Сосулин Ю. Г. - Теоретические основы радиолокации и радионавигации - Радио и связь, страница 9

При этом экономится среднее время обзора рабочей зоны. 2.3. ПОКАЗАТЕЛИ КАЧЕСТВА ОБНАРУЖЕНИЯ Качество однопороговой процедуры обнаружения наиболее удобно характеризовать вероятностями ошибочных решений: вероятностью ложной тревоги г" (см. (21)) и вероятностью пропуска сигнала О, (см. (22)).

Вместо О, можно использовать вероятность правильного обнаружения: 11=1 † (см. (23)). Если применяемая процедура обнаружения имеет вид (25), а ш(У~О)= — ш(Уь..., У„)0), ш(У(1)=ш(Уь..., У !1) — и-меРные плотности вероятностей наблюдений при условии 0=0 и 0=1, 37 гл~ ау сб «е ле Рис. 2.3. Диаграмма расчета показа- телей качества обнаружения Рис.

2.2. Структурная схема после- довательного обнаружителя с усече- нием времени наблюдения иначе говоря, и-мерные плотности вероятностей шума н смеси сигнала и шума на входе обнаружителя, то ы(рх, ..., У„)0) др,'... Йц„, л(а„...,я„)>а 0з= ) - .) ш(рх,-, 9.(1)(рт- (р.. л(и„..„д )<л (2.29) (графическая иллюстрация дана на рис. 2.3). Формулы типа (29) — (30) позволяют рассчитывать вероятности ошибочных реп(ений как для оптимальных, так и для неоптимальных обнаружителей. Анализ последних, безусловно, представляет интерес, поскольку на практике из-за сложности технической реализации оптимальных устройств обычно применяют квазиоптимальную и неоптимальную обработку. Для оптимальных обнаружителей области интегрирования в (29) задаются отношением правдоподобия Л(уь ..., у„) и соответствующим порогом Ь.

Если же анализируется неоптимальный обнаружитель, сравнивающий с порогом й„некоторую статистику Л,(уь ..., у„), то в (29) 38 Расчет вероятностей ошибочных решений сводится, как видим, к вычислению и-кратных интегралов по соответствующим областям. Однако во многих случаях расчет этих вероятностей упростится, если поступить по-другому: найти вначале одномерные плотности вероятностей отношения правдоподобия Л(уь..., у„) при 6=0 и 6=1 (обозначим через ги(Л10) и ги(Л(1)), иначе говоря, найти плотности вероятностей шума и смеси сигнала и шума на входе порогового устройства (см. рис. 2.1). Тогда вероятности (29) можно представить в виде однократных интегралов: хс'= )' гв (Л(0) д Л, Ва — — )' ш (Л(1) дЛ, П = )' ш (Л(1) г(Л (2.30) и о а вместо Л(уь, уп) и Л нужно подставить Л,(у„..., дв) Ьа.

Подобное замечание относится и к (30). Зная плотности вероятностей п>(Л)0) и п>(Л)1) (или и>(Л„(0) и ш(Л )1) при неоптимальном обнаружении), можно по формулам (30) вычислить значения вероятности правильного обнаружения 1т для различных отношений сигнал-шум <) и различных вероятностей ложной тревоги Г. Зависимость 0 от а при фиксированном значении т называется характеристикой обнаружения. Семейство этих характеристик для различных т" позволяет определить пороговое отношение сигнал-шум <)сею т.

е. такое, при котором обеспечиваются заданные вероятности правильного обнаружения и ложной тревоги. Через вероятности ошибочных решений можно выразить н другие показатели качества обнаружения, например байесовский риск. Из (16) с учетом (14) и (19) следует, что байесовский риск при обнаружении г(йте, б")=рос(0, >(т) ) ю(у)0)><у-(- л<а> ь + рте(1 йо) ) ю(у)1) <<у = рос(0, ог) го+рта(1 <<е) с>а (3 3!) л<д><ь Ьайесовский риск служит мерой качества работы только оптимального байесовского обнаружителя.

Однако можно получить выражение и для сред- него риска г()уе, б,) «г()уа, бе), соответствующего некоторому неоптимальнол, му решающему правилу обнаружения б„типа Лч(у) ~«Ь,. Средний риск г(йте, Ла 6„) будет определяться формулой (31), если в ней заменить Л(у) и й на Л„(у) и»„соответственно, а под г и О, понимать вероятности ошибочных решений неоптимального обнаружителя. Отметим, что средние риски г(йте, б') и г()(га, 6,) могут характеризовать качество оптимальных и неоптимальных обнаружителей только при байесовс- кой постановке задачи, т.

е. когда априорные вероятности (рм р,) существуют и известны В то же время при описании качества обнаружения показателями (30) априорные вероятности не нужны. Рассмотрим теперь показатели качества последовательного обнаружения: вероятности ложной тревоги р и пропуска Оо и, кроме того, статистические характеристики длительности наблюдений.

Отметим, что в отличие от однопорогового обнаружения, при котором вероятности т и Ре взаимосвязаны (увеличение одной влечет за собой уменьшение другой, см. рис. 2.3), при последовательном обнаружении т и Оо задаются независимо. Онн опреде. лают значения порогов а и (>. Чтобы установить эту взаимосвязь, обратимся к правилу (28). Как видим, если Ль(а, т. е.

если п>(У<, ..., уь!О=1) =аш(уь ..., уь(6=0), то выносится решение к(а (сигнала нет). Это неравенство выполняется для всех у<, ..., ую 39 принадлежащих области Ув . 'Ла(а. Проинтегрировав обе части неравенства по всем уь -, уаенум получим !)0(а(1 — р) или а)0,/(1 — р). Аналогично, учитывая, что при Ла)Ь выносится решение с(ь находим 6((! — )л0)/Р=й/Р, При малом отношении сигнал-шум (случай близких гипотез) полученные неравенства переходят в приближенные равенства: а — )),1(! — г), б (! — ~.")0)(Р.

(2.32) В ряде задач при непрерывном времени наблюдения приближенные формулы (32) становятся точными (56). Что касается статистических характеристик длительности наблюдения т, то из них наименее сложно рассчитываются средние значения та — — М(т)О=О], т1=М(т)6=11. Если Т вЂ” фиксированное время наблюдения при однопороговой процедуре для заданных вероятностей Р и Й0, то эффективность последовательного обнаружения (при тех же р и йа) по сравнению с однопороговым характеризуется отношениями р, = ,1т, р, = ,1Т.

(2.33) Далее полученные общие соотношения будут применены к синтезу и анализу оптимальных обнаружителей для конкретных моделей сигналов и помех, используемых в радиолокации и радионавигации. 2.4. ОБНАРУЖЕНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННОГО СИГНАЛА НА ФОНЕ БЕЛОГО ШУМА Детерминированный сигнал, иначе говоря, сигнал с полностью известными параметрами, представляет собой детерминированную, т. е. априори известную функцию времени з(!). Такая модель сигнала соответствует ситуации, когда дальность, скорость и ЭПР цели точно известны. Эта модель является наиболее идеализированной и используется в качестве простейшей при теоретическом исследовании задачи обнаружения.

В качестве модели шума, на фоне которого наблюдается сигнал, возьмем так называемый белый шум. Под белым шумом понимаем гауссовский случайный процесс К(1) с нулевым математическим ожиданием и дсльтаобразной корреляционной функцией: М $ (!) = О, К (т) = М $ ((+ т) 5 (!) = (М~/2) 6 (т), (2.34) где Х0 — константа; б(т) — дельта-функция. Спектральная плотность белого шума 40 Фо 1" о 6(то)= Г К(т)ехр( )сот)с(т= 2 (2.35) где Ыо=ЯЙТо Вт/Гц — мошность шума в единице полосы, У— коэффициент шума приемника; л=!,38 10 —" Дж/К вЂ” постоянная Больцмана; Т, — температура в Кельвинах; Д1 — полоса частот приемного тракта. Итак, рассмотрим задачу синтеза оптимального обнаружителя детерминированного сигнала на фоне белого шума.

Наблюдаемый процесс уг=дз(1)+$(1), О=О, 1, 0(1(Т, является либо аддитивной смесью сигнала и шума (при 0=1), либо одним шумом (при 0=0), время наблюдения Т фиксировано. Вначале рассмотрим случай, когда наблюдение ведется в дискретные моменты време- о Те) ни ть (г, ..., 1я, при этом приниа маются выборочные значения Е У (ук ) — = ук = Озк+ й.к, 0 = О, 1, й = ю,ут =1, 2, ..., и. Оптимальный обна- ат ружитель должен формировать отношение правдоподобия Рнс 2 4 Спектральная плотность белого шума 41 Односторонняя (физическая) спектральная плотность 6т(от), РавнаЯ нУлю пРи от(0, 6+(от) =6(ат)+6( — ат) =26(ав) =Лго.

Таким образом, графически спектральная плотность белого шума (рис. 2.4) представляет собой неограниченную прямую, параллельную оси частот. Велый шум также является идеализированной математической моделью прежде всего потому, что согласно (34) его дисперсия неограниченна: ото=К(0) = оо. На первый взгляд может показаться, что модель белого пгума бесполезна для описания какого-либо реального шума, мошность которого всегда конечна.

Однако это не так. Белый шум — пример удачного компромиссного решения при выборе математической модели. С одной стороны, он хорошо аппроксимирует собственные шумы радиоприемного устройства, так как для ннх имеет место эффект нормализации и ширина спектра шумов обычно намного больше полосы пропуокания устройства. С другой стороны, белый шум удобен при теоретических исследованиях, в частности, из-за простоты вычисления интегралов с дельта-функцией.

На практике белый шум, аппроксимируюший собственный шум приемника, ограничен по полосе и его дисперсия может быть вычислена по формуле ото=с)од 1=)уйте дТ, (2. 36) Л (д) = Л„= ш (д,, ..., У„(0 = 1)/пг (д,, ..., д„! О = О) (2.37) и сравнивать его с порогом (см. (25)). Чтобы определить структуру устройства, формируюшего отношение правдоподобия, необходимо конкретизировать условные плотности вероятностей, входжшие в (37).

Поскольку рассматриваемый белый шум описывается гауссовским распределением вероятностей, то плотность вероятностей выборок шума имеет вид ш (од) = (1/)I 2 и оо) ехр ( — $дг/2 оог), А = 1, 2, .... (2.38) Учитывая, что выборки белого шума статистически независимы, а также то, что уд=4д при 0=0, имеем л оп(у,,..., у„10=0)= Д ехр ~/2 пил 2ог ~ Так как сигнал является детерминированным, то распределение вероятностей выборок уь ..., У„при д=! остается гауссовским, однако средние значения отсчетов теперь не равны нулю, при этом (2.39) л ш(дг,",У (0=1)= П ехр ~ — "'," .