Механика жидкости и газа. Избранное. Под общей ред. А.Н. Крайко., страница 10

Для клина 7' — у 1, н С, = 2 1+ — — — 1+ — — — зуп о. Для конуса у -+ О, так что С, =2 1+ -~-, + зуп о. На рис. 7 и 8 приводсно сравнение сравнение вычисленных с использованием этих формул значений Сау'з1п о для клина и для г З.О Ся япа 2.0 б 8 К 10 Рис. 7 [Гл. Г.Г. Чернь~й, А. Л.

Гонор, Е. Л. Иванова зо 60 зо Рис. 10 конуса с точными значениями, заимствованными из таблиц [7, 8). Как показывает сравнение, при К > 2 — 3 приближенные значения коэффициентов сопротивления удовлетворительно согласуются с точными. Для гиперзвуковых течений, пренебрегая в выражениях для Са величиной 1/(М зш о) по сравнению с единицей, получим На рис.

9 дано сравнение вычисленных по формулам (12) приближенных значений коэффициентов сопротивления клина и конуса при гиперзвуковом обтекании с точными значениями. На рис. 10 произведено аналогичное сравнение приближенных точных зависимостей угла )З между ударной волной и направлением набегающего потока от полуугла о раствора клина (конуса). Рис.

9 и 10 свидетельствуют об удовлетворительном совпадении результатов, получаемых изложенным выше методом при сохранении в разложениях искомых ве- 1.2) Обтекание тел газом ири больиоои сеерязоукоеой скорости 49 личин в ряды членов порядка е = [(у — 1)/(у+ 1)), с результатами точной теории для у = 1.4.

На рис. 4 и 9 нанесены также значения величины С, для тела с протоком при гиперзвуковом течении, т.е. с учетом членов порядка е~. 2 4. О теле с наименьшим сопротивлением и о теореме Ньютона, относящейся к нахождению тела с наименьшим сопротивлением В нулевом приближении, отбросив челны порядка е, распределение давления по контуру обтекаемого тела представим формулой: ро = Р б' з)гс о —, ) ио )Ф. о 2 2 1 I я-',I о Произведя замену переменной интегрирования и использовав граничное условие для ио на ударной волне, преобразуем это выражение к виду ро = Роса зш о — „г ) соя ос)г о 2 2 1 Р о 11Р"-' l "о Отсюда найдем коэффициент сопротивления тела с..=,' соо'.— ',)",- г")г" зо| г., '— г",/ игег "о оо Или иначе, перейдя от переменной т длины дуги обтекаемого контура к переменной я — расстоянию в направлении набегакзщего потока, г' — г",/ ) 1 + г'2 (1 -~- г'2)з!2 / г1 + 72 / о о Пользуясь этим выражением для коэффициента сопротивления, можно решить задачу о нахождении формы тела с наименьшим сопротивлением.

Нетрудно убедиться в том, что подынтегральное выражение в формуле для С,о представляет собой полный дифференциал функции г 1 г г г ооз (1+ г'2)мо,) (1 те'2)по о так, что, выполнив интегрирование, получим — ("-")(~+.зз) ~ ~'(1+") ~ Рассматривая С о как функционал, заметим, что подынтегральное выражение не содержит в явной форме переменной 2, так что соответствующее уравнение Эйлера должно интегрироваться в квадратурах. Г. Г. Черный, А. Л.

Гонор, Е. Л. Иванова [Гл. 50 После несложных выкладок полу гим для осесимметричного течения уравнение экстремали в параметрической форме (для плоского случая экстремали прямые линии): (1 + г)3!г рз (14) З,,П+рг 3 ееГ+р' 5 ~/Гв-р г+, + 1и С. а 4ре Вр' 16 ген +рг+ 1 Параметром р служит тангенс угла наклона элемента образующей тела к оси симметрии: р = г'. На рис. П кривая 1 изображает график найденной согласно этим формулам зависимости г,~а от г/а. Константа С несущоственна, так 2 3 4 Рис.

11 как определяет лишь начало отсчета координаты г, поэтому она выбрана так, чтобы я = 0 при г = а. Отметим следующий любопытный факт. Еще Ньютоном был рассмотрен вопрос о нахождении формы тела вращения, обладающего наименьшим сопротивлением при движении в жидкости (см. [9), отдел УП, предположение ХХХ1Ъ', теорема ХХУП1). Приняв, что частицы жидкости движутся до столкновения с телом прямолинейно и равномерно, а при столкновении с телом теряют нормальную к поверхности тела составляющую количества движения и скользят вдоль поверхности, Ньютон установил закон пропорциональности сопротив- 1.2) Обтекание тел еазом ари большой сверхзвуковой скорости 51 пения, испытываемого элементом поверхности, квадрату синуса угла встречи.

Принятая Ньютоном схема обтекания тела жидкостью близка к той, которая действительно осуществляется при обтекании тала потоком газа с большой сверхзвуковой скоростью. В этом случае газ сохраняет поступательное движение почти до поверхности тела, а после прохождения ударной волны движется вдоль обтекаемой поверхности в тонком слое между ударной волной и поверхностью тела. Ньютон решил вариационную задачу о теле с наименьшим сопротивлением. Представленное в аналитической форме решение Ньютона имеет вид; — — = — ( — + — + 1пр — С). (15) 3йз (1+рз)' 3йзе 3 а 16 рз ' а 1б 4р4 рз График этой зависимости приведен на рис. 11 (кривая П), причем постоянная С выбрана так, что р = ис3 при х = О.

При малой кривизне обтекаемого контура вторым слагаемым в выражении (13) можно пренебречь по сравнению с первым и тогда теорема Ньютона определяет форму тела, обладающего наименьшим сопротивлением в потоке газа при большой сверхзвуковой скорости. При малых р выражения (14) и (15) дают одинаковый асимптотический вид зависимости г от х, а именно В общем случае, когда кривизна контура не мала, второе слагаемое в выражении (13), характеризующее изменение давления поперек слоя между поверхностью тела и ударной волной, сохраняет значение несмотря на малую толщину слоя, так как градиент давления в этом слое обратно пропорционален его толщине. Выводы 1.

Разработан новый аналитический метод расчета обтекания тел вращения и плоских контуров потоком идеального газа с большой сверхзвуковой скоростью. Метод основан на представлении решения уравнений газовой динамики в виде рядов по степеням ( 1 — 1) /(у+ 1), где у отношение теплоемкостей. Получены в общей форме выражения первых двух членов этих рядов для основных газодинамических величин: составляющих скорости, давления и плотности. Точность приближенных решений, основанных на сохранении первых двух членов рядов, оценена путем их сравнения с точными решениями для обтекания клина и конуса.

Установлено, что для у = 1.4 метод может быть использован при значениях параметра подобия К:— = М зш сь > 3 — 4. 2. Решена задача об обтекании конического тела с протоком. Найдены значения его коэффициента сопротивления при больших сверхзвуковых скоростях. 52 Г. Г. Черный, А. Л. Гонор, Е. Л.

Иванова 3. Найдена форма тела вращения с заданным относительным удлиненном, обладающего наименьшим сопротивлением при большой сверхзвуковой скорости. Литература 1. Овмагйвсб К. АЬп!!сЬЬе!1вбевегхе Рйг НурегвсЬа11вггошппб,',~ ЕейвсЬг. Е апбеи. МаГЬ. и. РЬув. 1951. Вс! 2. Н. 4. 2. Тмен Н.Я. ТЬе ыш1!апгу !ав" о1 !гурегвошс Явив Н Лошв. МагЬ. а. Р1гув. 1946. Ъ'.

25 Х' 3 3. Бам-Великович Г.М., Бунимович А.И., Михайлова М.П. движение тонких гел с большими сверхзвуковыми скоростями Н Теоретичосквя гидромеханика С Под реп. Л.И. Седова. Мл Оборонгиз, 1949. Ме 4. 4. Франнль Ф.И., Карнович Е.А. Газодинамика тонких тел. М.— Лл Гостехиздат, 1948. 5. Ферри А. Аэродинамика сверхзвуковых течений. М.-Лл Гостехиздат, 1952. 6. Кочин Н.Е., Кабель И.А.,Розе Н.В.

Теоретических гипромеханика. Ч. 2. М.--у!л Гостехиздат, 1948. 7. НапдЬоо1с о1 впрегвопк: аегобупаш!св. Нор. Еач. Огс!. 1952. Ч. 2. 8. Кора1 Я. ТаЫев оЕ впрегвошс Яои вгоппс1 сопев. Пер. М1Т. 1947. Ч. 1. 9. Ньсошан И. Математические начала натуральной философии. М.— Лл Изд. АН СССР, 1936 (в собр.

трудов. акад. А.Н. Крылова, т. ЧП). Глава 1.3 ВЛИЯНИЕ ДОЗВ'УКОВОЙ с1АСТИ ПОГРАНИк1НОГО СЛОЯ НА ПОЛОМ~ЕНИЕ СКАк1КОВ УПЛОТНЕНИЯ*~ Г. Г. Черный 1. Введение. При обтекании твердых поверхностей потоком газа с дозвуковыми скоростями пограничный слой не оказывает заметного влияния на движение основной массы газа.

Исключение составляют случаи, в которых пограничный слой отрывается от обтекаемой стенки и побывавшие в нем частицы проникают внутрь основного потока. Экспериментальные исследования [1, 2~ показали, что в случае сверхзвуковых и околозвуковых течений наличие пограничного слоя и состояние движения в нем оказывают значительное влияние на течение в основном потоке. При пересечении скачков уплотнения с твердыми поверхностями картина течения может существенно отличаться от теоретической, полученной в предположении отсутствия вязкости ~3]. Наличие вязкости приводит к тому, что вследствие резкого возрастания давления в направлении течения вблизи пересечения скачка со стенкой может произойти отрыв пограничного слоя, сильно видоизменяющий картину течения.