Сосулин Ю. Г. - Теоретические основы радиолокации и радионавигации - Радио и связь, страница 6

Обзор рабочей зоны может быть детерминированным либо адаптивным. При детерминированном обзоре процедура осмотра рабочей зоны выбирается заранее и не меняется в процессе наблюдения, иначе говоря, обзор осуществляется по жесткой программе. При адаптивном обзоре процедура осмотра элементов разрешения рабочей зоны в некоторые моменты может изменяться в за- 24 нисимости от результатов предшествующих осмотров (наблюдений) — обзор по гибкой программе. В процессе адаптивного обзора может меняться, например, порядок осмотра элементов разрешения, время осмотра одного элемента, мощность зондирующих сигналов. В заключение отметим; что при проектировании РЛС и РНС стремятся выбрать технические характеристики так, чтобы тактические характеристики удовлетворяли заданным требованиям.

Гл а в а 2. ОБНАРУЖЕНИЕ СИГНАЛОВ 2.1. ОБНАРУЖЕНИЕ СИГНАЛОВ 'КАК СТАТИСТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА. СТАТИСТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ Статистический характер задачи обнаружения. Одной из основных задач РЛС является обнаружение объекта в заданном пространстве. Эта задача сводится, по существу, к задаче обнаружения отраженного от объекта радиолокационного сигнала, наблюдаемого на фоне шумов. Обработка сигналов в РНС также в той или иной форме включает в себя решение задачи обнаружения. Радиолокационное и радионавигационное наблюдение всегда сопровождается целым рядом случайных помех. На полезные сигналы воздействуют шумы, которые принимаются антенной из окружающего пространства, а также образуются в приемнике. Кроме того, сами принимаемые радиолокационные и радионавигационные сигналы, как правило, флуктуируют.

Так, флуктуации отраженных сигналов обусловлены флуктуациями ЭПР цели. При отражении радиоволн от суши или от моря флуктуации принимаемых сигналов вызваны изменением свойств отражающей поверхности (например, из-за волнения моря) и движением излучателя. Прохождение радиоволн через турбулентную атмосферу, коэффициенты преломления и поглощения которой неконтролируемо меняются, также приводит к флуктуациям сигнала.

В силу этих причин при обработке радиолокационной и радионавигационной информации широко используют методы теории вероятностей, теоРии случайных процессов и математической статистики, а сам прием сигналов, в том числе и их обнаружение, рассматривается как некоторая статистическая задача. 25 Статистическая задача обнаружения формулируется следующим образом.

Пусть наблюдается (поступает на вход устройства обнаружения — обнаружителя) процесс у(1), который является либо шумом, либо смесью полезного сигнала и шума. Требуется по результатам наблюдения реализации этого случайного процесса в течение некоторого времени выяснить, какая из возможных ситуаций имеет место, причем сделать это желательно оптимальным (в соответствии с принятым критерием качества) способом. Обнаружитель по истечении некоторого времени выносит одно из двух взаимоисключающих решений: есть сигнал (есть цель) нли нет сигнала (нет цели).

Эти решения, принимаемые в результате наблюдения случайного процесса у(1), носят статистический характер. Поэтому, чтобы создать (сннтезировать) алгоритм работы оптимального обнаружнтеля, который решал бы задачу обнаружения наилучшим образом, необходимо воспользоваться прежде всего результатами теории статистических решений.

Последняя изучает статистические решения о наблюдаемых реализациях случайного процесса и дает методы построения оптимальных решающих правил. Приведем основные сведения из теории статистических решений, которые затем будут использованы при синтезе оптимальных обнаружителей. Необходимо также отметить, что излагаемые далее положения теории решений явятся основой для оптимизации и других задач обработки сигналов, рассматриваемых в последующих главах. Краткие сведения из теории статистических решений.

Основные понятия. Задача статистического решения возникает при наблюдении реализации у некоторого случайного процесса у(г). Обозначим через У пространство, на котором определены все возможные реализации процесса у(1). Пусть Π— некоторый параметр, принадлежащий пространству 6. Предположим, что распределение вероятностей наблюдаемого процесса у(1) зависит от параметра О, истинное значение которого неизвестно.

Наблюдение может протекать в непрерывном времени либо в дискретном. В последнем случае имеем конечную последовательность случайных величин (у(1;) =уь 1=1, 2, ..., п), которая полностью описывается п-мерной функцией распределения вероятностей ))У(у~О), зависящей от параметра О (здесь у=уь..., у — и-мерная величина). Если наблюдаемая последовательность состоит из непрерывных случайных величин, то ее можно описать при помощи и-мерной плотности распределения вероятностей ш(у(О). Применительно к задаче обнаружения параметр О может принимать, например, два значения, которые соответствуют ситуациям наличия и отсутствия полезного сигнала в наблюдаемом процессе.

В задаче измерения О может принимать непрерывное и дискретное множество значений, которые соответствуют самому сяг- 26 (2.1) называемое функцией риска, зависит от значения параметра 8 н принятого решающего правила б. Раскрывая математическое ожидание с помощью плотности вероятностей ш(у(0), функцию риска можно представить в виде г (О, б) = (' с (О, б (у)) (у(0) ау. (2.2) налу (либо параметрам сигнала). При этом наблюдаемый процесс у(4) представляет собой некоторую смесь сигнала и шума.

Обозначим через а элемент множества решений с), которые можно вынести относительно параметра О по результатам наблюдения у(7), и пусть б — решающая функция (решающее правило), принадлежащая классу решающих функций Л и отображающая множество У в Р. Согласно этому решающему правилу каждой возможной реализации уеду ставится в соответствие определенное решение д=б(у), йе=с1. В результате принятия тех или иных решений возможны ошибки. «Убыток», который несет при этом наблюдатель, можно охарактеризовать некоторой функцией с(0, й), выбираемой нз эвристических соображений и называемой функцией потерь.

Эта функция определяет потери, возникающие вследствие принятия решения с( при условии, что истинное значение параметра равно О. Функцию потерь можно использовать для сравнения решающих правил и выбора из них более предпочтительного. Поскольку решение с(=б(у) зависит от реализации случайного процесса, то значение функции потерь при й=б(у), т. е. с(0, б(у)), которое будем называть потерями, является случайным.

Поэтому решающие правила естественно выбирать на основании сравнения статистических характеристик потерь. В теории решений используется математическое ожидание потерь (однако, вообще говоря, могут учитываться и другие характеристики). Математическое ожидание потерь г (О, б) = М (с (8, б (у)) ~ 0), Байесовские решения. Наиболее предпочтительным решающим правилом естественно считать то, которое минимизирует функцию риска для всех значений О. Однако такое правило существует лишь в редких случаях. Обычно решающая функция, минимизирующая (1), зависит от О, при этом неясно, какую же решающую функцию считать наилучшей. Указанную зависимость мо.

жно исключить, если использовать байесовский подход к задаче выбора решений. Суть этого подхода заключается в следующем. Предполагается, что: 1) параметр 0 можно рассматривать как случайную величину, Распределение вероятностей которой 1(7«(8) существует; 27 2) распределение $Гю(В), называемое априорнюсм (доопытным), известно наблюдателю. Тогда можно определить средний риск, взяв повторное математическое ожидание от функции риска (!), рассматриваемой как условное (относительно О) математическое ожидание потерь: т (йу„ 6) = 6464 (е (О, 6 (У))(01 = )' г (О, 6) йг, (О) (2.3) е (здесь используется интеграл Римана — Стильтьеса). Учитывая формулу полного математического ожидания Мйй (~(п) = М$, (2.4) видим, что средний риск Р(чую, 6) представляет собой полное математическое ожидание потерь г ()(Рю 6) = М с (О, 6 (у)). (2.5) При этом он зависит от априорного распределения параметра 0 и от принятой решающей функции.

Если 0 — непрерывная случайная величина, а нсю(9) — ее плотность вероятностей (априорная плотность), то согласно (3) и (2) средний риск можно записать в виде т (иссс, 6) = ( т (9, 6) иссс (0) й О = = (' )' с (9, 6 (У)) ис (У(0) ис (О) йУ й О. (2.6) ег Решающая функция, минимизирующая средний риск, т. е. решающая функция 6*, для которой Р(ЯРю, 6*) (Р(ссую, 6) при всех 6, называется байесовским решением относительно априорного распределения Ягю(9). Величина Р(ЯГю, 6") называется байесовским риском для сстю. Итак, байесовское решение является наилучшим или оптимальным, если в качестве критерия оптимальности принят минимум среднего риска — критерий Байеса. Байесовские решения определяют синтез оптимальных байесовских систем обработки сигналов на фоне помех. Математический синтез байесовских систем сводится к нахождению байесовских решений в тех или иных задачах обработки сигналов (обнаружения и др.), к конкретизации получаемых решающих функций для заданных распределений сигналов и помех и представлению операций над наблюдаемым процессом в виде соответствующих алгоритмов.