Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » Лыков А.В. - Теория теплопроводности

Лыков А.В. - Теория теплопроводности, страница 89

DJVU-файл Лыков А.В. - Теория теплопроводности, страница 89 Термодинамика (1613): Книга - 4 семестрЛыков А.В. - Теория теплопроводности: Термодинамика - DJVU, страница 89 (1613) - СтудИзба2017-06-17СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "Лыков А.В. - Теория теплопроводности", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "термодинамика" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МАИ. Не смотря на прямую связь этого архива с МАИ, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "книги и методические указания", в предмете "термодинамика" в общих файлах.

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 89 - страница

В заключение еще раз отметим, что последняя теорема позволяет по расположению в комплексной плоскости особых точек изображения сразу, без вычислений судить о поведении оригинала прн больших т. Действительно, если среди особых точек изображения имеются такие, для которых Вез > О, то оригинал будет экспоненцнально возрастать при т-в.. Наоборот же, если даже для самой правой особой точки Вез (О, то соответственно оригинал экспоненциально убывает при Теорема об асимптотическом разложении оригинала по известному разложению изображения особенно важна в тех случаях, когда последнее имеет очень сложнмй вид и соответствующий контурный интеграл не может быть вычислен.

Отметим, однако, что предложенные методы аснмптотических оценок применимы при большом значении некоторой переменной или параметра. Если такой переменной является время, то было бы интересно, наряду с изложенными методами определения асимптотнческого поведения функции времени при т-в. о по аналитическим свойствам ее преобразования Лапласа, иметь возможность исследовать поведение решения и прн малых значениях времени.

Рассмотрим здесь один такой способ. Нетрудно убедиться, что решения одномерных задач теплопроводности с пространственной координатой, изменяющейся в конечном интервале, с граничными условиями первого и второго родов на концах этого интервала могут быть выражены в виде линейных комбинаций интегралов и производных от следующих рядов, играющих важную роль в теории теплопроводности и других разделах анализа и имеющих специальное название тэта-функции: ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКНИИ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 571 О О, (х, ! ~) = 2 ~~!' ( — 1)" е '"+ и! ' з! п (2п + 1) !тх, м=в СО О, (Х, рт) = 2 ~ Е " '"+ Ри СОЗ (2П + 1) яХ, м=з Г 9,(х, !т) =1+2'~„' е '" ' соз2плх, л=! О, (х, !т) = 1 + 2 ')" ( — 1)" е ' . соз 2п ях.

ю=! (т>0) (65) Непосредственным дифференцированием легко проверить, что все эти ряды удовлетворяют уравнению теплопроводности вида дЗ! ! д0; 4м д~ дх! (66) (с=1, 2, 3, О). ОЭ ~~!' )' (2т!п), (67) где Т(т) — является непрерывной и непрерывно дифференцируемой функ- цией, так что ряды ~(2яп.+ ф) и "«~~ ~'(2яп+ (р) сходятся абсолютно и равномерно для всех 0~(ф (2~. Следовательно, СО ряд '«~ Т(2яп+ ф) может быть разложен для указанных значений ф в Л "-ОЭ сходящийся ряд Фурье. 20* Таким образом, переменные т и х играют роль безразмерных времени и координаты соответственно. Ряды типа (65) хорошо сходятся при больших значениях т и, наоборот, являются обычно медленно сходящимися при малых т. Можно, однако, при малых т указать общий способ преобразования в быстросходящиеся рядов типа (65) (т.

е. этих рядов и рядов, которые получаются из них при дифференцировании и интегрировании). Рассмотрим ряд 572 Глава лятладцагая Итак, имеем О ))2 -)-2).= — ~ ( "1 ~))2 О )]с )= Л= — СО Ш= — О в Л= — СΠ— ( 2 [12)2 ..) )» ".'"с ]) = О О» — — т .'"'(1л.) -' '2.) (68) Положим )р = О, тогда равенства (68) запишутся О ~(2ж) = — ')' ) 7'(~) е ' !(О). (69) Полученное соотношение, называемое формулой суммирования Пуассона, имеет много важных применений, в частности, для преобразова. ния рядов и их суммирования, если преобразованный ряд, стоящий в правой части, оказывается настолько простым, что сумма его известна. Прежде чем применить формулу Пуассона для преобразования тэта- функций, запишем ее в несколько иной форме, вводя функцию д(п) согласно соотношению ~(2яп) = д(п).

(70) Тогда (69) примет внд О» СО СО ~)~~ Р(п) =- лт' ) 22(а)е Йа. (71) СО 62 (х, 22) = 1 + 2 'т е '" ' соз 2плх = лт' е '" ' соз 2)спх = — Ол»с — 2 !ля е М (72) Согласно формуле суммирования Пуассона отсюда имеем О СО СО 6 х 12) е — Ол*с — 2 2лл ) е — О'с — 2 гл (х+л)) !(„(73) з[ Применим формулу (71), например, к функции 62[х, 22], для чего преобразуем соответствующий ряд ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКНИН И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 573 Интеграл, стоящий под знаком суммы, уже вычислялся выше. Он ока. зывается равным — — 2л (х-ьт) Нщ (74) Подставляя значение интеграла в формулу (73), получим новое представление функции 0 (х, ~т) в виде ряда, чрезвычайно быстро сходящегося при малых т (т ) 0): ат' 2юих Оз(х ~~) =:е (75) Пользуясь определением (72), равенство (75) можно записать в виде функционального соотношения бз(х, (т) = — е ° .

О, .(, (76) Аналогичные соотношения могут быть получены и для остальных тзта- функций: к* 0,(х, (т) = — 'е «О, 0,(х,(т) = — е О, к.~* О,(, )= — ':. О, — ',— ~. Для задач с цилиндрической симметрией асимптотические разложения соответствующих рядов при малых т получены в работе (96а~. ПРИЛОЖЕНИЯ 1. Некоторые справочные формулы Приводим некоторые соотношения, которые используются при решении задач теплопроводности.

1. Разложения тригонометрических функций в ряд: х5 х4 х4 созх = 1 — — + — — — +. 2! 4! 6! )х(( х хЗ х5 х4 3!пх=, ! + 7! +. !! 31 5! )х! 1 ~( хЗ 2хЗ 17х' 1йх==х+ — + — + +. 3 35 3557 х х5 2х5 3 3' 5 3".5.7 с1я х— 1 2. Разложения гиперболических функций в ряд: хЗ х4 х4 ~)! = — 1+ — + —,+ —,+..., ~ ~< хЗ х5 хЗ зЬх =- х+ — + — + — + 3! 5! 7! )х(( о ! !(2; !Х((45; 1Ьх =-1 — 2е "+ 2е "— 2е '"+... с1пх-= 1 + 2е '" + 2е ' + 2е "+ 1 2 (Е-х + Е-Зх + Е-5х + ) ЗЬ Х ( х ! ( 45; 2 (е-х е-зх + е-Зх е-зх 1 ) ~ х ! ( 1 3 5 сьх 2 зй х = — (ех — е х), 1 2 С!1 Х =. — (Ех -1-Е-х) 1 2 1 з(п х = —.

(е" — е "), 2! соз х (е4х + е-4х). 2 3. Соотношения между гиперболическими, тригонометрическими и экспоненциальными функциями. Непосредственно из предыдущих разложений следует: 575 ег1х = =~ е дх, о ег1 = 1, ег1( — х) = — ег(х, 03 ег1сх = 1 — 'ег1х = — ~ е дх. 2 с г Приведем разложение в ряд функции ег1х для малых значений х К ОЭ ОР ег(х = — ( бх ~~Р ( — 1)" —, = — "Ь1 ( — 1)" О г=-г г=г откуда хг г ег(х = 1!3 + 213 и для больших значений х ОО гг г у ч ег(с х = ~ е-к 2 х откуда ег(с х = ~к 1 2 2 Полученный ряд сходится, так как имеет место неравенство ОЭ вЂ” е дх(е" — с(х.

ггпу ) гг г Х Следовательно, можно написать ег1сх= — =е' ( — — — + — — + ). 1 г/! 1 1 3 133 у'г ( х 2гг 2г гг 2г х' е' =созх+1япх, е'"=-созх — (япх (формулы Эйлера); яп гх = (зп х, соз 1х =- с(т х, 1я (х == (й х, з)т (х = 1 яп х, сЫх = соз х, й гх = 115 х, соз(х+ гу) = сов хе)гу — гяпхзйу, яп(х+ (у) = япхе)гу+гсозхз)гу. Значения япх, созх, 1ях, з)гх, 1пх, е, е ", спх от О до 10 через одну тысячную приведены в книге: Б. И. Сегал и К. А.

Семендяев. Пятизначные математические таблицы. Изд. АНСССР, М., 1948. 4. Некоторые интегралы, не сводящиеся к элемент а р н ы м ф у н к ц и я м. Функция ошибок Гаусса: 576 Имеют место следующие соотношения: е г1х = — яег1 у, а Мп2ху 1 Х 2 о М 1* е * з!п2хуйх = — к яе г ег1 у. *з 1 2 2 о В задачах теплопроводности приходится дифференцировать и интегрировать функции ег1х и ег1сх.

Введем обозначение нп г!цег! х = — „„ег1 х. Тогда г!ег1х= — е- 2 з гР ег1 х =- — — хе 4 -хз у О !л ег1с х = ~ !л-~ ег1с Щ к Тогда 14 ег1с х = ег1с х; СО 1ег1сх =. ) ег1с4Ж = е-' — хег1сх, 1 2 !зег1с х = ) ! ег1с !г!! = — ~(! + 2х') ег1с х — — хе 2 22 х 1 = — (ег1с х — 2хгег1с х), 4 Общая рекуррентпая формула имеет вид 2пг'ег1сх = !" 'ег1с х — 2х!"-'ег1с х. Откуда следует Р сг1с О— 2" П( 2 и) 2" Г(! '- — 2 — п) Можно показать, что функция у === 1" ег1с х есть решение дифференциального уравнения у" + 2ху' — 2лу =- О. Производные от ег1 х обычно торых даны значения для ег1х.

Для интегрирования функции приводятся в тех же таблицах, в коег1сх введем обозначение 578 Если ч — целое и положительное число (в = п), то можно написать пу„(г) = — 2[1п( — г) + С~12(г) — ): ( — 1)2 ~ ь т + где С = 0,5772... — постоянная Эйлера. Если и = О, то будем иметь — и)'в (г) = [ 1п ( — г) + С~ 1, (г) + ( — г) — (1 + —,),, + + (1 + 2 + -а ), 2 —... =- [ 1п ( 2 г) + С~ Ув (г) + 2,— Моди$и2(ированное уравнение Бесселя 22у ( Лв ( Р ~ — + — — — 1+ — у=О о22 2 ог ( 2 ) имеет частные решения, определяемые соотношениями 1„(г) = =Х ( ( ) ~+22 ~г~( ~, мц(~+2) 1, 2 ~ ' ~аткг~< — г ь=в ) ! (2) — 1 (2) К (г)= — я где 1,(г) — модифицированная функция Бесселя первого рода порядка ч и К,(г) — модифицированная функция Бесселя второго рода порядка ч. Для частного случая ч =- О имеем К, (г) = — [!п ( 2 г) + С11, (г) + ( 2 г) + (1 + о ) (2О, =- — [1и( 2 г)+ С)12(г)+ 22 +(1+ 2 ) 22 з + + ( + 2 + 3 ) 22 42 б2 + ' ' ' Соотношения между 1 (г), )',(г) и 1,(г), К,(г) имеют вид К„(Рм г) == ( ам К„(г) — (и, 1„(г), " )' (122 г) = ( 22' У (г) + 2( а)п )2 н2 с1д н2 У„(г).

579 Разложения функций 1„(г) и К,(г) в ряд при больших значениях )2( имеют вид 1 ! 4ч» — 1» (4ч» — 1») (4ч» — 3») 1 (2) = Т1 ~ е' ( ~ н 82 + 21 (82) ' ') ' з / о 1 4ч» — 1» (4ч» — 1») (4ч» — 3») 22 1, 11 8» + 21 (82)» ' ' ') ' Соотношения между функциями и их производными следующие: 1, (г) = — 1» (г), Уо(г) = — 1',(г), 1о (2) = 1,(г), Ко (2) = К»(г). В общем случае имеем 21„'(г) + »1 (г) = г1,, (г), г1„'(г) — ч1„(г) = г1„, (г), 2К„(2) + чК„(2) = — 2К (г), гК;(г) — чК (г) = — гК,(г), г« (г) + »У (2) = го (г), 21,' (г) — »1, (г) = — 21, (г), К „(г) =К,(г), Кн(г) = )I — е-'.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5288
Авторов
на СтудИзбе
417
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее