Сосулин Ю. Г. - Теоретические основы радиолокации и радионавигации - Радио и связь, страница 7

Анализ байесовской системы обработки сигналов сводится к вычислению минимального значения среднего риска, т. е. байесовского риска г (И, 6*) = пйп т (иссс, 6), (2.7) ю 28 который является мерой качества работы оптимальной системы. Представим теперь средний риск (6) в иной форме записи. Используя свойство условных плотностей вероятностей — формулу Байеса, определяющую апостериорную (послеопытную) плотность вероятностей параметра О: в(у)0) в, (0) в(у(0) в, (О) [ в(у~О) во(0) оО в(у) перепишем (6) в виде г(гсо 6) = [ г, (у, 6) и (у) йу, У (2.8) — апостериорное математическое ожидание потерь, называемое апостериорньом риском.

Поскольку и(у))0, то из (9) следует, что минимум среднего риска г(шо, 6) достигается прн том же значении 6*, что н минимум функции г. (у, 6) (у фиксировано). Таким образом, байесовское решение можно находить путем минимизации апостериорного риска. Отметим, что данное утверждение справедливо и тогда, когда 0 — дискретная случайная величина. В этом также нетрудно убедиться исходя из (3), при этом интеграл в (10) заменится суммой, а апостериорная плотность ш(О~у)— апостериорной вероятностью Р(О=Оо[у) (Оь 1= 1,..., й, — возможные значения параметра О). Математическое ожидание минимального апостериорного риска г,(у, 6*) дает согласно (10) и (4) байесовский риск (7): М г, (у, 6') = ММ [с (О, 6* (у)) [у) = М с (О, 6* (у)) (2.11) и поэтому определяет качество работы байесовской системы.

Таким образом, синтез и анализ байесовских систем можно проводить, оперируя апостериорным риском. Последний определяется задаваемой функцией потерь и апостериорным распределением параметра О. Минимаксные решения. Рассмотренный байесовский подход связан с двумя ограничительными предположениями, из которых наиболее сильным обычно является второе. Если априорное распределение параметра О неизвестно, то байесовский метод в том виде, как он изложен, использовать нельзя. В этом случае прибегают к различным небайесовским методам выбора наиболее предпочтительной решающей функции, при которых допущения 1 и 2 предыдущего пункта ие делаются.

Остановимся на одном из таких методов — минимакеном. где г (у, 6) = [' с (О, 6 (у)) и (0[у) б 0 = М [с (О, 6 (у)) ( у) (2.10) е Решающая функция б' называется минимаксным решением, если гпах г (О, б*) ( шах г (О. б) в ' в для всех б. Величина гпахг(О, 6*) называется минимаксным рис- ком. Если каждое из множеств 9:-эО и А~б содержит лишь конеч- ное число элементов, то всегда существует минимаксное решение б*, для которого шах г(О, б*) =пни гпах г(О, б), в в в (2.12) для всех Ф"в. При этом минимаксный риск равняется байесовскому для йув .' пйп гпах г (О, б) = ппп г ()ггвя б).

в в в Минимаксные решения и риски определяют синтез и анализ систем обработки сигналов, оптимальных по минимаксному критетерию. Согласно определению минимаксное решение минимизирует максимальное (по всем 0~9) значение функции риска г(О, б). Можно сказать, что минимаксное решение является наилучшим в наихудшей (относительно О) ситуации. При этом иногда оно может быть слишком «осторожным». В общем случае отыскание минимаксного решения — довольно трудная задача. Однако несколько облегчает положение результат Вальда [43), устанавливающий соответствие между минимаксным и байесовскими решениями.

Оказывается, что при некоторых слабых ограничениях минимаксное решение является байесовским относительно наименее благоприятного априорного распределения ятв„, максимизирующего байесовский риск, т. е. такого йгв„ при котором пинг ()угв„, б) »пвп г (йу, б) 2.2. РЕШАЮЩИЕ ПРАВИЛА ОПТИМАЛЬ- НОГО ОБНАРУЖЕНИЯ Рассмотрим основные критерии оптимальности в задаче обнаружения сигналов и соответствующие им решающие правила.

Критерий Байеса. Применительно к простейшей задаче обнаружения неизвестный параметр О, который будем называть параметром обнаружения и обозначать Огпринимает лишь два возможных значения. Пусть это будут О и 1 и пусть значение 6=1 соот- 30 ветствует наличию полезного сигнала в наблюдаемом процессе у((), а 0=0 — отсутствию сигнала. Множество решений о(она в данном случае состоит также из двух элементов: о(! — решение о том, что имеет место ситуация 0=1 (есть сигнал); с(о — решение о том, что имеет место ситуация 0=0 (нет сигнала). Функция потерь с(0, !() здесь переходит в матрицу потерь: ~ с(0, о(о) с(0, с(т) ~ с (1, !(о) с (1, о(!) Без ограничении общности можно положить с(0, с(,)=-с(1, д!)=О, с(0, о(о)) О, с(1, с(о) ) О. (2.13) Рассматриваемая задача обнаружения эквивалентна так называемой проверке простой гипотезы Н! (утверждение, что 0= 1) при простой альтернативе Но (утверждеиие, что 0=0).

По результатам наблюдения уеву необходимо вынести одно из двух взаимоисключающих решений: с(о или о(!. В этом случае класс решающих функций Ь=эб состоит из всевозможных правил разбиения пространства реализаций У на две подобласти: Уо и У„У= =Уо[)У!. Отыскание байесовского решения 6* сводится к выбору указанных подобластей, при которых средний риск минимален. Условимся считать, что ( с(о, если уевуо, 6(у) = [ о(о, если уев У!. В рассматриваемом случае средний риск (3) ! г(йто 6)= ~~ РоМ[с(0, б(У))[д[= о=о ! = Х Ро ~ с (О.

6(у)) (у[0) бу (2.15) о=о т где ро=Р(0=1), р!=Р(0=1) — априорные вероятности отсутствия и наличия сигнала, р,+р! — — 1. Учитывая (13) и (14), перепишем (15) в виде (2.14) 31 !. (Я7о, 6) = Ро )' с (О, о(!) !с (У[0) о(У+ Р, )' с (1, о(о) и! (У[1) о(У. (2.16) У! Уа Поскольку Уо= У ~ У, и в силу условия нормировки )'и!(у[0)с(у=1, г(Ят„б) =р,с(0, !(,) — [ р,с(0, о(,) Х У, Х ос (у[ 0) !(у+ ) р! с (1, о(о) ос (у! 1) о(у. (2.17) те Обозначим множество всех реализаций у, для которых рос(0, 4)~о(у(0) )р1с(1, йо)ш(у11), через У'о Тогда при всех уен У" ~с: У ,1о Р„с (О, о(,) и (У10) йУ ),( Р, с (1, г(о) а~ (У11) дУ, 1о 'о поскольку подынтегральные функции неотрицательны.

Возвраща- Ясь к (17), видим, что сРедиий Риск т(1Ро, б) бУдет минимальным, если выбрать Уо=у*о. При этом У1 — — У~ У*о Следовательно, бай- есовское решение йо, если у ~ У", б*(у) = й„если у ~ У'~Уо. Обозначим через Л(у) статистику, т. е. функцию наблюдаемой ре- ализации у, следующего вида Л (у) = ш (у)1)!и (у)0). Эта статистика называется отношением правдоподобия. Учитывая определение множества У*,, байесовское решение можно записать в виде б*(у) = 4, если Л(у) (й, д„если Л (у) ) й, ~)-( (2.19) где й = р, с (О, с(,)(р, с (1, г(о).

(2.20) Таким образом, оптимальное по критерию Байеса правило обнаружения сводится к формированию отношения правдоподобия Л(у) и к сравнению его с константой й — порогом обнаружения. Значение порога определяется априорными вероятностями наличия и отсутствия сигнала и элементами задаваемой матрицы потерь.

Статистика, позволяющая найти оптимальное решающее правило, является достаточной. Отношение правдоподобия Л(у)— пример достаточной статистики. Исходная реализация у также является достаточной статистикой (более подробно см. [52, 561). Критерий Неймана в Пирсона. Чтобы воспользоваться байесовским решением (19) †(20), необходимо знать априорные вероятности ро и рь Однако в задаче обнаружения радиолокационных сигналов они, как правило, неизвестны. В этих условиях следует использовать небайесовский критерий оптимальности — критерий Неймана — Пирсона, при котором байесовских предположений о неизвестном параметре д (см.

$ 2.1) не делается. 32 Решающее правило Неймана — Пирсона, как и байесовское, разбивает область У~у на две подобласти: Уь и Уь Однако выбор этих подобластей производится из иных соображений. Введем вероятности ошибочных решений: =- (б(у)=й,( =- )= (у-У,(0) (2.21) — вероятность принять решение «есть сигнал» при условии, что О=О, т.

е. наблюдаемая реализация у содержит только шум— вероятность ложной тревоги; Вь = Р (б (У) = г(,16 = 1) = Р (У У,(1) — вероятность принять решение «нет сигнала» при условии, что О=1, т. е. у содержит смесь сигнала и шума — вероятность про- пуска сигнала. Величина (2,23) И=1 — а,=Р(б(у)=аДО=1) =~ (у - У,~1) Структура оптимального обнаружителя. Как следует из предыдущего, и байесовский критерий, и критерий Неймана — Пирсона приводят к решающему правилу обнаружения, основанному на сравнении отношения правдоподобия Л(у) с некоторым порогом.

Отметим, что и минимаксный критерий приводит к решающему правилу такого же типа. Это непосредственно следует из взаимосвязи байесовских и минимаксных решений (см. 5 2.1). Более того, показано 143], что класс решающих правил Л, основанных на сравнении отношения правдоподобия с порогом, является полным. Это означает, что все оптимальные решающие правила в рассматриваемой задаче обнаружения принадлежат именно классу Л. Различие между правилами обнаружения, оптимальными по разным критериям, состоит лишь в разном выборе значения порога й.