Лыков А.В. - Теория теплопроводности, страница 90

И. Теорема единственности решения В гл. 1 было показано, что решение дифференциального уравнения теплопроводности должно удовлетворять не только самому уравнению, но и начальным и граничным условиям. Возникает вопрос, могут ли существовать одновременно два решения, которые удовлетворяют уравнению и краевым условиям. Ниже будет показано, что таких двух разных решений быть не может.

Эта теорема называется теоремой единственности решений. Пусть даны два решения: Т, (х, у, г, «) и Т, (х, у, г, т), которые удовлетворяют дифференциальному уравнению — =а1) Т, дТ дч начальным и граничным условиям (2) 1йп Т =- 1 (х, у, г), о Т„= Ф (х, у, г, т), где индекс «п» указывает ведичину, относящуюся к поверхности тела. 580 Положим Т, — Т, =- и; (4) тогда ди — =а()и, д-.

(5) !пни =- О, и„=-О. (5) Рассмотрим следующий интеграл: ( = ~ ~ сЬ. 2 (7) д1 (' ди — = ~ и — сЬ = а ~1 и()'и (Ь. д~,~ д~ (8) Воспольэуемся формулой Грина ~и с)а=-~и1)'исЬ+ ) (( — ) +( — ) +( — )~с(о, (Б) (У) (У) где в первом интеграле интегрирование происходит по поверхности тела (5). Тогда можно написать — =а~и' — "Ю вЂ” а~~( ) +( — ) +( — )~сЬ= га) ' (у) =-- Х И)'+(,';)'. ( — ';)'1" ()') так как первый интеграл равен нулю согласно граничному условию (5), поскольку интегрирование происходит по поверхности, на которой и = О.

Следовательно, ~(0. (О) Так как 7 =О при т = О (и = 0 при т = 0), то 7~<0. (10) Но из соотношения (7) следует, что 7>0. Отсюда вытекает, что 1 = О. Следовательно, и=О, Т, =Та. Итак, если некоторая функция Т(х, у, г, т) удовлетворяет дифференциальному уравнению, начальному и граничному условиям, то она яв- Интеграл берется по объему тела у'(с(о = с(х а)у а)г), т. е. является трехкратным интегралом. Тогда 581 ляется единственным решением данной задачи (теорема единственности решения). Необходимо отметить, что решение задачи может быть выражено в разных функциональных соотношениях, но это не означает наличия разных решений задач, а следовательно, не противоречит теореме единственности решения.

!П. Дифференциальное уравнение теплопроводности, выраженное в различных системах координат В гл. 1 дифференциальное уравнение тсплопроводности было выведено в декартовой системе координат: 'дТ т ! диТ дэТ д~Т т — = ац'Т = а( — + — + — ). д~ (, дх~ да~ дг~ ) Выразим у'Т в сферических и цилиндрических координатных системах. Положим х = гз!пбсозф, у = гз(пбз1п), г = гсозб. Тогда получим т~~Т= — ~ — (г' — ) + — (з(пб — ) +, ~, (3) или где и =- сов 0.

Соотношение (4) есть выражение тд'Т в сферических координатах (г, О и у). Положим х = гсо50, у =- гз(об. Тогда получим 'р'Т =-. — ~ — (г — ) + ( — — ) + — (г — )~ (5) или тТ д Т ! дТ, 1 дтГ д'Т от=- + дг' г дг г~ др дг2 + (6) Соотношение (6) есть выражение у'Т в цилиндрических координатах (г, О). При подстановке выражений (4) и (6) в уравнение (!) получим формы уравнения теплопроводности в сферических и цилиндрических координатах. 582 ЧЧ. Основные правлла н теоремы преобразовання Лапласа Номер и.и. р (2) = Е [((л)1 ел 1 (2) Р (аг) Р (ав — Ь) е з'Р (3) 1 — Р (3) 1 — Р (3) 32 10 — Р' (3) ( Цл Р(л) (3) 12 Р) (3) Р (з) Р(У3) Р(т(з)! Ф(б (о е 'е(4 Ф (3) = ) е 'О ф (2, ь) Вь и Ф (г) —, где ф (з) = (г — 32) Х Ф() Х (г — 32) ...

(3 — Зл) 16 17 (случай кратных. корней) «+йо 1 1()= —, 1 Р() "(. 222 — (Ов А1 (2) + ВВ (2) 1'() 1(л) ( ) 1(2 — Ь), если 1(2) = О, нри т < 0 ~ 1 (в) (в О г (~'1(ь) (ьпь О О 1() :" 1 (2) ( 1, (, — ь) 1. (0) (ь = 1', 1, О ° о — ~ 1(ь) р( — — ) ь о ОЗ ~ е — 'О1*(ь) Вь, о где 1* (ь) = ) 1 (л) ф (2, ь) Вт, О ф (2, Ь) Ф(г.) '" ,(2-2 Иеи Х (Й вЂ” 1)( в г (2(3 е=( ~~(г) ( — .) .3.) ) Ов 1(2) е " в(2 = Р (3) О АР (3) + ВО (в) ЗР (3) — 1 (+0) злр (3) — зл"2 1 (+О) — зл-2 1' (+О) —... — 1( — ) (+о) Р (г — а) Ф (з) , где ф(в)=(г — 32) (г — г,)Х Ф() Х (г — зт) (в — выев) ° ° ° (г — гл) 884 Продолжение Непер л.п.

е п' з]пй с 21 Е и'Савйс 26 29 Ьа — а' 1 п, — Еп'5!П й с й 30 31 4йа 54 + 4й4 33 34+4йс ! 34 3 34 — й4 36 (32+ йа)п41 ! )л 37 38 40 Иаабражение функции Р !3) = С !) !4)] й (3+ а)5 + йа 3+а (3 + а)2 + й' 1 3 (за+ йа) ! 32 (52 + йа) 1 (32 + йа)5 (ва + йа)2 35 (32 ! йа)2 32 — йа (32+ й2)2 (а' 4= Ь') (за ! 02) (32 ! Ьа) 1 (з — а)'+ й' Зйа 33+ йа (3 — й)" ()/3 — а — )у Б — Ь ) Оригинал функции ! !4) ! (1 — С05 йз) йз 1 йа (йс — 5!П йс) 1 (5!П йс — йе С05 й с) 2йе 5!П й'с 2й ! (51П й + йс С05 й С) 2й С05 йп сов а 2 — сов Ь с )12)1'3 2 (С05 2 )у3 „.„йз)у'3 ~ 5 )п й 2 СЬ й и — сов й с 5]) й 2 5 )П й 2 5)4 й 2 1 2йа 1 (5]4 й'С вЂ” 51П йп) 2)св — (сй й с — сов й 2) 1 2йа 'с 5!П йс 2п йл! с(п )п(с) е — ( ле ) л! дел еа' (1 + 2й с) ( е ' — еп") 2 )сслпа — йез 'ег10 й )Уе 585 Продолжение Номер и.и.

41 42 !/з (и — й') «У й)/ о Уз(з +й) Ьз — аз 45 (з — аз)(Ь+ )/з ) 1 )/3 ()/з + й) ! 47 (з + й)(ф~з+ Ь) Ьз — йз е-" ' (й> О) 49 50 «в 4» 5! й 2 )/с ! ег1с 2 )/е — «~ з ! зс 53 55 Изображение Функции Р!») =г.(8 П )/з( — й)()/ + Ь) 1 — е "У' (й>0) е ! — е г ' (й>0) М- 1 — е « '(й>0) з)»з ! — е « ' (й>0) .— е е «'(й > О) зп у з Оригинал функции 1(с! ! — + йе ег1 й )/е — е дх )/ кз )/сс о — «* — е «'ег1 й)/с й ео '(Ь вЂ” а ег1 а 1/2 ) — Ье 'ег1с Ь )/е е«' ег1с й 1/; ! е ' ег1 )/(Ь вЂ” й) с )/Ь вЂ” й е« ' — ег1 й )/2 — 1 ~ + ( 1с +ез ег1с Ь )/2 [- —.--~ = й 1 й ! — ег1 —.)! = ег1с 2 )/2) 2 1/с й 2 1/ е ' — йег1с —— 2 )/2 .й 4 с!з,ег1с— 2 )/е «» ( + 2 ) ег1с=- — й )У и 3.

й (4е)п» !пег1с 2 ')/2 « 1 — — де (е — г)"-'е (п 1)! )» из о 887 Продолжение Номер п.п. Иаображение Функции Р ОО = Ц1 ('П Оригинал Функции 1!е) — «уз+ Ь 5 66 67 1 5 )/5+2Ь 69 1а («е) 76 71 72 73 74 (5+«) * (5+Ь) уг 1 — е ' 1г («е) 76 76 77 78 79 1/5 -(-2Ь е — «г а ' » 1 5 ! )/зг ( «г 1 Г/за — «г )/5+ 2« 1 (1~ + Ь)()/5+ Ь) 7' (т) (5+ «) (5+ Ь) (т > О) 5+2« — [ 5 )/5 + 2« + )/з (! 5)л л+",, (! 5)л згп 9 ()/5 + Ь вЂ”.) [/г[«г 1 ( +«г), (т > О) л [ е "Уье !с ( ~ — )/Ье) + + е Ь ег!с ( — + )/Ье )~ ехр[ — ( 4 +2«е)~ + — е ~ ег1с ( + )/2Ьг)~ — [ е «гоег1с ( — )/2«е)— — е ~ еИс ( + )/2«г)~ 1о («г) йе «' [1 (Ьк) + 15 (й~) [ гй — Ь о (1 гк — е И+ 1еХ (« — Ь) — ~+Ь) [1 ( 2,) + +"( — '' )1 и,„()/,-) (2л)1)г се п! — Нз„+,()/ ) й' 1„(1гг) ( ) 11т-/) (Ье) 588 Продолжение Изображение функции Р(5! = с !((»П Номер п.п. Оригинал фуннкии ! (») 1 (за йа)т (т > О) 80 1 — е 5 81 соз 2 )г йт с)»2 )l йт 82 83 з!п2 (г'йт 5(»2 [гйт т — ( 86 1 — еь?5 (т > 0) зт 8? — ЬС 5(5+() е 88 )гг з (5 + Ь) — Ь У за+ Ь' е 89 )г за+ Ьа Ь У'5» Ь е 90 Уо (Ь Ьг с' + 2 йт ) 91 92 ! — 18 з 93 1 — !де й (й > о) !85 94 98 1 — Ь?5 )'5 1 ь?5 е )г з 1 — Ь »5 е з У'е — е ?~ 1 з )гз 1 — е ~?~ (т> 0) зт )гг зз — Ьа — Ь (У 5» + т — 5) (й > О) )Гз +ь — Ьре»+Ь» Ь е ,; (е> — 1) )гг зе+ Ьа ()l за + Ьа -(- е ) Г )т — )ге Г (т) ((2й / ( йт) Хо (2 '[»йт) 1 ! )/ пй ! )/кй 2 ~ — ') ?( О (2 )7йт) т — ( 2 ( — ) 7( () (2)г йт) О, когда 0 < т < й, е ?»Ь'l ( — Ь )ггта — й' ), когда т>й г 1 о~ 2 ! О, когда 0 < т < й, 75(Ь )гг т' — й' ), когда с > й ! О, когда 0 < т < й, ?о(Ь )ггтс — й' ), когда с > й с о (0<т<й), ст — Ы(?2 ' — ) У„(Ь Ьг с' — йа); (т > й) [,+Ц Г' (ц — 18 с; [Г' (1) = — 0,8772[ , ( г (й) !а ! [г (й))а г (й) ) ь» е [18й — Е! ( — йс)); о г — х дл Ес ( — т) = — ) е — (с > О) ЛИТЕРАТУРА 1.

А к сель руд Г. А. Теория диффузионного извлечения веществ из пористых тел. Львов, Изд. Львовского политехнического института, 1959. 2. Б а к а л е ев В. П. О возможности решении нелинейных задач теплопроводиости. ИФЖ, 1961, т. 1Ч, № 10, стр. 119 †1. 2а. Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений, т. П. М., Физматгиз, 1960. 3. Б у д р и н Д. В. Вопросы теплообмена и горения. «Труды Уральского индустриального института», М., Металлургиздат, 1941; Гидростатический интегратор для решения дифференциального уравнения теплопроводности с учетом зависимости теплофизических свойств (коэффициента теплопроводности и объемной теплоемкости) от температуры. «Труды Уральского политехнического института», 1955, сб.