Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » Лыков А.В. - Теория теплопроводности

Лыков А.В. - Теория теплопроводности, страница 88

DJVU-файл Лыков А.В. - Теория теплопроводности, страница 88 Термодинамика (1613): Книга - 4 семестрЛыков А.В. - Теория теплопроводности: Термодинамика - DJVU, страница 88 (1613) - СтудИзба2017-06-17СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "Лыков А.В. - Теория теплопроводности", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "термодинамика" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МАИ. Не смотря на прямую связь этого архива с МАИ, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "книги и методические указания", в предмете "термодинамика" в общих файлах.

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 88 - страница

е. совершая преобразование подобия плоскости з (окружность вокруг точки з = 0 преобразуется в концентрическую окружность радиуса рт и т. д.), получим ЭЛЕМЕНТБ! ТЕОРИИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 565 т. е. для функции Г(г) имеет место интегральное представление 1 1 Г ~ з ге'гЬ, Г (г) 2л1,) ь' (45) доказанное для г(1. Однако его можно аналитически продолжить на любые г. С помощью интегрального представления (41) получаем разложение (38). Заметим также, что, если точка ветвления находится в точке, отличной от нуля, — в некоторой точке з, то по теореме смещения, приведенной в предыдущей главе, соотношение (38) по-прежнему будет иметь место, если его правую часть умножить на е"'. Доказанная теорема носит название правила дробных показателей, так как, если какое-либо из чисел Х„нуль или целое положительное число, то соответствующий член в разложении (38) 1 =О при п=О, 1, .... Т ( — л) р ( ) == ' (Т > О) (46) Функция Р (з) имеет точку ветвления з = О и удовлетворяет всем условиям, при которых было выведено правило дробных показателей, если выбрать ветвь, для которой Ке)~ з > О.

Разлагая в формуле (46) экспоненту В ряд, получим ( — т) л/2 — 1 л1 (47) л=О отсюда, согласно (38), ! 1 г(! — — ) лев 1 1 М В сумме ~ все члены с четными и исчезают; полагая поэтому л=! =2т+1, получим Это немедленно следует из соотношения (44), если его переписать в виде 1 1 =- — Г (г) з( п яг Г(1 — г) г и полагать в ием г = 1, 2, .... Таким образом, асиг4птотическое разложение (38) содержит лишь 1 нецелые степени В качестве иллюстрации рассмотрим изображение 566 Глава пятнадцатая Из теории гамма-функций известно, что поэтому 1)сп с ., вас+с 1 +11.т. ~2 —,) (48) что, как и следовало ожидать, совпадает с разложением функции ег1с( ) при малых значениях (12 )т' с . ~2)стп / Рис. 16. 16.

Расположение полсосов функции Г(в) Перейдем теперь к случаю, когда особыми точками изображения Р(з) будут полюсы в точках в„в„...,з (рис. 15.16). Очевидно, что, 1 г вычисляя интеграл —. ~ и Р(з)с(з по контуру, указанному на рис. 15.16, 2п( и учитывая, что интеграл по левой полуокружности при Я-и исчезает по лемме джордана, получим (а) Кеза; й = 1, 2,..., су'): ан-с'со ас 1(с) = —. ) е Р(з)сЬ =- '~'( вычеты (и Р(з)Д Ьза). (49) а — с' а=1 Если с велико, то, очевидно, в правой части (49) следует оставить лишь член с наибольшим значением Кезя, так как из-за наличия мноаас жителя е он будет велик по сравнению с остальными.

Если имеется несколько таких членов, у которых Вез равны (а 1шз различны), то надо взять сумму этих членов. Например, функция 1 Р(з) ==,,1 имеет двукратный полюс при з= 0 и простой полюс при з = 1. При имеем Г() и тогда как 1(с) =е — с — 1. Таким образом, для определения асимптотнческого поведения функции при с-+, если известно только ее изображение, нет необходимости в выполнении контурного интегрирования. Это асимптотическое поведение функции будет определяться самой правой особой точкой (точками) изображения.

Теперь совершенно очевидна следующая общая теорема. Пусть Р(з) имеет особые точки — полюсы и точки ветвления; функция Р (з) при ~з1-+ с стремится равномерно к нулю в полуплоскости Кез (О; число особых точек з» с наибольшим значением Кезя конечно (/г = 1, 2,..., Л'), элямкнты теории днллитичтоких аункиии и яя няиложяния 557 ч(т) те тте Зте 4те Зто Рис.

!З. 17. Импульсный периодический тепловой по- ток де и если разложение г (з) в окрестности точки з = зл дается рядом (е) л(е) г" (з) = '«С„(з — зл) " е=е ()4е] < л,(А)<...), (50) тогда асимптотическое разложение 7'(т) будет иметь вид С(е) Г(т) — «и )' " (м 1 е=( .=вг ( л(')) и (51) где, =О, если Л„=О, 1, 2,. 1 м) г (- л(')) 1 при 0<с<с, () (т) = ()е = 0 при т, <'т< 2те (52) 9(т+2пте) =(7(т) Формулируем задачу: дТ (х, т) д'Т (х, т) дхе (55) Т(х, 0)=0, дТ (ео, т) дТ (О, т) = я (т) дх ' дх Проиллюстрируем применение этой важной теоремы на нескольких примерах. В предыдущих главах с помощью преобразования Лапласа получе. но точное решение большого числа задач.

Читателю предлагается в качестве упражнения получить асимптотическое разложение решения при т-ь непосредственно из изображения решения, определив самые правые особые точки этого изображения, и убедиться, что полученное асимптотическое разложение решения будет совпадать с найденным путем перехода т-+ в окончательном решении. Рассмотрим задачу о температурном поле в полупространстве х>0, прогреваемом импульсным периодическим тепловым потоком (рис. 15.17), равным Глава пятнадцатая 568 Отсюда легко получить, что — '1/в х Т (х, е) = †„ )/ — е д (з).

(54) Вычислим д (3) =- ( е " д (т) е(т. о Пусть Г" (т) — произвольная периодическая функция с периодом для которой существует преобразование Лапласа. Имеем: Г (я) = ~ (т+ и~ ), (п=1, 2,...), СО 1 2ч г'(з) = ~ Дт) е "Йт = )т 7'(т) е "в!*+ ~ 7'(т) е "е(т+... = о о 1 1(т) е "дт = ''Ул е ' 1" Г'(т)е е(т= т=о ) — е (55) Применяя общее соотношение (55) к потоку д(т), имеющему период 2то, получим Чо) е дт 1 — е Подставляя полученный результат в (54), е — твв 1 — е ! — е найдем — т 1 — в Т (х, з) — ~' 1/а ь (56) е ото 2т+ 1 (57) т о (и= О, ~1, ~2,...). Все особые точки имеют Вез = О.

Разложим изображение (56) вблизи точки ветвления з = 0 в ряд: ~ь( ' ) 2Л зго + цо 1/а (58) Отсюда, согласно (50) и (51), получим, что при т-э. Т(х, я) — — ~ — с. ц /а (59) Вклад полюсов (57) в асимптотическое разложение функции Т(х,я) не нужно учитывать, хотя Рсез„= О, как и для точки ветвления з = О. Закон, по которому изменяется температура полупространства при т-э, не является очевидным. Однако с помощью соотношений (50), (51) его легко определить. Особыми точками Т„(х, з) будут точка ветвления при в = 0 и бесконечное число простых полюсов, лежащих на мнимой оси в точках ЭЛЕМЕНТБ! ТЕОРИИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКНИИ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 569 Это объясняется тем, что каждый из этих полюсов дает в решении ( (2т+11 и— член, периодически зависящий от времени, как е и сумма этих членов, представляющая собой также периодическую н ограниченную функцию т, будет мала при 2 -и по сравнению с главным членом формулы (59). Таким образом, температура полупространства, на поверхность которого падает тепловой поток, изменяющийся по закону (52), будет возрастать — ~' о при больших ъ Рассмотрим еще один пример.

Найдем закон, по которому температура на границе х = 0 полуограниченного тела связана с плотностью теплового потока () (2) через ту же поверхность. Применяя преобразование Лапласа и теорему о свертке, легко выразить температуру Т (х, 2) через плотность потока д (2). Предполагая, что начальная температура принята равной нулю, имеем 4и ( — и (59а) Полагая в последнем уравнении х-+ О, найдем связь между температурой на поверхности х = 0 и плотностью потока тепла через эту поверхность: (60) где введено обозначение Т (О, 2) = 6 (2) .

Если задана плотность потока д(2), то определение температуры поверхности 8(2) сводится к квадратуре. Если же 0(т) известна, а е(2) неизвестна, то (60) представляет собой интегральное уравнение для д(2). Пусть, например, температура поверхности задана и равна 8 (2) = Оое(' (6! ) тогда, решая интегральное уравнение (60) относительно д(2) с помощью преобразования Лапласа, получим 62) Функция — — '- имеет две особые точки: простой полюс при е =- Т и Т точку ветвления з = О.

Если нас интерссует лишь поведение функции д(т) при больших 2, то его можно получить согласно иллюстрируемой теореме. Асимптотическое поведение д (2) будет определяться самой правой особой точкой () (з). Рассмотрим два случая. 20 35555 № 54О 570 Глава пятпадяатая Во-первых, если 7 = йа ) О, то правой особой точкой будет полюс з = йа, и по формулам (50) — (51) имеем Л й ,1,(з) =Е,—. „+ Л 4(.) =6,— йв "+..., (63) т. е. плотность потока экспоненциально возрастает со временем. Если же 7 = — йв < О, то наиболее правой особой точкой (62) будет точка ветвления з =- О, Разложение (62) при 7 = — йа в окрестности точки з =- 0 имеет вид ~-, ( — 1) и и+у, 4 (з)=6— Ь О,— ' ~~ а <и+О Ва пай Отсюда согласно (50) — (51) имеем л,", ( — В Ч( ) Π— ~~ 2(п-~-П ! ! ра~ й п=в — и— (64) и' П я Легко убедиться, что разложения (63) и (64) совпадают с асимптотическими разложениями, которые можно определить из точных обращений функций —, и,, приведенных в приложении Ч1.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5288
Авторов
на СтудИзбе
417
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее