Лыков А.В. - Теория теплопроводности, страница 89

В заключение еще раз отметим, что последняя теорема позволяет по расположению в комплексной плоскости особых точек изображения сразу, без вычислений судить о поведении оригинала прн больших т. Действительно, если среди особых точек изображения имеются такие, для которых Вез > О, то оригинал будет экспоненцнально возрастать при т-в.. Наоборот же, если даже для самой правой особой точки Вез (О, то соответственно оригинал экспоненциально убывает при Теорема об асимптотическом разложении оригинала по известному разложению изображения особенно важна в тех случаях, когда последнее имеет очень сложнмй вид и соответствующий контурный интеграл не может быть вычислен.

Отметим, однако, что предложенные методы аснмптотических оценок применимы при большом значении некоторой переменной или параметра. Если такой переменной является время, то было бы интересно, наряду с изложенными методами определения асимптотнческого поведения функции времени при т-в. о по аналитическим свойствам ее преобразования Лапласа, иметь возможность исследовать поведение решения и прн малых значениях времени.

Рассмотрим здесь один такой способ. Нетрудно убедиться, что решения одномерных задач теплопроводности с пространственной координатой, изменяющейся в конечном интервале, с граничными условиями первого и второго родов на концах этого интервала могут быть выражены в виде линейных комбинаций интегралов и производных от следующих рядов, играющих важную роль в теории теплопроводности и других разделах анализа и имеющих специальное название тэта-функции: ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКНИИ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 571 О О, (х, ! ~) = 2 ~~!' ( — 1)" е '"+ и! ' з! п (2п + 1) !тх, м=в СО О, (Х, рт) = 2 ~ Е " '"+ Ри СОЗ (2П + 1) яХ, м=з Г 9,(х, !т) =1+2'~„' е '" ' соз2плх, л=! О, (х, !т) = 1 + 2 ')" ( — 1)" е ' . соз 2п ях.

ю=! (т>0) (65) Непосредственным дифференцированием легко проверить, что все эти ряды удовлетворяют уравнению теплопроводности вида дЗ! ! д0; 4м д~ дх! (66) (с=1, 2, 3, О). ОЭ ~~!' )' (2т!п), (67) где Т(т) — является непрерывной и непрерывно дифференцируемой функ- цией, так что ряды ~(2яп.+ ф) и "«~~ ~'(2яп+ (р) сходятся абсолютно и равномерно для всех 0~(ф (2~. Следовательно, СО ряд '«~ Т(2яп+ ф) может быть разложен для указанных значений ф в Л "-ОЭ сходящийся ряд Фурье. 20* Таким образом, переменные т и х играют роль безразмерных времени и координаты соответственно. Ряды типа (65) хорошо сходятся при больших значениях т и, наоборот, являются обычно медленно сходящимися при малых т. Можно, однако, при малых т указать общий способ преобразования в быстросходящиеся рядов типа (65) (т.

е. этих рядов и рядов, которые получаются из них при дифференцировании и интегрировании). Рассмотрим ряд 572 Глава лятладцагая Итак, имеем О ))2 -)-2).= — ~ ( "1 ~))2 О )]с )= Л= — СО Ш= — О в Л= — СΠ— ( 2 [12)2 ..) )» ".'"с ]) = О О» — — т .'"'(1л.) -' '2.) (68) Положим )р = О, тогда равенства (68) запишутся О ~(2ж) = — ')' ) 7'(~) е ' !(О). (69) Полученное соотношение, называемое формулой суммирования Пуассона, имеет много важных применений, в частности, для преобразова. ния рядов и их суммирования, если преобразованный ряд, стоящий в правой части, оказывается настолько простым, что сумма его известна. Прежде чем применить формулу Пуассона для преобразования тэта- функций, запишем ее в несколько иной форме, вводя функцию д(п) согласно соотношению ~(2яп) = д(п).

(70) Тогда (69) примет внд О» СО СО ~)~~ Р(п) =- лт' ) 22(а)е Йа. (71) СО 62 (х, 22) = 1 + 2 'т е '" ' соз 2плх = лт' е '" ' соз 2)спх = — Ол»с — 2 !ля е М (72) Согласно формуле суммирования Пуассона отсюда имеем О СО СО 6 х 12) е — Ол*с — 2 2лл ) е — О'с — 2 гл (х+л)) !(„(73) з[ Применим формулу (71), например, к функции 62[х, 22], для чего преобразуем соответствующий ряд ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКНИН И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 573 Интеграл, стоящий под знаком суммы, уже вычислялся выше. Он ока. зывается равным — — 2л (х-ьт) Нщ (74) Подставляя значение интеграла в формулу (73), получим новое представление функции 0 (х, ~т) в виде ряда, чрезвычайно быстро сходящегося при малых т (т ) 0): ат' 2юих Оз(х ~~) =:е (75) Пользуясь определением (72), равенство (75) можно записать в виде функционального соотношения бз(х, (т) = — е ° .

О, .(, (76) Аналогичные соотношения могут быть получены и для остальных тзта- функций: к* 0,(х, (т) = — 'е «О, 0,(х,(т) = — е О, к.~* О,(, )= — ':. О, — ',— ~. Для задач с цилиндрической симметрией асимптотические разложения соответствующих рядов при малых т получены в работе (96а~. ПРИЛОЖЕНИЯ 1. Некоторые справочные формулы Приводим некоторые соотношения, которые используются при решении задач теплопроводности.

1. Разложения тригонометрических функций в ряд: х5 х4 х4 созх = 1 — — + — — — +. 2! 4! 6! )х(( х хЗ х5 х4 3!пх=, ! + 7! +. !! 31 5! )х! 1 ~( хЗ 2хЗ 17х' 1йх==х+ — + — + +. 3 35 3557 х х5 2х5 3 3' 5 3".5.7 с1я х— 1 2. Разложения гиперболических функций в ряд: хЗ х4 х4 ~)! = — 1+ — + —,+ —,+..., ~ ~< хЗ х5 хЗ зЬх =- х+ — + — + — + 3! 5! 7! )х(( о ! !(2; !Х((45; 1Ьх =-1 — 2е "+ 2е "— 2е '"+... с1пх-= 1 + 2е '" + 2е ' + 2е "+ 1 2 (Е-х + Е-Зх + Е-5х + ) ЗЬ Х ( х ! ( 45; 2 (е-х е-зх + е-Зх е-зх 1 ) ~ х ! ( 1 3 5 сьх 2 зй х = — (ех — е х), 1 2 С!1 Х =. — (Ех -1-Е-х) 1 2 1 з(п х = —.

(е" — е "), 2! соз х (е4х + е-4х). 2 3. Соотношения между гиперболическими, тригонометрическими и экспоненциальными функциями. Непосредственно из предыдущих разложений следует: 575 ег1х = =~ е дх, о ег1 = 1, ег1( — х) = — ег(х, 03 ег1сх = 1 — 'ег1х = — ~ е дх. 2 с г Приведем разложение в ряд функции ег1х для малых значений х К ОЭ ОР ег(х = — ( бх ~~Р ( — 1)" —, = — "Ь1 ( — 1)" О г=-г г=г откуда хг г ег(х = 1!3 + 213 и для больших значений х ОО гг г у ч ег(с х = ~ е-к 2 х откуда ег(с х = ~к 1 2 2 Полученный ряд сходится, так как имеет место неравенство ОЭ вЂ” е дх(е" — с(х.

ггпу ) гг г Х Следовательно, можно написать ег1сх= — =е' ( — — — + — — + ). 1 г/! 1 1 3 133 у'г ( х 2гг 2г гг 2г х' е' =созх+1япх, е'"=-созх — (япх (формулы Эйлера); яп гх = (зп х, соз 1х =- с(т х, 1я (х == (й х, з)т (х = 1 яп х, сЫх = соз х, й гх = 115 х, соз(х+ гу) = сов хе)гу — гяпхзйу, яп(х+ (у) = япхе)гу+гсозхз)гу. Значения япх, созх, 1ях, з)гх, 1пх, е, е ", спх от О до 10 через одну тысячную приведены в книге: Б. И. Сегал и К. А.

Семендяев. Пятизначные математические таблицы. Изд. АНСССР, М., 1948. 4. Некоторые интегралы, не сводящиеся к элемент а р н ы м ф у н к ц и я м. Функция ошибок Гаусса: 576 Имеют место следующие соотношения: е г1х = — яег1 у, а Мп2ху 1 Х 2 о М 1* е * з!п2хуйх = — к яе г ег1 у. *з 1 2 2 о В задачах теплопроводности приходится дифференцировать и интегрировать функции ег1х и ег1сх.

Введем обозначение нп г!цег! х = — „„ег1 х. Тогда г!ег1х= — е- 2 з гР ег1 х =- — — хе 4 -хз у О !л ег1с х = ~ !л-~ ег1с Щ к Тогда 14 ег1с х = ег1с х; СО 1ег1сх =. ) ег1с4Ж = е-' — хег1сх, 1 2 !зег1с х = ) ! ег1с !г!! = — ~(! + 2х') ег1с х — — хе 2 22 х 1 = — (ег1с х — 2хгег1с х), 4 Общая рекуррентпая формула имеет вид 2пг'ег1сх = !" 'ег1с х — 2х!"-'ег1с х. Откуда следует Р сг1с О— 2" П( 2 и) 2" Г(! '- — 2 — п) Можно показать, что функция у === 1" ег1с х есть решение дифференциального уравнения у" + 2ху' — 2лу =- О. Производные от ег1 х обычно торых даны значения для ег1х.

Для интегрирования функции приводятся в тех же таблицах, в коег1сх введем обозначение 578 Если ч — целое и положительное число (в = п), то можно написать пу„(г) = — 2[1п( — г) + С~12(г) — ): ( — 1)2 ~ ь т + где С = 0,5772... — постоянная Эйлера. Если и = О, то будем иметь — и)'в (г) = [ 1п ( — г) + С~ 1, (г) + ( — г) — (1 + —,),, + + (1 + 2 + -а ), 2 —... =- [ 1п ( 2 г) + С~ Ув (г) + 2,— Моди$и2(ированное уравнение Бесселя 22у ( Лв ( Р ~ — + — — — 1+ — у=О о22 2 ог ( 2 ) имеет частные решения, определяемые соотношениями 1„(г) = =Х ( ( ) ~+22 ~г~( ~, мц(~+2) 1, 2 ~ ' ~аткг~< — г ь=в ) ! (2) — 1 (2) К (г)= — я где 1,(г) — модифицированная функция Бесселя первого рода порядка ч и К,(г) — модифицированная функция Бесселя второго рода порядка ч. Для частного случая ч =- О имеем К, (г) = — [!п ( 2 г) + С11, (г) + ( 2 г) + (1 + о ) (2О, =- — [1и( 2 г)+ С)12(г)+ 22 +(1+ 2 ) 22 з + + ( + 2 + 3 ) 22 42 б2 + ' ' ' Соотношения между 1 (г), )',(г) и 1,(г), К,(г) имеют вид К„(Рм г) == ( ам К„(г) — (и, 1„(г), " )' (122 г) = ( 22' У (г) + 2( а)п )2 н2 с1д н2 У„(г).

579 Разложения функций 1„(г) и К,(г) в ряд при больших значениях )2( имеют вид 1 ! 4ч» — 1» (4ч» — 1») (4ч» — 3») 1 (2) = Т1 ~ е' ( ~ н 82 + 21 (82) ' ') ' з / о 1 4ч» — 1» (4ч» — 1») (4ч» — 3») 22 1, 11 8» + 21 (82)» ' ' ') ' Соотношения между функциями и их производными следующие: 1, (г) = — 1» (г), Уо(г) = — 1',(г), 1о (2) = 1,(г), Ко (2) = К»(г). В общем случае имеем 21„'(г) + »1 (г) = г1,, (г), г1„'(г) — ч1„(г) = г1„, (г), 2К„(2) + чК„(2) = — 2К (г), гК;(г) — чК (г) = — гК,(г), г« (г) + »У (2) = го (г), 21,' (г) — »1, (г) = — 21, (г), К „(г) =К,(г), Кн(г) = )I — е-'.