Механика жидкости и газа. Избранное. Под общей ред. А.Н. Крайко., страница 13

Влияние Мз О Х/6 -1О Рис. 14. Распределение лавления по поверхности раздела. Влияние Мг Влияние дозвуковой наспзи ногранинного слоя х/б [Гл. Г.Г. Черный б е,' -2 -1 О 1 хф -2 -1 О 1 х/5 О 1 „УВ Рис. 17. Распределение давления по обтекаемой стенке. Влияние Мя Рис. 1б. Распределение давления по обтекаемой стенке. Влияние угла до жй. Рис. 16. Распределение давления по обтекаемой стенке. Влияние М~ Влияние дозвуковой части пограничного слон Рис. 18. Изобары в потоке при обтекании излома стенки 4.

Отражение скачка уплотнения от поверхности, покрытой пограничным слоем. Пусть АВ (рис. 2) -- поверхность обтекаемой стенки, а А1 ОВ1 -" линия тока, отделяющая дозвуковой слой от внешнего сверхзвукового течения. Линией АзО обозначен падающий извне на стенку скачок уплотнения. Направим ось х по АВ, а начало координат выберем так, чтобы ось у, перпендикулярная оси х, проходила через точку О.

При переходе через скачок давление в сверхзвуковом потоке возрастает на конечную величину. В дозвуковом слое давление должно быть непрерывным, поэтому из точки О внутрь сверхзвуковой области должна исходить волна разрежения, показанная на рис. 2 пучком характеристик. Если угол поворота потока в падающем скачке на бесконечности равен --- д, то, как показано ниже, разность между значениями угла наклона вектора скорости при подходе вдоль линии тока к точке 0 слева и справа равна 2б. Следовательно, дозвуковой поток обтекает в точке О угол, меньший я, и эта точка является для него критической. Давление в ней достигает максимальной величины, равной давлению торможения в дозвуковое слое.

Высокое давление в точке 0 передается через дозвуковой слой вверх по течению в направлении ОА. В силу непрерывности давления на поверхности раздела, в сверхзвуковой области, прилегающей к линии Аз О, давление тоже должно постепенно возрастать, т е, линия А10 должна искривляться вогнутостью от стенки. Искривление обтекаемой линии приводит к образованию в сверхзвуковом потоке волны сжатия, которая развивается в отраженный скачок уплотнения. Вдоль линии ОВз давление в дозвуковом слое падает.

Падение давления приводит к искривлению участка поверхности раздела ОВз во- 70 Г.Г. Черамо гнутостью к стенке и вызывает в сверхзвуковой области волну разрежения СзОВз. Наибольших значений давление в потоке достигает на характеристике ОС, т.е. в области между падающим скачком и волной разрежения, исходящей из точки О.

Лавленис здесь может значительно превышать давление на бесконечности после прохождения падающего и отраженного скачков, т.е. максимальное значение давления, возникающее в потоке при отражении скачка от твердой стенки, не покрытой пограничным слоем. При малых Мг такое возрастание давления может привести к образованию между падающим скачком и волной разрежения зоны дозвуковых скоростей, после чего рассматриваемая схема течения становится неприменимой. Рис. 19. Плоскость годографа сверхзвукового адяабатяческого течения С целью подтверждения описанной качественной картины и получения количественных результатов обратимся к плоскости годографа. При этом для наглядности рассуждений о течении в сверхзвуковой области воспользуемся обычной диаграммой эпициклоид (рис.

19), хотя все последующие выводы будут справедливы не только для адиабатической связи между давлением и плотностью. Пусть невозмущенному сверхзвуковому потоку слева на бесконечности соответствует точка Аз плоскости годографа. Так как давление в сверхзвуковом течении при приближении к точке О слева стремится к давлению торможения р„я дозвукового потока, то течению Прандтля — Майера в области Аз ОАз отвечает в плоскости годографа дуга Аз Оз характеристики первого семейства, проходящая через точку Аз до пересечения с окружностью, на которой давление равно рсо Пусть, далее, поворот потока в падаюгцем скачке на бесконечности равен — й.

В рассматриваемом приближении изменение характеристик газа в скачке совпадает с изменением их в соответствующем течении Прандтля — Майера. Поэтому потоку в бесконечности за падающим скачком соответствует в плоскости годографа точка Ая, лежа- Влияние дозвуковой части иоераничного слоя 71 щая на пересечении характеристики второго семейства, проходящей через точку А1 и луча, выходящего из начала координат под углом — б к оси абсцисс. Течению Прандтля — Майера за падающим скачком в плоскости годографа соответствует характеристика первого семейства, проходящая через точку Аз. В частности, потоку справа на бесконечности отвечает точка В1 этой характеристики, лежащая на оси абсцисс. При подходе к точке О вдоль линии тока А1 О мы в плоскости годографа,попадаем в точку Оы Угол наклона линии тока при подходе к точке О слева определяется числами Маха Мг и Мз и не зависит от интенсивности падающего скачка.

Переходу через падающий скачок отвечает в плоскости годографа переход вдоль характеристики второго семейства из точки 01 в точку Оьч лежащую на характеристике, описывающей течение Прандтля — Майера за скачком. Как было отмечено выше, из непрерывности давлония в дозвуковом слое следует, что из точки О выходит волна разрежения, в которой давление падает вновь до значения р,з. Этой волне соответствует участок характеристики ОзОз. дальнейшему движению вдоль линии тока ОВз отвечает отрезок характеристики ОзВм Аналогично линии тока А1 ОВ1 нетрудно найти образ любой другой линии тока в плоскости годографа. Не делая этого, отметим только, что существует отличие в поведении линий тока в плоскости годографа в зависимости от того, пересекает ли линия тока волну разрежения, выходящую из точки О, либо не пересекает.

Из рис. 19 следует, что для возможности применения указанной схемы давление торможения дозвукового слоя р„з должно быть больше давления рв,, справа на бесконечности, а давление ро, за падающим скачком вблизи точки О должно быть не выше критического. Эти требования налагают ограничения на величины Мы Мз и б. Выведем их. Пусть уравнения характеристик первого семейства будут д+ Ф(М) = сопз1, а второго семейства 0 — Ф(М) = сонэк Отсюда для определения значений числа М в точках В1 и Оз получим Ф(Мв,) = Ф(М1) — 2б, Ф(Мо,) = Ф(Мо,) — б.

Здесь Мо, -- значение числа М в точке Оы т.е. при р = рмь Вместе с условиями Мо > 1 и Мв > Мо и и монотонностью функции Ф(М) написанные выше соотношения дают два неравенства, ограничивающие область возможных значений Мз, Мз и б: б < Ф(Мо,) — Ф(1), б < [Ф(М1) — Ф(Мо,))/2. (Гл. 72 Г. Г. ЧераьМь ю = — (з +гФ). Тогда задача сведется к конформному отображению криволинейного треугольника в плоскости Т (рис. 20) на полосу в плоскости и (рис. 21). Для фактического выполнения конформного отображения воспользуемся тем же приемом, что и в задаче об обтекании стенки с изломом, т.е. будем считать, что уравнения линий АО и ВО в плоскости Т имеют вид г 1/ь Зш(р — ьльь) 1'яо = з1п1л (4.1) В случае адиабатических зависимостей нетрудно найти, что 2(Мг Мг) 2+ (у — 1)Мл ' функция же Ф(М) имеет вид [9] Ф(М) = — агсгя — (М вЂ” 1) — агсгя гь М вЂ” 1.

т+1 2 2 з 1 7+1 Предельные значения угла о в зависимости от Мь и Мг, вычисленные по этим формулам, представлены на рис. 4. Таким образом, не решая задачу о движении в дозвуковом слое, мы выяснили качественное поведение течения в сверхзвуковой области и нашли количоственныо оценки для границ применимости принятой схемы отражения скачка уплотнения от пограничного слоя. Приступим теперь к решению задачи о движении в дозвуковом слое. Рассмотрим наряду с плоскостью годографа сверхзвукового потока плоскость Т = Ке ла годографа дозвукового слоя (рис. 20). Пусть дозвуковому потоку слева на О бесконечности соответствует точка А плоскости годографа.

Так как в точке О скорость равна нулю, то линия АьО переходит в плоскости годографа в дугу АО, соединяющую точку А и начало координат. ЛвиРис. 20. Плоскость комплексного жению вдоль участка ОВь линии переменного Т раздела соответствует в плоскости годографа движение вдоль кривой, получаемой поворотом дуги ОА на угол 24ь до пересечения ее с осью абсцисс. Обтекаемая стенка переходит в прямолинейный участок АВ оси абсцисс. Таким образом дозвуковому слою соответствует в плоскости годографа криволинейный треугольник АОВ, причем на сторонах АО и ОВ этого треугольника значение функции тока ф равно Я, а на стороне АВ ф = О. Течение в дозвуковой области будем определять, как и выше, для газа с линейной зависимостью между давлением и удельным объемом.

Введем вновь функцию 1.3) Влияние дозвуковой части пограничного слон 73 яп(н — и(9 -~- 2б)) ч 1,ег 1'во = зшд (4.2) Рис. 22. Плоскость парамет- рического переменного б Рис. 2П Плоскость комплекс- ного переменного и проверить, что отображение областей в плоскостях Т и и друг на друга в параметрическом виде дается формулами — 1/и о причем берутся те значения степенной функции и логарифма, которые действительны на АВ, а постоянная С определяется выражением 1 — 1 зш(н — 2иб) ) 1 / Е' — иl (1 — Е)Ь-г епл о у (с 2иб') в1в(р — 2т б) / (и ) (2иб — и) Формулы (4.3) и (4.4) вместе с соотношением (З.б) дают полное решение задачи о течении в дозвуковом слое.

Как и в задаче об обтекании излома стенки, используем это решение для определения формы поверхности раздела и распределений давления по ней и по обтекаемой стенке. Для координат У, у линии раздела по-прежнему верна формула (3.7). Нри этом на участке АгО, т.е. до точки пересечения линии раздела с падающим скачком, 1'з(9) выражается зависимостью (4.1), а уз'„(9) —.. формулами ~Я яив р кСвшз(р — и9)тиб (1+ т)е Ш в1 9 йт (4.5) =С 1' ч1н(р — и9) 1 те иl (1 Ч- т)си з ен о Введем параметрическое переменное 1, изменяющееся в верхней полуплоскости,причем точке А пусть соответствует точка 1 = О,точке В .-- точка 1 = 1 и точке О .-- точка 1 = оо (рис. 22).

Нетрудно (Гл. Г.Г. Черново го у -го о 20 х -20 Рис. 23. Картина течения при отражении скачка. Влияние угла 6 Зо' (В) иЯ сйп р кСяшо(р — ы(В -~- 24)) рн (1 1)1 — О,— о„вн сйп оВ з1п(р — 2иб) 41 з1п (р — г(В+ Ю)) 1 (4.6) Согласно сделанному выбору начала координат (рис. 2) координаты поверхности раздела выразятся интегралами: на участке АО в, (4.7) р = 1+ Ао ~р1я(В) зш В ЙВ, в (1 — Л)Ъ'зо о На участке ОВ~ т.е.

вниз по течению от точки пересечения падаюгпего скачка и линии раздола, Ъз(В) определяется формулой (4.2), а 'воз (В) выражениями 75 Влияние дозвуновон ности ноервнинноео слон о -20 20 зг о го Х -го Рис. 24. Картина течения при отражении скачка.

Влияние М~ а на участке О — — 1 Л'ов 4 Я. ООО П вЂ” л)р о.— м (4.8) У = У(О„) + / ов ~Р'н(О) гйпОдО, о,— яе Здесь О = д/и — угол поворота потока, соответствующий давлению р„з в течении Прандтля-.Майера, обтекающем линию А10; у(О,) - значение, которое получается по формуле (4.7) при О = О.. Зная параметрическое представление координат линии раздела через угол О,. по формулам зависимости давления от угла поворота потока в течениях Прандтля-.Майера впереди падающего скачка и за ним найдем распределение давления по поверхности раздела. г.г. чср н го -го -го о го Рис. 25.

Картина течения при отражении скачка. Влияние Мс Для определения распределения давления по обтекаемой стенке заметим, что вдоль нее у = О,. й = О. Поэтому по формуле (3.6) получим 1- Л1,э 4х = ~р'(Г) Ий", 49 = О. (4.9) Из выражений (4.3) для функции у'()т) можно найти 'Г1т~ ыЯ яС1т.т11й (1 — 1)Ь-з.'П: Ъ" — '=1+С /' 1 Р-ыг р 1ры-гну 'о Проинтегрировав формулу (4.9) для Их, получим связь между т' и х (или по формуле (3.8) -- между р и х) на обтекаемой стенке х = х, + / ~р~('ы') ~Л~, (4.11) ю (4.10) Здесь ы; некоторое значение Ъг, удовлетворяющее условию з Цы э1пОт — 2ыд) сйп и а х, - — соответствующее ему значение х.