членов рядов получим систему дуо 1 дуз ио =ио — ' дР роков ' ' дх ' д....,др. д р, Нз — =О, — =г —, — — =О. дх ' Н дб' дх Ро Функции иы Рз и рз удовлетворяют уравнениям ди, дро д ('р роио + — =О, — ( — — 7 — ( =О, дх дх ' дх (,ро Ро) доо и1 ио (уо с вуо 1 ь — здрз — — — = — — ~ — + (Р— 1) — созе) — г дх Д Л(Л ' 'и' дф ' Обе зти системы интегрируются в квадратурах.

Из первой получим 'ио = 'ио(ф), Ро = до(ейро, Ро = „ , ~ иос1ед + Р*(х), "'о (6) 1' Ф дуо уо = , 1 / + Р(х) ио = ио — . н' ',/ Роио дх о Здесь ио(ф), до(ф), р*(х) и у(х) произвольные функции, а фо в фоРмУле длЯ Ро опРеделено ниже. Из второй системы иоиз+ — до®роо ' = ПЮ, — ' — 7 — ' = дз(у1), о1 Рз Ро Ро (7) 1 Г ( Ос доо ио ~ус уо 11 Р = ~ — — — — — ~ — — (Р— 1) — соз о~ ~ Йф + Р1(х), р"-'/ 1Л дх Л (Л + 0(ез) = ф* + Щ + 0(ез). Используя эту формулу, путем некоторых преобразования соотноше- ний (2) получим условия, которым должны удовлетворять функции, где ь'з(вр), дз(у1) и Р~(х) произвольные ф1нкции. Полученные выражения (6) и (7) определяют решение с точностью до членов порядка е включительно.

Входящие в них произвольные функции в задачах о сверхзвуковом обтекании тел должны быть найдены из условий (2) на ударной волне и из условия обтекания заданного контура. Приняв, что на обтекаемом контуре ф = О, получим последнее условие в виде; у = О при зр = О. Отсюда следует, что у(х) = О. Условия (2) на ударной волне должны удовлетворяться при ф = ф*(х), где и и (Гл. Г.Г. Черный, А. Л. Гонор, Е. Л. Иоонооо входящие в разложения (5).

При уа = уао'. ио = 12 СОЯ а, и1 — — — иоеф1 — 11Уо'Я1ца, ро — — — рзс1 21п а, а 2 . 2 у+1 (8) р1 = роаф1 + — р111 уо'яшасояа — р,', 1Е1 7 — 1 М121п а Здесь уо — значение уо(х, Ф) при ф = фо., через иое, рое и роо обо- зна 1ены пРоизводные фУнкций ио, Ро и Ро по Оц а Р,' давление в набегающем потоке. Условие 'оо = иоуо' — П вЂ” 'Язва, Р1 Ро вытекаю1цее из закона сохранения массы на скачке, удовлетворяется при сделанном выборе ауо тождественно. Действительно, на ударной волне: Еа о о оа йФо *~ Р1 = иоуо — 1 — — иоуо — Г1 — ь1п а. г" 'ро йх ро Шесть условий (8) позволяют найти оставшиеся еще неопределенными шесть произвольных функций в выражениях (6) и (7). 2 2. Обтекание тела вращения в виде конуса с протоком Рассмотрим в качестве простейшего примера обтекание газом, движущимся с большой сверхзвуковой скоростью, тела вращения в виде усеченного конуса с протоком (рис.

2). Пля такого тела Л = оо, а г = 1о + х Я1п а, гДе го -- РаДиУс пеРеДнего сечениЯ конУса. Из условий (8) на ударной волне найдем значения произвольных функций в выражениях (6): ио(ф) = 17сояа, р*(х) = — р',Б~яш а, 7+1 17; 11о(ф) = — 1 + р Пз яшз а Все они сводятся, таким образом, к постоянным. Подставив их в формулы (6), получим уо =,, ио = 17сояа, 'оо = — 1Р „яша, й ропот" Рон (9) 2 2 2 а 1 2 1 ро = Р1 о яш а, Ро = Р1 ( 1 + у -~- 1 у — 1 Мо япо а,1 1.2) Обтекание тел еазом ири большой сверхзвуковой скорости 43 с, гйп а 2.5 Рис. 2 Функцию у„*, определяющую форму ударной волны, найдем, заменив в выражении для уо функцию тока ар ее значением на ударной волне убо Чо р(О р "о (9 а) роках ' раиа игр' Использовав выражения (9) и граничные условия (8) на ударной волне, найдем функции и~, .ру и рг Р~ Усйвг о Зале Р1 Ого ку =— росава ий -ь р',Ого ' (10) формулы (9) -(10) дают выражения для всех искомых величин в течонии за скачком уплотнения.

В частности, распределение давления по обтекаемой стенке определится выражением 2 а г . г 7 1 ( 4 а г Р( ( (и — 1)го) Р = — РгУУ з1УУ о+ — ') РЯ вЂ” ~1+ ~ з)п сг + 'у -~- 1 'у+1) у-Ь1 иро ~ р 1Р1 г/ го1 г + — — руСУ )1 — — ~ з1п о — р 2и ро 1 г .) Интегрированием давления по поверхности обтекаемого тела получим выражение для коэффициента сопротивления конуса с протоком (и=2) 4 р1У в1в ар; ( (и рг = ~1+ ро ~~ + иу — 1) .угр1 (г 2 г" Ро ра 1ра (2 р1 Ро 'УРО Уьчро 2 1 3 5 7 К 9 Рис. 3 — 1)го ~+ 4втг о ) Ф -ь р| Ого (7 1)М~у' "эьч Р1ого [Гл. Г.Г. Черный, А. Л.

Гонор, Е. Л. Иванова 200 0.5 у 1.0 Рис. 4 3 4 2 Рис. 5 При вычислении коэффициента С,, сила сопротивления отнесена к кольцевой площади Я(ту~ — гоз). Коэффициент сопРотивлениЯ С, можно представить ввиде С, = и (К)эшап е, где К = Мэууыу . параметр подобия для течений с болыпой сверхзвуковой скоростью У2, 3). Функция г'(К) имеет в рассматриваемом случае вид: Е(Уе) = 2 1+ — 1+, — + — + 4 2 у+1 1 — у уКа На рис.

3 представлены в виде графиков значения С,у'зш о в 2 зависимости от параметра подобия К для нескольких значений у" при у = 1.405. Пля гиперзвукового течения, опустив члены порядка ез, найдем На рис. 4 приведен график этой зависимости. 1.2) Обтекание тел газов кри большой сверхзвуковой скорости 45 1.00 0.75 0.50 0.25 Рис.

6 Преобразовав выражение (9а), дающее форму ударной волны, приведем его к виду: Эта зависимость иллюстрирована графически на рис. б, где приведена форма ударной волны при нескольких значениях параметра К. Кривизна ударной волны при увеличении координаты х быстро уменьшается. В соответствии с этим при удалении от обтекаемой поверхности должна быстро уменьшаться завихренность потока. Вычислим производную с1Я/спд величина которой характеризует завихренность течения: Н~ 7 ь 1 о(о0 л 1)з р 11гв Положив и = 2, найдем й7~ (1-ь й)" Ф Фр~~бЪо(2 ~ = есрЛ.

График этой зависимости приведен на рис. б. Из него следует, что завихренность сосредоточена главным образом вблизи обтекаемой поверхности. Так как энтропия остается постоянной вдоль линий тока, Г.Г. Черный, А. Л. Гонор, Е. Л. Иванова )Гл. то при удалении вниз по течению завихренность концентрируется во все более тонком слое у поверхности, образуя аэнтропийныйв пограничный слой.

2 3. Решении задач об обтекании клина и конуса и сравнение их с точными решениями Из полученного в 2 2 решения легко получить решения для случаев обтекании клина и конУса. ВыРажониЯ 19) длЯ фУнкций Ло, ие, ио, Ро и ро сохраняются и в этих случаях, если считать в них р = х зшо. Формула 19а) для ударной волны упрощается и принимает вид: У'= 1+ г. г — 11 о( 2 1 у+1 о ), у — 1 Мгзуп'о Аналогично упрощаются выражения для иы рг и рг вупи(21 иг = — 17 (1+— е созе 1 у — 1 Мгьшго о 2 2 1 ) ~ 4 зшго рг = ру11 1 + г ' + г у г у — 1Мгзшгоу ~у-е1 о о(о — Ц (з!и о ( ууг )г р1' Коэффициенты сопротивления клина и конуса получим, положив в формуле 111) соответственно у -в 1 и 7' -э О.