Сосулин Ю. Г. - Теоретические основы радиолокации и радионавигации - Радио и связь, страница 10
Описание файла
DJVU-файл из архива "Сосулин Ю. Г. - Теоретические основы радиолокации и радионавигации - Радио и связь", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "защита брлс от радиопомех" из 9 семестр (1 семестр магистратуры), которые можно найти в файловом архиве МАИ. Не смотря на прямую связь этого архива с МАИ, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "книги и методические указания", в предмете "защита брлс от радиопомех" в общих файлах.
Просмотр DJVU-файла онлайн
Распознанный текст из DJVU-файла, 10 - страница
(2.40) 'г 2поо 1 2 а~ Подставив (39), (40) в (37), получим л л Л =ехр ~ — С' уд зд — — ~' зг п г г.г *г ~ оо 2оо,ф ! Для упрошения обработки целесообразно вместо отношения правдоподобия Л, формировать его логарифм з„=1пЛ (см. (26)): л л ~и= г ~ Удэд (2.41) ог 2оо д=1 Перейдем к непрерывному времени наблюдения. Положим 11 =О, /„ =Т, кроме того, учтем, что плотность вероятностей независимых гауссовских величин (38),при непрерывном времени переходит в функционал плотности вероятностей шума. Если спектральная плотность огоследнего равна л/о/2 (см.
(35)), а о'о— дисперсия гауссовских величин 4д, то при переходе к непрерывному времени (от $д к я(1)) можно воспользоваться зависимостью оо г= (й/о/2)/Л /, Л1=1=- /д — 1»-. (2.42) (при Л1-л-0 ог;+.ао). Подставляя (42) в (41) и переходя к пределу при Лт-+О, получаем 42' Ю) Рис. 2.5. Корреляционная (а) и фильтровая (б) структурные схемы оптимальных обнаружителей детерминированного сигнала т(е) =('и( ) гГт) ае Рис. 2.6. Времеинйе диаграммы напряжений в корреляционном обнару- кителе т т г (Т) = — )' д (() З (() СЮ вЂ” — )" Зв (() б((.
)уе о 'уо о т Детерминированные величины — и )" — с(г можно вклю- ~е о ге чить в значение порога обнаружения, в результате алгоритм оптимального обнаружения приобретет вид т г = р у (() з (() с(( Ь. (2.44) о ле Интеграл, стоящий в левой части неравенства (44), является достаточной статистикой и называется корреляционным, а сам оптимальный обнаружитель — корреляционным обнаружителем (рис. 2.5,а).
Этот обнаружитель состоит из умножителя и интегратора, образующих коррелятор, и порогового устройства, работу которых поясняют временные диаграммы на рис. 2.6. Техническая реализация алгоритма обнаружения (44) в виде корреляционной схемы:не является единственно возможной. Кор- 4$ (2.45) реляционный интеграл может быть сформирован также при помощи линейного фильтра. Действительно, если й(() — импульсная характеристика * фильтра, на вход которого поступает процесс у(г), то результат г'(Т) на выходе фильтра определяется интегралом свертки: т г'(Т) = ( у(г) Ь(Т вЂ” () Ж. о Если теперь положить п(Т вЂ” 1) =з(~), то величина г'(Т) совпадет с корреляционным интегралом г.
Отсюда следует, что импульсная характеристика фильтра, на выходе которого формируется значение корреляционного интеграла в момент окончания наблюдения Т, йсе (У) = з (Т вЂ” г). (2.46) Такой фильтр называется согласованным, так как его импульсная характеристика согласована с обнаружнваемым сигналом, являясь в соответствии с (46) «зеркальным отражением» формы сиг~нала Поскольку согласованный фильтр (СФ) — составная часть оптимального обнаружителя (см. рис 25,б) и, как ясно из дальнейшего, макснмизнрует отношение сигнал-шум на выходе, его называют также оптимальным Перейдем теперь от временного описания согласованного фильтра к частотному, учитывая, что коэффициент передачи К(1ьз) (комплексная частотная характеристика) фильтра есть преобразование Фурье от его импульсной характеристики: К () аз) = (' и (г) ехр ( — ) ьз г') пг.
(2 47) Подставляя (46) в (47) и заменяя переменную по формуле т= =Т вЂ” 1, получаем коэффициент передачи согласованного фильтра К„~ () ьз) = ехр ( — ) азТ) г'е () ьз), (2.48) О где Р" ()аз) = )' з(т)ехр()ьзт)г(т — величина, комплексно-сопряженная спектральной ~плотности сигнала Р()ьз) = )' з (т) Х М Х ехр ( — ) езт) г(т. Таким образом, коэффициент передачи согласованного фильтра с точностью до множителя запаздывания ехр( — )гвТ) совпадает с величиной, комплексно-сопряженной спектральной плотности ожидаемого сигнала з(г). Учитывая представление спект- ' Отклик фильтра на воздействие в виде дельта-функцнн 44 г т оф= ) ) з(1')з11) — б(1' — 1")2Ц'г(12= о о 2 т Зо (12) 112 о Е о (2.52) В результате отношение сигнал-шум по мощности в момент вре- мени Т дое = з,',/ог 2 Е!Ио.
ральной плотности через ее модуль и аргумент Е()22) =(1. ()о2) ) Х Хехр() агпГ()оз)), из (48) получаем ()(',Е () «2)! = (Е () 22Н (2.49) атд Ков () Оз) = — ать Е () Е2) — О2 Т. (2.50) Равенство (49) означает, что амплитудно-частотная характеристика согласованного фильтра совпадает с амплитудно-частотным спектром полезного сигнала. Физический смысл полученного результата ясен: оптимальный фильтр должен пропускать в большей степени те составляющие спектра сигнала, которые имеют большую интенсивность.
Равенство (50) означает, что фазочастотпая характеристика согласованного фильтра равна фазочастотному спектру сигнала, взятому с обратным знаком и сдвинутому на значение — гвТ. Благодаря такой характеристике фазовые сдвиги между гармоническими составляющими сигнала компенсируются так, что в момент отсчета Т все составляющие сигнала суммируются в фазе н выходной сигнал будет максимальным. Определим теперь отношение сигнал-шум д,е при выходе согласованного фильтра в момент отсчета Т.
Выходной эффект фильтра определяется формулой (45). Учитывая, что й(Т вЂ” 1) =з(1) н подставляя у(1) =з(1), получаем величину полезного сигнала на т выходе согласованного фильтра: з,ф= ) зо(1)Н=Е. о Так как Мо(1) =0 (см. (34)), то среднее значение шума на выходе фильтра также равно нулю: т т М г = М (' $ (1) з (1) Ж )" з (1) М $ (1) 2(1 = О. (2.51) о о В силу этого дисперсия шума на выходе согласованного фильтра определяется формулой т т о,'„, = М го = )' (' з (1') з (12) М Я (1') $ (1")) Й' г)1". о о С учетом (34) и фильтрующего свойства дельта-функции полу- чаем Таким образом, отнщпение сигнал-шум басф на выходе согласованного фильтра определяется отношением энергии полезного сигнала Е к спектральной плотности шума и не зависит от формы сигнала.
Можно показать, что отношение сигнал-шум д на выходе любого линейного фильтра, на вход которого воздействуют белый шум н детерминированный сигнал, удовлетворяет неравенству" г) ~( басф = 2 Е(йУе. (2.53) Отсюда следует, что согласованный фильтр является оптимальным в том смысле, что он макснмизирует отношение сигнал-шум на выходе. Этот результат, вообще говоря, вытекает и из того, что согласованный фильтр есть составная часть оптимального обнаружителя (рис. 2.5,б).
Отметим, что максимальное отношение сигнал-шум на входе порогового устройства (т. е. на выходе коррелятора или же согласованного фильтра) достигается в момент окончания наблюдения (=Т, который соответствует длительности полезного сигнала. Именно в этот момент значение корреляционного интеграла в должно сравниваться с порогом обнаружения Ь. Технически это обеспечивается, например, применением стробируюгцей схемы (которую можно включить в состав порогового устройства), селектирующей с помощью узкого импульса в момент времени 1=Т соответствующий участок напряжения.
Перейдем к вычислению показателей качества обнаружения (ЗО). Для этого потребуется определить распределение вероятностей статистики, поступающей на пороговое устройство, а именно распределение вероятностей корреляционного интеграла г при отсутствии (6=0) и наличии (0=1) сигнала з(1) на входе обнару- жителя. Рассмотрим случай 6=0, т. е.
когда на входе обнаружителя присутствует только шум $(1). Тогда у(1) =5(1) и величина г (см. (44) ), являясь линейным преобразованием белого гауссовского шума, также имеет гауссовское распределение и, следовательно, полностью определяется математическим ожиданием и дисперсией. Последние согласно (51), (52) равны М (г(д = 0) = О, а) (г) д = 0) = о' = Ж Е(2. сф Таким образом, плотность вероятностей величины г при 6=0 имеет вид ш (г(д = О) = (1!)/2 я о,ф) ехр ( — га/2 а,ф).
с Это следует иа более общего неравенства (см ()07)), справедливого и для «небелого» шума. 46 Перейдем к случаю 6=1. Поскольку сигнал является детерминированным, то распределение величины 2 по-прежнему остается гауссовским. Дисперсия величины 2, очевидно, также не меняется: Р [г[д = 1! = 0 [з[д = О] = ог сф ' Изменяется лишь математическое ожидание: т т М [а[О = 1[ = М ~ [з ([) + $ (()) з (1) с(1 = [ аа (1) г[( = Е. о о (2.55) тата-г 1Р' 1Д-и 1Л ' 1Р т' 1Р " дмт ~-г ху-' 1Р и 1У' 1Р и 1р-тг Рис.
2.?. Характеристи«и оптимального обнаружения детерминиронаиного сигнала ( — — ), сигнала со случайной начальной фазой ( — — — ) и сигнала со случайными начальной фазой и амплитудой ( — †) йу и тг О а д 1р 12 тфтИГн, Следовательно, ш (з[д = 1) =(1!'у'2тт о ф) ехр ( — (з — Е)Ч2огф), Таким образом, вероятности ложной тревоги и правильного обнаружения (ЗО): гз Е= ) ехр ~ — — г1 с(г, л [/2и о,ф 2осф / В= )' ехр — ~ с(з. 1 Г (г — Е) (2.54) )/2 и осф ~ 2 осф Используя интеграл вероятностей х 1 з т Ф (х) = [' ехр ~ — — ) г(у, ьг2 и формулы (54) можно переписать в виде Е = 1 — Ф (йн), )'.) = 1 — чб (йн — [т'д, ), (2.5б) где й,=й[осф — нормированный порог; г(сф=2Е[Лто — отношение сигнал-шум на выходе согласованного фильтра.