Лыков А.В. - Теория теплопроводности, страница 88

е. совершая преобразование подобия плоскости з (окружность вокруг точки з = 0 преобразуется в концентрическую окружность радиуса рт и т. д.), получим ЭЛЕМЕНТБ! ТЕОРИИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 565 т. е. для функции Г(г) имеет место интегральное представление 1 1 Г ~ з ге'гЬ, Г (г) 2л1,) ь' (45) доказанное для г(1. Однако его можно аналитически продолжить на любые г. С помощью интегрального представления (41) получаем разложение (38). Заметим также, что, если точка ветвления находится в точке, отличной от нуля, — в некоторой точке з, то по теореме смещения, приведенной в предыдущей главе, соотношение (38) по-прежнему будет иметь место, если его правую часть умножить на е"'. Доказанная теорема носит название правила дробных показателей, так как, если какое-либо из чисел Х„нуль или целое положительное число, то соответствующий член в разложении (38) 1 =О при п=О, 1, .... Т ( — л) р ( ) == ' (Т > О) (46) Функция Р (з) имеет точку ветвления з = О и удовлетворяет всем условиям, при которых было выведено правило дробных показателей, если выбрать ветвь, для которой Ке)~ з > О.

Разлагая в формуле (46) экспоненту В ряд, получим ( — т) л/2 — 1 л1 (47) л=О отсюда, согласно (38), ! 1 г(! — — ) лев 1 1 М В сумме ~ все члены с четными и исчезают; полагая поэтому л=! =2т+1, получим Это немедленно следует из соотношения (44), если его переписать в виде 1 1 =- — Г (г) з( п яг Г(1 — г) г и полагать в ием г = 1, 2, .... Таким образом, асиг4птотическое разложение (38) содержит лишь 1 нецелые степени В качестве иллюстрации рассмотрим изображение 566 Глава пятнадцатая Из теории гамма-функций известно, что поэтому 1)сп с ., вас+с 1 +11.т. ~2 —,) (48) что, как и следовало ожидать, совпадает с разложением функции ег1с( ) при малых значениях (12 )т' с . ~2)стп / Рис. 16. 16.

Расположение полсосов функции Г(в) Перейдем теперь к случаю, когда особыми точками изображения Р(з) будут полюсы в точках в„в„...,з (рис. 15.16). Очевидно, что, 1 г вычисляя интеграл —. ~ и Р(з)с(з по контуру, указанному на рис. 15.16, 2п( и учитывая, что интеграл по левой полуокружности при Я-и исчезает по лемме джордана, получим (а) Кеза; й = 1, 2,..., су'): ан-с'со ас 1(с) = —. ) е Р(з)сЬ =- '~'( вычеты (и Р(з)Д Ьза). (49) а — с' а=1 Если с велико, то, очевидно, в правой части (49) следует оставить лишь член с наибольшим значением Кезя, так как из-за наличия мноаас жителя е он будет велик по сравнению с остальными.

Если имеется несколько таких членов, у которых Вез равны (а 1шз различны), то надо взять сумму этих членов. Например, функция 1 Р(з) ==,,1 имеет двукратный полюс при з= 0 и простой полюс при з = 1. При имеем Г() и тогда как 1(с) =е — с — 1. Таким образом, для определения асимптотнческого поведения функции при с-+, если известно только ее изображение, нет необходимости в выполнении контурного интегрирования. Это асимптотическое поведение функции будет определяться самой правой особой точкой (точками) изображения.

Теперь совершенно очевидна следующая общая теорема. Пусть Р(з) имеет особые точки — полюсы и точки ветвления; функция Р (з) при ~з1-+ с стремится равномерно к нулю в полуплоскости Кез (О; число особых точек з» с наибольшим значением Кезя конечно (/г = 1, 2,..., Л'), элямкнты теории днллитичтоких аункиии и яя няиложяния 557 ч(т) те тте Зте 4те Зто Рис.

!З. 17. Импульсный периодический тепловой по- ток де и если разложение г (з) в окрестности точки з = зл дается рядом (е) л(е) г" (з) = '«С„(з — зл) " е=е ()4е] < л,(А)<...), (50) тогда асимптотическое разложение 7'(т) будет иметь вид С(е) Г(т) — «и )' " (м 1 е=( .=вг ( л(')) и (51) где, =О, если Л„=О, 1, 2,. 1 м) г (- л(')) 1 при 0<с<с, () (т) = ()е = 0 при т, <'т< 2те (52) 9(т+2пте) =(7(т) Формулируем задачу: дТ (х, т) д'Т (х, т) дхе (55) Т(х, 0)=0, дТ (ео, т) дТ (О, т) = я (т) дх ' дх Проиллюстрируем применение этой важной теоремы на нескольких примерах. В предыдущих главах с помощью преобразования Лапласа получе. но точное решение большого числа задач.

Читателю предлагается в качестве упражнения получить асимптотическое разложение решения при т-ь непосредственно из изображения решения, определив самые правые особые точки этого изображения, и убедиться, что полученное асимптотическое разложение решения будет совпадать с найденным путем перехода т-+ в окончательном решении. Рассмотрим задачу о температурном поле в полупространстве х>0, прогреваемом импульсным периодическим тепловым потоком (рис. 15.17), равным Глава пятнадцатая 568 Отсюда легко получить, что — '1/в х Т (х, е) = †„ )/ — е д (з).

(54) Вычислим д (3) =- ( е " д (т) е(т. о Пусть Г" (т) — произвольная периодическая функция с периодом для которой существует преобразование Лапласа. Имеем: Г (я) = ~ (т+ и~ ), (п=1, 2,...), СО 1 2ч г'(з) = ~ Дт) е "Йт = )т 7'(т) е "в!*+ ~ 7'(т) е "е(т+... = о о 1 1(т) е "дт = ''Ул е ' 1" Г'(т)е е(т= т=о ) — е (55) Применяя общее соотношение (55) к потоку д(т), имеющему период 2то, получим Чо) е дт 1 — е Подставляя полученный результат в (54), е — твв 1 — е ! — е найдем — т 1 — в Т (х, з) — ~' 1/а ь (56) е ото 2т+ 1 (57) т о (и= О, ~1, ~2,...). Все особые точки имеют Вез = О.

Разложим изображение (56) вблизи точки ветвления з = 0 в ряд: ~ь( ' ) 2Л зго + цо 1/а (58) Отсюда, согласно (50) и (51), получим, что при т-э. Т(х, я) — — ~ — с. ц /а (59) Вклад полюсов (57) в асимптотическое разложение функции Т(х,я) не нужно учитывать, хотя Рсез„= О, как и для точки ветвления з = О. Закон, по которому изменяется температура полупространства при т-э, не является очевидным. Однако с помощью соотношений (50), (51) его легко определить. Особыми точками Т„(х, з) будут точка ветвления при в = 0 и бесконечное число простых полюсов, лежащих на мнимой оси в точках ЭЛЕМЕНТБ! ТЕОРИИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКНИИ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 569 Это объясняется тем, что каждый из этих полюсов дает в решении ( (2т+11 и— член, периодически зависящий от времени, как е и сумма этих членов, представляющая собой также периодическую н ограниченную функцию т, будет мала при 2 -и по сравнению с главным членом формулы (59). Таким образом, температура полупространства, на поверхность которого падает тепловой поток, изменяющийся по закону (52), будет возрастать — ~' о при больших ъ Рассмотрим еще один пример.

Найдем закон, по которому температура на границе х = 0 полуограниченного тела связана с плотностью теплового потока () (2) через ту же поверхность. Применяя преобразование Лапласа и теорему о свертке, легко выразить температуру Т (х, 2) через плотность потока д (2). Предполагая, что начальная температура принята равной нулю, имеем 4и ( — и (59а) Полагая в последнем уравнении х-+ О, найдем связь между температурой на поверхности х = 0 и плотностью потока тепла через эту поверхность: (60) где введено обозначение Т (О, 2) = 6 (2) .

Если задана плотность потока д(2), то определение температуры поверхности 8(2) сводится к квадратуре. Если же 0(т) известна, а е(2) неизвестна, то (60) представляет собой интегральное уравнение для д(2). Пусть, например, температура поверхности задана и равна 8 (2) = Оое(' (6! ) тогда, решая интегральное уравнение (60) относительно д(2) с помощью преобразования Лапласа, получим 62) Функция — — '- имеет две особые точки: простой полюс при е =- Т и Т точку ветвления з = О.

Если нас интерссует лишь поведение функции д(т) при больших 2, то его можно получить согласно иллюстрируемой теореме. Асимптотическое поведение д (2) будет определяться самой правой особой точкой () (з). Рассмотрим два случая. 20 35555 № 54О 570 Глава пятпадяатая Во-первых, если 7 = йа ) О, то правой особой точкой будет полюс з = йа, и по формулам (50) — (51) имеем Л й ,1,(з) =Е,—. „+ Л 4(.) =6,— йв "+..., (63) т. е. плотность потока экспоненциально возрастает со временем. Если же 7 = — йв < О, то наиболее правой особой точкой (62) будет точка ветвления з =- О, Разложение (62) при 7 = — йа в окрестности точки з =- 0 имеет вид ~-, ( — 1) и и+у, 4 (з)=6— Ь О,— ' ~~ а <и+О Ва пай Отсюда согласно (50) — (51) имеем л,", ( — В Ч( ) Π— ~~ 2(п-~-П ! ! ра~ й п=в — и— (64) и' П я Легко убедиться, что разложения (63) и (64) совпадают с асимптотическими разложениями, которые можно определить из точных обращений функций —, и,, приведенных в приложении Ч1.