Механика жидкости и газа. Избранное. Под общей ред. А.Н. Крайко., страница 12

Единицей длины будем считать ширину слоя б слева на бесконечности. За масштаб плотности выберем его плотность торможения р.. Введем функцию тока ф и потенциал скорости р с помощью равенств: дй дер ри= —, ри= —— ду ' д*' и= — ~, и= — ~, д д дх' ду' равносильных одному дифференциальному соотношению сЬ = сир + — е1й (3.1) Здесь г = к+1у комплексная координата в плоскости течения, О угол, который скорость ч = и + де составляет с осью т.

Условию интегрируемости соотношения (3.1) можно придать вид [4) Рис. 5. Плоскоть комплексного лвременяого Т (3.2) Здесь К положительная в дозвуковой области функция р или ие (функция Чаплыгина), вид которой зависит от принятой связи между плотностью и давлением. Независимое переменное в есть тоже функция р или зи и определяется выражением дз р зееК (3.3) дк н Введем плоскость комплексного переменного Т = ез 'о = 1ее (для удобства будем называть ее плоскостью годографа дозвукового течения). Постоянную, возникающую при интегрировании соотношения (3.3), выберем так, чтобы з = О, т.е.

Ъ' = 1 при ж = 1. Найдем область в плоскости годографа, соответствующую течению в дозвуковом слое. Так как А з 1пж и Г зг при и — ~0, 0~ то участку АО обтекаемой стенки, на котором 0 = О, отвечает в , бетах 3 плоскости Т отрезок действительной оси между единицей и нулем (рис. 5).

Участок ОВ обтекаемой 60 Г.Г. Червьы стенки переходит в плоскости Т в отрезок прямой, наклоненный к оси абсцисс под углом 0е и заключенный между началом координат и линией, соответствующей поверхности раздела. На линии раздела 1' - известная функция О, поскольку Г известным образом связана с давлением р, а р, как функция О, определяется здесь течением Прандтля — Майера во внешнем сверхзвуковом потоке.

Из равенства ~Ь ~Ьч дэ 40 сЬ Ор 40 вытекает, что при увеличении 0 функция И монотонно убывает. Действительно, все сомножители в правой части этого выражения положительны, за исключением производной Йэ/ор, которая в силу интеграла Бернулли меньше нуля. Вид кривой АВ в плоскости годографа определяется лишь условиями течения в набегающем потоке и принятыми зависимостями между р и р и не зависит от угла 0е. При том зна )енин 0о — — 0э„,„„, при котором давление во внешнем потоке справа на бесконечности становится равным давлению торможения в дозвуковом слое, точка В на линии, соответствующей в плоскости Т поверхности раздела, может дойти до начала координат, после чего принятая схема течения не может осуществиться. Значения 0е„,„„ при адиабатических зависимостях между р и р представлены на рис.

3. Таким образом течению в дозвуковом слое соответствует в плоскости годографа треугольник АОВ (рис. 5). На прямолинейных его сторонах ф = О, а на стороне АВ ф = Ц = р . Определение движения сводится к отысканию функции ф, удовлетворяющей в треугольнике АОВ некоторому линейному дифференциальному уравнению второго порядка, по значениям ее на границе треугольника. В дальнейшем при решении задач этого и следующего пунктов будем предполагать,что давление р в дозвуковом слое связано с удельным объемом 1/р линейным соотношением.

Приняв для определенности,что эта связь соответствует касательной, проведенной в плоскости р, 1/р к адиабате с показателем э в точке р = р ,получим р= у+1 — Чр /,. (3.4) Б случае линейной связи между р и 1/р известно ~4), что К = 1, т.е. уравнения (3.2) обращаются в уравнения Коши Римана, а для К справедлива формула 1 — р 1 — з/1 — М', Ъ'= — —, Л= з/Л '11 1+0' 1+ з/à — М,' Введем комплексное переменное ю = — (у +1ф). Определение функции ф сведется тогда к конформному отображению друг на друга треугольника АОВ в плоскости Т и полосы 0 < < 1шабш < я в плоскости ю с соответствием точек, указанным 61 Влияние дозвуковой части пограничного слон (3.6) (3.8) 1р1,(В) сов Ве1В, Л)171 1 (3.9) в, Здесь В, -- некоторое значение угла В, удовлетворяющее условию 0 < В, < Во, х, " соответствующее значение т.

Пля определения по- стоянной т„поступим следующим образом. Используя уравнение рас- хода, интеграл Бернулли и связь между р и р, можно выразить ши- рину слоя д' справа на бесконечности в зависимости от давления рсь т.е, в конечном счете от Во.

В нашем случае это приводит к формуле б' Мг 1 — 7 (1 — М!У[.у+1-рг(Во)) Напишем теперь для ширины слоя дх очевидное соотношение 11,г = у сов Во — у зшВа, на рис. 5 и 6. Оставляя пока в стороне определение функции, ,1п реализующей зто конформное отображение (см. конец пункта), выпишем формулы, дающие форму внешней 1.раницы дозвукового А О З слоя и распределение давлений по ней и по обтекаемой стенке. Соотношение (3.1), служащее Рис. 6. Плоскость комплексного для перехода от плоскости годо- переменного т графа к плоскости течения, принимает в рассматриваемом случае вид (черта сверху обозначает сопряженную величину) — (1 — Л) е1г = — — ЛТ ~1ю.

Т Отсюда для координат и, р линии раздела получим (3. 7) Здесь Ъ'~ значения функции И на линии раздела определяется формулами (ЗА) и (Злб), из которых вытекает 1/2 Гт+1-, Т:мг р И=— Л зч+1+7 /1 — М вЂ” р и зависимостью р(В) в течении Прандтля - Майера. Функция 1р1, дающая зависимость со от В на линии АВ, определяется формулами конформного отображения.

Проинтегрировав соотношение (3.7) и учтя, что слева на бесконечности Р = 1, получим (Гл. 62 Г. Г. Черньлз вставим в него значения х и у по формулам (3.9) и перейдем к пределу при 0 — 1 Вс. В результате получим х, зшдс = у(0„) созда — В' — 1пп ~ " сз~(0) вйп(Вс — В) ВВ. в. Формулы (3.9) вместе с полученным значением х„дают параметрическое представление координат линии раздела через угол 0. Применяя зависимость между р и 0 в течении Прандтля — Майера, найдем и распределение давления по ней.

Определим распределение давления по обтекаемой стенке. Пользуясь формулой (3.6), получим: на участке АО х = 1 узя(Ъ')гЛ", у = О, Г1 ЛЪ (3.10а) о а на участке ОВ х = соз Вс 1 1г'л(Ъ') г((г, у = х 18 Во. г 1 — 11" (3. 10 б) о Функции уз 4 (1) и 1гв ((г) определяются по форм улам конформного преобразования. Выражения (3.6) вместе с зависимостью (3.8) дают параметрическое представление распределения давления по обтекаемой стенке. Перейдем, наконец, к определению функции, реализующей требуемое конформное отображение. Вследствие сложности уравнения кривой АВ найти отображающую функцию точно не удается.

Заменим кривую АВ кривой с уравнением .~ и и сйп(р — ид) 1 сйп р (3.11) где 1г и и " параметры, распоряжаясь которыми можно добиться бли- зости точной и приближенной зависимостей 1'г(0). В частности, вы- бирая 1г и и по формулам м 'м М, / — Мз 2соззд ~ Мзз (Ч Ь 1)М1 4(М( Ц Я Я, '~ М,' 4(М-', — 1) (3.12) (3.13) можно добиться, чтобы точная и приближенная кривые имели в точке В = 0 общую касательную и кривизну г). Важно отметить, что вследствие пренебрежения завихренностью во внешнем сверхзвуковом потоке "точная" зависимость Ъ~ (О) являет- ') Фигурирующие в работах (б) и [б) параметры к и д связаны с параметром щ Рйр = 1г = с18(д/2), а р имеет геометрический смысл как угол при вершине А в треугольнике АОВ (рис. 5).

63 Влияние дозоуновоб части пограничного слон 1.О 0.5 оп В О.2 Рис. 7. Сравнение точных и приближенных зависимостой Ъ'г(о) Рис. 8. Плосхость параметрического переменного 1 Введем параметрическое комплексное переменное 1, изменяющееся в нижней полуплоскости (рис. 8). Нетрудно проверить, что формулы — гуо Т = 1+ Сез" дг Р— Уд (1 1)(а — оол о (3.14) ю = 1п— 13.15) 1 — 1 дак>т требуемое отображение, если брать те значения степенной функции и логарифма, которые действительны на отрезке действительной ') Замену точной зависимости гг(о) приближенной по формулам (3.11)— (3.13) можно рассматривать как замену адиабаты в сверхзвуковой области некоторой кривой, соприкасающейся с ней в точке р = р ся точной лишь до членов порядка о~ включительно.

Поэтому замена ее по формуле (3.11) с использованием д и и, соответствующих выражениям 13.12) и (3.13), вполне законна и не уменьшает точности результатов ). На рис. 7 дано сравнение точных и приближенных зависимостей )гг(О) для некоторых значений чисел Мг и Мг. Г.Г. Черный Рис. 9. Картина течении при обтекании излома стенки. Влияние угла Во оси между нулем и единицей в плоскости й Вещественная постоян- ная С определяется выражением 1 — 1 з!а нйо ( нг Яп(Р— нВо) ) / 1'-и!" (1 — 1)Ы вЂ” ооп о Ф' яш нВо а1а(р — нйо) (р ), (нйо — д), Из формул 13.14) и 13.15) легко получим выражения функций ~р' (О), оо' 11г), оо' (Ъ'), необходимых для вычисления интегралов 13.9) и 13.10).

Именно, ооз (О) определяется соотношением 0',<0) кСо1а'(р — иВ)1н~ (1 — 1)'-Ы вЂ” 'оц (3.16а) и зависимостью между 0 и 1 .понВ С) ~~ С)) 1л 1 Р-~йо з1в(р — иВ),l Р— н~ (1 — 1)О' — "ооц Я' о где В~ -- неполная бэта-функция от 1. Влияние дозвуковой части нозраничного слоя Рис. 10. Картина течения при обтекании излома стенки. Влияние М1 Для ~р~ (Ъ') найдем 1обозначив — — 1 = т) р' Ж— л кС1т ~-1тв! (1 л т)с — ~н — "вол 1 г1т — =1+С /' / т1 — вl 11-ь т')гл — вви о (3.17) Аналогично ) яС1т асса( 11 1)~ — (в — вол (3.18) — '=1+С ~ д Р— ну (1 — 1)Ь вЂ” ввц 1 Оценим порядок затухания возмущений сверхзвукового потока, вызываемых наличием излома стенки, при удалении вверх по течению.

Для этого получим асимптотический закон изменения угла О на поверхности раздела (которому в первом приближении пропорционально увеличение давления во внешнем потоке) при больших отрицательных к (т.е, при малых с). (Гл. Г.Г. Черный Рис. 11. Картина течения при обтекании излома стенки. Влияние Мг Из формул (3.17) и (3.16) путем разложения в ряц и использования неравенства я/р ) 2 получим, что при малых 9 и 1 р',(В) = — ') -„'+ О(1).

Из первого выражения (3.9) тогда следует, что при больших отрица- тельных и О = 0(1)ее Уй'. Пользуясь формулой (3.12) для р и выражением Я = р = ьгг1 — Мг, для логарифмического декремента затухания найдем Мг /Яг агс$8 ггà — М, М; ьУà — М', Отсюда видно, что затухание становится очень сильным при при- ближении Мг к единице.

Наоборот, при уменьшении Мг возмущения затухают слабее. Рис. 9-18 иллюстрируют результаты расчетов., произведенных по формулам (3.9), (3.10) и (3.1б)-(3.18). -10 Рис. 12. Распределение давления по поверхности раздела. Влияние угла йо о х/б -10 Рис. 13. Распределение давлсни» по поверхности раздела.