Механика жидкости и газа. Избранное. Под общей ред. А.Н. Крайко. (1014100), страница 7
Текст из файла (страница 7)
1.Ц Обтекание тел газеле ири большой соерхзоукооой скорости 27 Рис. 1 Здесь и и о — компоненты скорости в направлениях х и у; р — давление, р плотность, Л радиус кривизны линии Ь, о = 1 и 2 соответственно для плоских и для осесимметричных течений. При осесимметричных течениях г = г + усово — расстояние до оси симметрии. Газ считается совершенным с постоянными удельными теплоемкостями, отношение которых обозначено через у.
Введем функцию тока у1 с помощью сэотношения с11еь риге — ~с)у роги — ~ 11 + у(Я) с1х и перейдем в уравнениях (1) к независимым переменным х и ер. Уравнение неразрывности заменится тогда уравнениями ду 1 ду ос у1 — — — 1+ дф риг' '' дх и 1 хь/' 12) Так как и д д и д +о — = 1 + у/Л дх о=сопле ду 1 + у/12 дх о=сапер то уравнения движения и условие адиабатичности преобразуются к виду до и и — х / У'1 др — — — = — г )1+ — ) дх сь ) ге дг' (3) уравнения (2) и 13) являются точными уравнениями, описывающими адиабатическое движение газа, и служат для определения пяти функций у, и, о, р и р в зависимости от х и ф.
(Гл. 28 Г. Г. ЧериьМь 2. Условия на ударной волне. Пусть Ь* --- ударная волна., образующаяся перед обтекаемым телом при сверхзвуковой скорости (рис. 1; в частности А* может совпадать с Ь). Обозначим соответственно через а и уу углы наклона элементов линий Ь и Ь* к направлению невозмууценного набегающего потока. На, ударной волне должны быть выполнены следующие соотношения между параметрами потока за волной (индекс 2) и перед ней (индекс 1): р', вэ. у — 1 2 — — + р, гы 7+1 („уЧ 1)М2з1п2 Рэ 2у г.э у — 1 аз~ — сут1 = М Б111 Р1 .у+1 -у+1 Здесь усл = — и зш(уу — а) + и соэ(Д вЂ” а), п, = и соз(,3 — а) + п вшф — а) - - нормальная к Ь* и касательная к ней составлякяцие скорости.
Так как уу > а, то для гиперзвуковых течений, для которых по определению Мэ вш~ а >> 1, условия (4) на ударной волне принимают вид Р| вз„ 7~ Рг 2 . з — — — —, = — 1п )1. (6) Рз и 7+1 Р1уу 7+1 Первое из этих условий показывает, что отношение плотностей газа перед ударной волной и непосредственно за ней при гиперзвуковых течениях есть величина постоянная, зависящая лишь от у. Отношение рэ,УР,' равно 6 при 7 = 1.4 и неограниченно возрастает, если 7 — у 1.
Если плотность газа во всем слое, заключенном между поверхностью головной части обтекаемого тела и ударной волной, имеет одинаковый порядок величины, то при 7 — у 1 толщина этого слоя стремится к нулю. Это обстоятельство наводит на мысль упростить уравнения движения газа в слое, оценивая порядок величины различных членов, входящих в уравнения, и отбрасывая менее важные из них, аналогично тому, как это делается при выводе уравнений пограничного слоя в вязкой жидкости. 3.
Упрощение уравнений в случае сильно уплотненного газа. Предположим, что плотность газа в слое, прилегающем к линии Ь. значительно выше плотности газа вне слоя. Введем для плотности внутри слоя новый масштаб, положив р = р'/е, где малая величина е такова, что р' имеет тот же порядок, что и плотность вне слоя. Как следует из сказанного в и. 2, при гиперзвуковых течениях следует полагать е = (7 — 1)У(7+ 1). Решение системы уравнений (2) (3) будем искать в виде рядов по степеням ю У = Уо + сУз + ...
Р = Ре + еРз + ..., в = ио + епу + ..., Р = Ре + эру + ..., (6) с = по+вез+ 1.1) Обтекание тел газеле прн большой сиерхзиукоиой скорости 29 полу 1им, 1то дУ1 (7) где р в случае осесимметричных течений расстояние точки линии А от оси симметрии. Первое уравнение (3) дает 1 дро ио дф 11 дУ1 оу=ио— дх до1 и1 ио (У1 — — — — — — + (н дх Л В 111 — 1) У' созсу1 — г' ' Р'. (8) дй ые условия (5) на мут вид пр') = О; (9) Второе и третье уравнения (3), а также граничн ударной волне после замены в них Р через р')е при д уизиоз .у р1 д — + — —,) = О, .— (1пр — у1 дх(, 2 7+1 Р) ' дх и Р2 Р1 и2п еи1п озс о1 (10) Р2 121 о Б1П 12. у+1 При подстановке в эти соотношения рядов (6) следует заменить в их коэффициентах 7 через е согласно формулам у 1+и 1+с 2 'у=, =1 — е. у+1 2 ' 1 — и' у+1 Однако, если ограничиваться вычислением лишь одного — двух первых отличных от нуля членов в разложениях (6), то можно ожидать, что более точные результаты будут получены, если не производить та- кой замены.
Это предположение можно подтвердить путем сравне- ния найденных при такой замене и без нее приближенных решений с точными решениями для случаев обтекания клина и кругового кону- са. Тем не менее, мы будем пользоваться первым способом, так как сохранение зависимости от 7 функций с нулевым индексом приводит в общем случае (когда 77 У- 'оо) к усложнению метода, не позволяя найти в квадратурах решение системы уравнений, определяющих эти функции. Из уравнений (9) получим иоз + Р— ' = 21о(ф), Ро = до(ф)ро, Ро 2иои, + — ( — — — + 1) = 211(уу), — — — — 21п —, = д1(уу).
ро ур1 Р1 1 р1 Р1 Ри ( Ро ро Ро ро Ро Р1 Здесь использована формула аз = 1+ б!па + О(бз). Таким образом, функции с индексом нуль определяются формулами уо = О, оо = О, ио = ио(Ф), Ро = „1 ) ио(2Р) 124+ Р(х) Ро = 1 ро (12) и Из первого уравнения (2) следует, что дро)дУу = О, т е Уо = Уо(х) Положим уо(х) = О. Это соответствует предположению о том, что линии тока мало отклоняются от линии Ь. Тогда из уравнений (2) 3О Г.Г. Черимо Лля определения функций с индексом единица служат линейные уравнения (7), (8) и (11), которые, как нетрудно видеть, позволяют получить решение в квадратурах. Условия (10) должны выполняться при ф = уг (т) + сопв1, где ф*(т) = Р' = Р' +ер,'Юн' 'у,*сова+0(е~) = 4о+еф;+0(е~). и г Подставив сюда разложения (6), получим, что при ф = узо(т) + сопев уо=О, У =Уг и1 = — о' — 'в|па — иооф1 4У1 ох ду,* оз — — — о' вша+ ио —, дз ио = Пеева, (13) оо — — О, ро =Р1 Р1 = — РоФ1 ро = р1П вш а, рв = ргУ )2 — 'Фйа — 1) в|п а — роефг.
2, 2 2Р иУ1 . 1, 2 4т 4. Решение задачи об обтекании конического тела с протоком. Рассмотрим обтекание гиперзвуковым потоком тела врагцения в виде усеченного конуса с протоком (рис. 2). Примем за линию А образующую конуса. Тогда Л = оо, а х У = го + т вш а, где го радиус переднего сечения конуса, а угол между образующей конуса и направлением набегающего потока. Из условий на ударной волне (13) найдем значения произвольных функций в выражениях (12): ио(Ф) = Пеева, Р(т) = р,'У вш а, Рис. 2 до(ф) = 17 вш а. Проинтегрировав уравнения (7) и (8) и использовав условие уз = О при У = О, получим й 1 — и й — в1п а, Ро ион ' ро и(1 — г) в1п а 2рон~ (14) На ударной волне ф = ф = 1г — го), г = У+ еУ* сова.
и Это равенство выражает собой закон сохранения массы, так что условие на ударной волне для иы получаемое из уравнения неразрывности, должно при таком выборе уг удовлетворяться. Лсйствительно: ф* ду~ 1 — и, . 17 уз = „1, — = ф в1па+ — в1па+0(е), роион" 4к роиог ио 1.1) Обтекание тел газом при большой сверхзвуковой скорости 31 2.3 23 2.0 '0 1.0 0,5 Рис. 3 так что 1 — и ф 1О . 1 — оф* ог — — — япа = — аяша+ ио 1 — япа+ —, зша ро р ио роио йрг = — О 61па+ ис — ' ая Из условия 113) для рг найдем функцию р ' 1т) — значение рг на (з) поверхности конуса Суммарное давление на обтекаемой поверхности выразится формулой е',ь ' +1~ ( ') 2 ( К) Положив и = 2, отсюда найдем г 2 р 1т-1( рь,Угв1пга 4 'у-11 ~, Рг/ [Гл.
32 Г.Г. Черный 2.6 1.6 2 3 Рис. 4 Проинтегрировав это выражение для р~е~ по поверхности конуса, получим формулу для коэффициента сопротивления в виде С, = 2 1+ — 1+( — — апза, (15) где 1 = (то/тз)з. Коэффициент Ся рассчитан по кольцевой площади я(т~ — тз). Парис. 3 приведен график зависимости (15) при 7 = 1.4. Пля нахождения формы скачка получим т" р',УИ" ~ соза ит' ' сова откуда т — 1 хзко иго -Ь хя!во (16) Д т+ 1 и та -Ь койно Форма скачка, рассчитанная по этой формуле (при и = 2), приведена на рис. 4. Воспользовавшись граничными условиями (13), найдем дз(ф)+1=2 ' о 1 (1о) =О.
и'т' -т Р~ рта Отсюда Формулы (14) и (17) даются выражениями для всех искомых функций в области течения за скачком. Вычислим еще величинУ 0Я/о1ф = сод!п(Р/Рз)/е(УЗ, где 5 . энтРопия единицы массы, характеризующую завихренность потока за скачком. После несложных выкладок получим е1о ( ) р Сто — = — 2(и — 1)есо йй (ий -'т РЧ1т")о 1.Ц Обтекание тел гаваи ири большой сверхзвуковой скорости 33 Коо 0.75 0.50 0.25 Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
