Механика жидкости и газа. Избранное. Под общей ред. А.Н. Крайко., страница 11

Помимо этого, действие вязкости проявляется в наличии зоны дозвуковых скоростей вблизи стенки, по которой возмущения, несмотря на сверхзвуковой характер течения во внешней его части, могут передаваться вверх по потоку и тем самым изменять картину течения и при отсутствии отрыва пограничного слоя. Ввиду солжности явления взаимодействия скачков уплотнения с пограничным слоем и сравнительно небольшого количества опытных данных теория его пока отсутствует. Один из возможных подходов к теоретическому исследованию основан на предположении о том, что в области наиболее интенсивного взаимодействия диссипативные факторы (вязкость и теплопровод- ")Теоретическая гидромеханика / Под ред. Л.И.

Седова. Сб. статей. гй 9. Вып. 2. Мх Оборонгиз, 1952. С. 63-96. 54 Г. Г. Черяьйь ность) менее существенны, чем свойства инерции газа. В этой области важны, следовательно, не вязкость и теплопроводность сами по себе, а те распределения скорости и плотности, которые вызываются их действием. Исходя из такого допущения, можно при построении теории заменять поток вязкого теплопроводного газа некоторым вихревым течением невязкого газа. Установившееся плоско-параллельное течение невязкого газа в общем случае можно описать следующей системой уравнений )4]; и= — —, е= — — —; ро дь)ь ро дйь (1.1) р ду' р дя' (1.2) до дп р д 'ььр й) дя ду ро дьР 2 (1.3) р=УЬ Ф).

(1.4) ') Числом М здесь н далее обозначено отношонио скорости потока к во,/а(~, ьььд, Г,,Ф „, .„, .,ю ростью звука. Здесь и и и — — составляющие скорости газа по осям т и у, р и ро плотность газа н некоторое ее характерное значение, ьр — функция тока. Интеграл Бернулли (1.2) устанавливает связь между величиной кь скорости и давлением р вдоль каждой линии тока; при этом давление торможения р„соответствует нулевой скорости. Вьш функции Д~р, уь) зависит от свойств газа (его уравнения состояния, свойств внутренней энергии) и от физических и химических процессов, сопровождающих движение, и определяется при совместном рассмотрении механических уравнений (1.1)-(1.3) с энергетическими и термодннамическими соотношениями.

Во многих важных случаях (например, при адиабатических движениях совершенного газа) вид функции Д~р, ь)ь) в (1.4) и связанной с ней функции и (р, 4ь) может быть указан, если известно состояние движения в одной точке каждой линии тока. При моделировании течения вязкого газа вихревым течением среды, лишенной вязкости., функция ж(р, уь) заранее не известна и ее следует задавать из тех или иных соображений. 11ри этом естественно требовать, чтобы на тех линиях тока, где действие вязкости н теплопроводности несущественно., т.е. вне пограничного слоя, зависимости р и ж от р были близки к адиабатическим.

Внутри же пограничного слоя это требование не обязательно. Опубликованные теоретические исследования [5 — 7) исходят из того,что связь между р и р на всех линиях тока адиабатическая. Возмущения потока относительно основного течения с заданным профилем чисел Маха М ь) предполагаются настолько слабыми, чтобы 55 Влияние дозвуковой части пограничного слон можно было линеаризовать уравнения движения. Такая постановка задачи оставляет открытым вопрос о характеристике, по крайней мере качественной, существенно нелинейных сторон явления: образования скачков уплотнения, взаимодействия их с непрерывными волнами сжатия и разрежения и т.п.

Некоторому разъяснению этого вопроса и посвящена настоящая работа. 2. Постановка задачи. Течение газа всюду в дальнейшем предполагается плоско-параллельным. Рассмотрим наиболее простой случай задания функции уг(р, уз). Именно, предположим, что при уэ > йд. ,т.е. вне некоторого лпограничного" слоя, прилегающего к стенке, функция зу(р, уу) соответствует адиабатической связи между давлением и плотностью. Течение при зй > Я будем счита,ть сверхзвуковым всюду и потенциальным до прохождения им скачков уплотнения.

При ф ( Ц течение будем считать дозвуковым и потенциальным, т.е. зу = зоз(р). Таким образом пограничный слой в вязком газе заменен двумя концентрированными вихревыми поверхностями в потоке идеального газа — одной на обтекаемой стенке,и другой -- на некотором расстоянии от нее. Определим движение в следующих двух случаях: 1. Обтекаемая стенка состоит из двух полуплоскостей, образующих угол, направленный вогнутостью в сторону, занятую газом (рис. 1). А о Рис.

1. Схема обтекания излома стенки 2. На плоскую обтекаемую стенку из бесконечности падает скачок уплотнения (рис. 2). В обоих случаях поток будем считать направленным слева направо. Слева на бесконечности сверхзвуковой и дозвуковой потоки движутся поступательно параллельно обтекаемой стенке и давления в них одинаковы. Первый из названных случаев можно считать моделью обтекания сверхзвуковым потоком излома стенки, покрытой пограничным слоем, второй моделью явления отражения скачка уплотнения. Установим пределы применимости принятых схем.

Лавление во внешнем потоке увеличивается при прохождении им скачков уплотнения, которые образуются при обтекании излома стен- Г. Г. Червьл> Рис. 2. Схема отражения скачка уплотнения ки или при отражении от нее падающего скачка. допустим, что течение безотрывное, т.е. нигде не образуются области, не занятые газом.

Тогда на расстояниях от стенки, больших по сравнению с толщиной "пограничного слоя", течение должно мало отличаться от случая отсутствия вихревых поверхностей, и давление в потоке справа на бесконечности может быть подсчитано по обычным формулам косого скачка уплотнения. При этом предполагается, что углы поворота обтекаемой стенки в задаче 1 меньше предельных, а интенсивность падая>щего скачка в задаче 2 меньше той, при которой становится невозможным так называемое регулярное отражение.

Поскольку справа на бесконечности давления в дозвуковом и сверхзвуковом потоках выравниваются, то и в дозвуковом слое при движении вниз по потоку давление должно возрастать. Оно не может, однако, превысить величину давления торможения, определяемую условиями течения в дозвуковом слое слева на бесконечности. Отсюда следует, что при сделанных предположениях решоние поставленных задач существует лишь при таких углах поворота обтекаемой стенки и интенсивностях падающего скачка (которую также можно измерять углом поворота потока в скачке), при которых давление во внешнем потоке увеличивается не больше, чем до величины давления торможения дозвукового слоя (при адиабатической зависимости тем меньшей, чем меньше число Мз в слое слева на бесконечности).

На рис. 3 показаны максимальные допустимые углы отклонения потока в задаче об обтекании излома стенки для различных чисел М> и Мз >). Там же нанесена кривая, соответствующая предельным возможным углам отклонения потока в косом скачке. На рис. 4 представлены допустимые в рассматриваемой схеме углы поворота потока в падающем скачке и максимальные углы поворота, при которых еще возможно регулярное отражение. Кривые, нанесенные на рис.

4 пунктиром, соответствук>т появлению во внешнем потоке области с дозвуковыми скоростями. Их происхождение будет выяснено ниже при рассмотрении задачи об отражении. ') Кривые на рис. 3 и 4 рассчитаны для адиабатических зависимостей между давлением и плотностью с одинаковым показателем адиабаты т = 1.4 в лозвуковом слое и в сверхзвуковом потоке. Влилнив дозвуковой части пограничного слон 57 Из рассмотрения рис. 3 и 4 следует,что решение задач 1 и 2 [прн адиабатических или близких к ним зависимостях между р и р) возможно только в случае небольших интенсивностей скачков уплотнения.

Расчет показывает,что потери полного давления в скачках, допустимых при решении этих задач, не превышают 3% полного давления набегающего потока. Это позволяет произвести дальнейшее упрощение в постановке задачи, а именно, принять полное давление постоянным во всем внешнем потоке, а, следовательно, .— течение безвихревым и после прохождения им скачков уплотнения. Известно [8), что при небольшой интенсивности скачков и при условии, что источниками возмущения являются только обтекаемая линия тока [в нашем случае поверхность раздела между дозвуковым и сверхзвуковым потоками) и подходящие к ней из бесконечности скачки уплотнения, течение в сверхзвуковой области можно приближенно (с точностью до членов второго порядка относительно интонснвности скачков включительно) представить в виде "простых" волн [течений Прандтля Майера), отделенных друг от друга скачками уплотнения.

В [8) дается аналитический метод расчета таких течений, включающий н определение формы скачков. В течении Прандтля - Майера все характеристики потока ---. давление, плотность, величина скорости и угол ее наклона к некоторому фиксированному направлению могут быть выражены через одну из ннх независимо от конкретного вида течения, если известны условия в какой-либо точке, например, в бесконечности. В частности, можно указать связь между давлением и углом наклона вектора скорости на той линии тока сверхзвукового течения, которая отделяет его от дозвукового слоя (в задаче 2 эта связь различна до и после падающего скачка). Лавление и угол наклона вектора скорости остаются непрерывными при переходе через линию раздела.

Поэтому давление дозвукового потока и, принимая во внимание интеграл Бернулли и связь между давлением и плотностью, его скорость на линии раздела определенным [заранее известным) образом связаны с углом наклона вектора скорости. Если дозвуковой поток ограничен, помимо линии раздела, прямолинейными стенками [как в рассматриваемых нами задачах) или свободными поверхностями, то, применяя преобразование Чаплыгина, задачу об определении течения в дозвуковом слое можно свести к граничной задаче для уравнения относительно функции тока в известной области, аналогично тому, как это делается при решении задач о газовых струях. Таким образом течение в дозвуковом слое можно рассчитать независимо ог течения во внешнем потоке.

используя только условия на бесконечности и на обтекаемой стенке. После того как дозвуковое течение определено и, в частности, найдена форма линии раздела, сверхзвуковой поток во внешней области и возникающие в нем скачки уплотнения рассчитываются, как в задаче об обтекании заданной линии тока, решение которой изложено в [8]. Г.Г. Черный 40 20 о 1 М! 4 Рис. 3. Максимальные допустимые углы отклонения потока в задаче об обтекании излома стенки 20 1О 0 1 2 3 М! 4 Рис. 4. Максимальные допустимые углы отклонения потока в падающем скачке в задаче об отражении 59 Влияние дозвуковой части пограничного слон 3.

Обтекание излома стенки. Примем (рис. 1) вершину обтекаемого угла О за начало координат, ось х направим по продолжению стенки АО, а ось у перпендикулярно ей в сторону области, занятой газом. Пусть де -- угол излома стенки, а АзВ1 --- поверхность, отделяющая внешний сверхзвуковой поток от дозвукового "пограничного" слоя Рассмотрим течение в дозвуковой области. В качестве единиц измерения скорости и давления возьмем их значения ие, и р, в невозмущенном дозвуковом набегающем потоке.