Сосулин Ю. Г. - Теоретические основы радиолокации и радионавигации - Радио и связь, страница 8

Таким образом, в рассматриваемой задаче обнаружения можно говорить об общем критерии оптимальности — критерии от-  — 1ОО 33 — вероятность правильного обнаружения. Согласно критерию Неймана — Пирсона оптимальным решением считается такое, которое обеспечивает пнп Оь (шах 0) прн условии, что вероятность ложной тревоги не больше заданного числа Р (0<Г<1): Р(у~у,/10) <Г.

Можно показать (см., например, 1531), что решающее правило Неймана — Пирсона 6*, удовлетворяющее указанному критерию, определяется формулой (19), где Л(у) — отношение правдоподобия (18), а константа й выбирается из условия Р (Л (у) ь й (6 = 0) = Р (у ~ У,(0) = Р. Ряс. 2Л. Структурная схема оптимальаого обяаружителя а ношения правдоподобий, согласно которому оптимальная проце- дура обнаружения имеет вид; а, Л(у) вй. а, В соответствии с этим критерием оптимальный обнаругкитель (ррс, 2.!) должен формировать отношение правдоподобия Л(у) (блок ОП) и подавать его на пороговое устройство ПУ, где осуществляется процедура сравнения Л(у) с порогом Ь, в результате которой выносится одно из двух возможных решений; г(а (нет сигнала) или х(1 (есть сигнал).

Выбор какого-то частного критерия оптимальности (байесовского, г!еймана — Пирсона, мииимаксного) сказывается лишь на значении порога Ь, никак не влияя на основную часть обнаружителя — блок ОП, где происходит оптимальная обработка реализации у. В радиолокации значение Ь порога срабатывания ПУ устанавливается исходя из критерия Неймана — Пирсона. Для этого необходимо задаться вероятностью ложной тревоги г', тогда соотношение (24) однозначно определяет Ь. Отметим, что при таком выборе порога априорные вероятности отсутствия и наличия сигнала (ре и р,) не требуются (в отличие от байесовского критерия, см.

(20)), Однако здесь нужно априори задаваться вероятностью ложной тревоги. Отметим также, что оптимальное правило (25), очевидно, равносильно правилу р(л(у)) ~ р(й) =й', (2. 26) ао где ~р — монотонная функция. Статистика ~р(Л(у)) является достаточной.

В том случае, когда отношение правдоподобия Л(у) принадлежит к экспоненциальному семейству функций„в качестве гр целесообразно взять натуральный логарифм. При этом оптимальный обнаружитель упрощается. Сведение сложной гипотезы к простой. Рассмотрим теперь бо. лее сложную задачу обнаружения, когда пространство й значений неизвестного параметра, от которых зависит распределение вероятностей наблюдаемого процесса, содержит помимо значений 6=0 и 0=1 другие возможные значения. Пусть тв(у((х, !) — ус- 34 ловная плотность вероятностей наблюдаемого процесса для случая 6=1 (сигнал есть), зависящая от неизвестного параметра р~Мс:1В, и пусть ш(у1х, О) — условная плотность вероятностей для случая 6=0 (сигнала нет), зависящая от неизвестного параметра хенКен1В.

Параметры )з и к могут быть векторами; они характеризуют распределения вероятностей смеси сигнала с шумом и одного шума соответственно. Рассматриваемая задача обнаружения состоит в проверке сложной гипотезы при сложной альтернативе. Найдем байесовское (относительно )х и х) решение данной задачи. При байесовском подходе параметры )г и х интерпретируются как случайные величины, априорные распределения которых, в частности плотности вероятностей ва()х), ва(х) (если р, х— непрерывные величины), считаются известными. Зная во(ц) и во(к), можно вычислить следующие плотности вероятностей: в(дИ)= (в(у~р,1)в,(в)(в, я в(у(0) = )' в (у1х, О) в, (х) йх к (2.27а) ) в(у1В, 1) во(у)Л В в (у16 = 1) м в (У10 = 0) ) в (у1к, О) в (а) Л к К (2.27) Выбор порога й можно, как и раньше, производить различными способами.

Критерий Вальда. Ранее предполагалось, что время обнаружения заранее известно, иначе говоря, объем п наблюдаемой выборки у=уь у„..., у„фиксирован. Однако возможен другой подход к задаче обнаружения сигналов, основанный на последовательной проверке гипотез Вальда, когда время наблюдения заранее не фиксировано. 2" 35 После определения этих плотностей приходим к тому случаю, когда распределение вероятностей наблюдаемого процесса зависит от неизвестного параметра, принимающего лишь два значения (0=0 и д=!), т. е. к случаю простой гипотезы при простой альтернативе. В результате рассматриваемая здесь задача сводится к уже изученной ранее, при этом оптимальная процедура обнаружения будет основана на критерии отношения правдоподобия. Таким образом, структурная схема оптимального обнаружителя остается прежней (см.

рис. 2.1). При этом блок ОП должен формировать отношение правдоподобия Согласно критерию Вальда процедура обнаружения определя- ется последовательным решающим правилом вида [' е(о, если Ле(а, 8(Ут " Уь)= ~ с[ь если Ль)Ь; Ь=1, 2, „, (228) [, до, если а(Ль<Ь, где Ле=Л(уь ..., Уе) =ш(Уь У„[О=[у (, „, [О О) отношение правдоподобия на Ь-м шаге наблюдения; а и Ь вЂ” ниж- ний и верхний пороги (постоянные величины); е(о и д, — решение «нет сигнала» и «есть сигнал» соответственно; с(„— решение о продолжении наблюдения. В отличие от однопороговых обнаружителей (см. правила (19), (25) ) последовательная процедура обнаружения (28) является дв)хпороговой. При этом с порогами сравнивается прежняя ста- тистика — отношение правдоподобия*. Пороги а и Ь определя- ются заданными вероятностями ложной тревоги г и пропуска сигнала 0о. Если отношение правдоподобия Ль (й= 1, 2,...) попадает в об- ласть между порогами а и Ь, то принимается следующее выбороч- ное значение уь+ь формируется Ли+, и процедура обнаружения (28) повторяется до тех пор, пока отношение правдоподобия не окажется ниже порога а нли выше порога Ь.

В результате дли- тельность наблюдения т (т. е. момент времени, когда будет вы- несено решение т(о или А) является случайной величиной. При этом оказывается, что последовательный двухпороговый обнару- житель выигрывает по сравнению с однопороговым обнаружите- лем в среднем времени наблюдения Мт. С физической точки зре- ния это объясняется тем, что при наличии сильного сигнала от- ношение правдоподобия быстро превышает верхний порог Ь (при достаточно большом отношении сигнал-шум указанное превышение может произойти уже после первого отсчета у,).

При наличии на входе обнаружителя только одного шума отношение правдоподо- бия может оказаться ниже порога а также после малого числа отсчетов. Если наблюдения уь ..., у„, ... статистически независимы и од- породнкп т. е. для всех Й описываются одинаковыми плотностями вероятностей ее(уд[6=1), 1=0, 1, то последовательный обнару- житель, реализующий правило (28), является оптимальным в том смысле, что он минимизирует среднее время наблюдения (обна- ружения): М[т[О=О[ =ш(п, М [«[6= 1[ =си(п ' Критерий Вальда именуется также последовательным критерием отношении правдоподобии.

36 в классе всех обнаружителей, для которых вероятности ошибочных решений Г и 1)ю ограничены заданными величинами. Для зависимых наблюдений оптимальный последовательный обнаружитель, как правило, усложняется [53, 561. Обратим внимание на то, что последовательный обнаружитель имеет выигрыш лишь в среднем времени обнаружения. В отдельных же случаях отношение правдоподобия может долго находиться между порогами а и Ь, так что время обнаружения (в каком-то из сеансов наблюдений) может быть недопустимо большим: т,» »Мт. Этот недостаток устраняется с использованием усеченной последовательной процедуры обнаружения (рис. 2.2). Переключатель П подает на двухпороговое устройство ПУз последовательность Лм л= 1, 2,....

Если окажется, что в течение заданного времени обнаружения (заданного числа и выборок) не будет принято окончательного решения (д, или А), то выход блока формирования отношения правдоподобия ОП переключается с ПУ~ на однопороговое устройство ПУь В результате сравнения А с одним порогом (который выбирается, например, по критерию Неймана — Пирсона) выносится решение д, или А, и процедура обнаружения прекращается. Отметим, что техническая реализация РЛС с последовательным обнаружителем сложнее, чем при использовании однопорогового обнаружителя. Тем не менее с развитием радиолокационной техники, в частности ФАР, с помощью которых легко осуществляется последовательный неравномерный обзор пространства по угловым координатам, последовательные обнаружители находят все большее применение. Использование последовательных обнару- жителей при поиске сигнала (объекта) в рабочей зоне — один из способов реализации адаптивного обзора, о котором шла речь в в 1.4.