Владимиров В.С. Уравнения математической физики (4-е изд., 1981), страница 70

Необходимыми условиями существования классического решения задачи (1) — (2) — (3) являются следующие условия гладкости: Р я С (Ц ), и, я С' (6), о ен С (Я х [О, сс)), и условие согласованности аи, + 3 — "' / = о (х, 0). При изучении краевых задач для уравнения параболического типа весьма полезным является следующий П р и н ц и п м а к с и м у м а. Пусть функиия и (х, !) класса С'(х ~ 6, 0 < ! ~ Т) () С(Цг) удовлетворяет уравнению (1) в Ц„, Тогда, если г (х, !) =0 в цилиндре Цг, то либо и ~0 на Цг, либо функция и(х, Г) принимает свой (положительный) максимум на цилиндре Цг на нижнем основании 6 х (0) или на боковой псиерхности Зх[0, Т"! его, т.

е. и(х, Г)~гпах[0, гпах и(х, Г), гпах и(х, !)1, (4 хео, г=о хаз, О<ХТ (х, !) =-Ц,. Доказательство. Предположим противное, т, е, пусть функция и(х, Г) принимает положительные значения в некоторых точках цилиндра Цг, но не достигает своего (иоложительпого) максимума ни на его нижнем основании бх(0), ни на боковой поверхности Ях[0, Т*! Это значит, что найдется точка (х„!ь), хе ~ 6, 0 - Гь~ ~ Т, такая, что и(х„(ь))гпах[0, гпах и(х, (), гпах и(х, ())= хе об, 1=0 лев, они< г = М) О. (5) Обозначив е=и(хь, (ь) — М)0, (6) % зн уРлвпГпиг плвляо'пшггю>го ппм построим функции~ о(х, Г) =-п(х, г) ~ в Т вЂ” Г 2 Т Тогда о (х, ():=- и (х, () +, (х, Г) ~ Цг и, в силу (6), при всех (х, () из бх(0) или Як~О, Т'1 имеем о(хм Г,)ъи(хв, Г„) ==е,й М е Ри(х, Г)- :- +о(, г) —;=;+о(х, Г). Отсюда следует, что функция о также принимает свое (положительное) максимальное значение иа Цг в некоторой точке.

(х', У), х' ~ 6, 0(У (Т, причем о (х', У) .- о(хв, 1,):=. е+ М. (7) Выпишем необходимые условия максимума функции и в точке (х', у): — ~~О, дгаби О, Лом=О. д~ Из этих условий, а также из неравенства (7) вытекает, что в этой точке р-х- — Йч(рцгаг) и)+ви — Г= ди дв д~ = р —, — рЛо — (цгаг( р, цгаг) о)+ во — Р+ 2 ~ 7 ) 2(Т Т ) 2(Т Т ч~(1 — 2т )+ 2т )О, что противоречит уравнению (1). Это значит, что неравенство (5) неверно и, следовательно, справедливо противоположноее неравенство (4), что и требовалось установить.

Заменяя и на — и и Р на — Е из принципа максимума получим Принц ип мин им ума. Если функция и(х, Г) класса С'(х ец 6, 0 С(: Т) ()С(Ц,) удовлетворяет урав- смвшлннля злдлчл !гл. то неншо (1) в Цт и Р)0 в Цт, то справедливо неравенство и(х, 1) ~ш!п[0, ппп и(х, С), ш!и и(х, 1)]. (4') «ио,г о «из. оФ<т 2. Единственность и непрерывная зависимость классического решеняя.

Применим принципы максимума и минимума для установления единственности и непрерывной зависимости классического решения смешанной задачи (1) — (2) — (3) ! рода„т. е., когда в граничном условии (3) и = 1 и ~ = 0: и!в=о(х, 1), (х, 1) онЯн[0, с«) (3,) (Требование йгаб,и он (Ц ) для краевых задач ! рода излишне; см. замечание 5 4.5.) Пусть и(х, 1) — классическое решение задачи (1)— (2) — (3«) и г" евС(Ц ). Фиксируем Т 0 и обозначим !«!с(йт). Мо=!о$с<зхСО, тв, Мо='(по[с(в).

Составим функцию Х(х, 1) = и (х, 1) — — С, р, ° гп!и р (х) ) О. (8) М «~в о Функция Х является классическим решением смешанной задачи (1) — (2) — (Зо) с заменой Р и о на г — — М вЂ” — М1 и Р 4 М Ро Ро о — — 1 соответственно. Учитывая, что Ро à — — РМ вЂ” Е МС=аО, (х, 1) е-=цт' Ро Ро о — — 1(М,, (х, 1) ен Ях[0, Т], Ро и пользуясь неравенством (4), получаем оценку Хашах(Мв М«) т. е., в силу (8), и (х, 1) ~ — ' Т + шах (Мо, М1), (х, 1) е= Цт.

Ро Аналогично, вводя функцию Х,(х, 1) =и(х, С)+ — С М » 54] уРАВнении пАРАВолического типА зо] и пользуясь неравенством (4'), получим противоположную оценку: М и(х, ()) — — Т вЂ” ]пах(М„М,), (х, () еиЦГ. Р» Итак, если и(х, 1) — классическое решение задачи (1)— (2) — (3,) и г ыС(Ц„), то при любом Т~О справедлива оценка т (и)с(й )(шах[(и»'с(о), 1о",сгехих гп]+ — )р(с(цг) (9) Пользуясь полученной оценкой, докажем следующую теорему. Теорема.

Классик ское решение задачи (1) — (2) — (Зд) единственно и непрерывно зависши от и„о и г в том смысле, апо если [Р— р)с(й )~е, )и»-йо)с(о)~е» (1О) [о б 1С]эх]к г]> '5» ен пю а]ответствуюи]ие (классические) решения и (х, 8) и й(х, 1) удовлетворяют неравенству $ и - й )с(й г) ~ шах (е„е,) + — в. Т (11) Доказательство. Единственность решения вытекает из того, что, в силу оценки (9), однородная задача (1)-(2) — (3,) (при и,=О. В=О и г 0) имеет только нулевое классическое решение (см.

9 1.11). Для доказательства непрерывной зависимости составим разность ]]=и-й. Функция ]] является класси. ческим решением задачи (1) — (2) — (3,) с заменой г", и, и о иа г — г", и„— й, и о — й соответственна. Применяя неравенство (9) к функции ]] н пользуясь оценками (ГО), получим оценку (11). Теорема доказана. 3. Обобщенное решение.

Как н для уравнения гнпер. болического типа, введем понятие обобщенного решения. Пусть существуют последовательности функций г» ~ еи С(Ц„), о» ВЕС(5х[0, со)) и и»»я С(О), у=1,. 2, ..., такие, что 1) при й- со р В С(Ц,), о,— о в С(3х[0, Т]) (! 2) при любом Т)0; и,„- и„в С(б); 502 сме!ИАннля з»л»чА ~гл, ш 2) при каждом й = 1, 2, ...

существует классическое решение смешанной задачи Р ~~ = Еи»+г»(х Г) ди» (1') и» ~!=о = и»о (х), (2') "+()-',"„'-~ =,(, Г) (3') Предположим, что существует функция и(х, Г), непрерывная на цилиндре Ц и такая, что при любом Т)0 и„— и, /г-».со в С(Цг). (13) Функцию и(х, Г) назовем обобщенным решением задачи (1) — (2) — (3). Из определения обобще»шого решения задачи (1)— (2) — (3) вытекает (ср. 5 33.4); всякое классическое решение этой задачи является обобщенным решением ее; для существования обобщенного решения необходимо выполнение условий: ЕяС(Ц ), о он С(3к[0, со)), поен С(б): обобщенное решение удовлетворяет начальному условию (2); обобщенное решение удовлетворяет уравнению (1) в обобщенном смысле, т.

е. для любой ф вне(Ц ) выполнено интегральное соотношение ~ и (», Г) ( — р — + Еф)»(х о(Г = ~ Р (х, Г) ф о(х о(Г. (14) Докажем, что для краевой задачи (1) — (2) — (3,) последовательность (и») равномерно сходится на любом Ц,. Действительно. применяя неравенство (9) к разности и» вЂ” и„при всех Т)0 получаем 1ио ир(с(иг)» п1ах [1 и»о — иро1с<аь 10» — ор)сщхга. тр1+ т, + р,(» р)с(иг) откуда, в силу (12), следует, что последовательность (и») сходится в себе в С(Ц»).

Поэтому существует функция и (х, Г), непрерывная на Ц и такая, что последовательность [и») сходится к и в С(Цг) при любом Т)0 (см. 2 1.3). Докажем, что оценка (9) остается справедливой и для обобщенного решения и(х, Г) задачи (1) — (2) — (3»). воз УРЛВНЕИИГ ПЛРЛГОЛИЧЕСКОГО ТИПЛ Л 3(! Действительно, пусть и„(х, !), й=!, 2,..., — последа. вательность классических ре(пений задачи (1) — (2) — (3,), равномерно сходящаяся к обобщенному решению и(х, () иа любом цилиндре Цг. Применяя к решениям и» оценку (9), при всех Т)О получаем ("и«(с(иг) ~снах[!и«»1с(о) 1о«)с(эх!о, гр1+ +, ! "«(с(йт). (15) т Учитывая предельные соотношения (12) и (13) и переходя к пределу в неравенстве (15) при й- со, убедимся в справедливости оценки (9).

Из оценки (9) вытекают единственность обобщенного рг(агния задачи (!) — (2) — (3,) и его непрерывнан зависи- лнкогь от ио, о и Р в смысле теоремы 9 34.2. 4. Существование обобщенного решения. Существова- ние обобщенного решения докажем для смешанной задачи (1) — (2) — (3) при р = О и о = О: ди ди р = — (и, иЦ( о=и„(х), пи+6 ~ =О. (16) В 9 32.3 было построено формальное решение задачи (16) ь виде ряда Фурье по собственным функциям (Х,) опера- тора 1., и(х, !)= ~', а;е лл(Хл(х), ау=(и„Хл) . (17) /=1 Предположим, что и, ен ыос.

Докажем, что при этом условии ряд (17), представлякиций формальное решение задачи (16), сходится равномерно на Ц и определяет обобщенное решение и(х, () этой задачи. Действительно, пользуясь теоремой разложения 1 $21.4 (см. замечание), представим функцию ио в виде регулярно сходящегося на б ряда Фурье по собственным функциям оператора с., ио(х) = ~ а(Х((х).

(18) (=о Обозначим через и» и и„, частные суммы рядов (17) и (18) соответственно. Функции и„, й =-1, 2,, являются классическими решениями задачи (16) с заменой ио на и»о, смяшлннхя зхдхчл причем иоо-о.и„ й- оо в С(б). Поскольку все й/ ) О, то ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (17), мшкорируется на Ц равномерно сходящимся рядом на /э, ОЭ ОЪ ~', )а/е-х//Х/(х) !( э, !а/Х/(х) !. / ! / ! Поэтому последовательность (ио) сходится равномерно на Ц к обобщенному решению и(х, /) задачи (16). Итак, установлена Теорема.

Если ивановы то обобщенное решение задачи (16) существует и представляется регулярно схо- дящимся на Ц„рядом (17) формальным решением этой задачи. й. Существование классического решения. Как и в 6 33.7, ограничимся рассмотрением смешанной задачи с двумя переменными (х, /) в полуполгсе Ц =(О, 1) х(0, оо): д/ дх ( дл) и(/-о=но(х), 0(х~/, (20) йои — дои ~ =о=Н,и+Нои„!, /=О, /)О. (21) Теорема. Если ноы му/, то ряд (17) дае/и классичес- кое решение и(х, /) задачи (19) —.(20) — (21), бесконечно дифференцируемое по / при /)О, 0(х(/.

Доказательство. По теореме 4 34.4 и он С(Ц ). Далее, пользуясь равномерной сходимостью рядов (41) и (42) Э 33.7 и сходимостью первого ряда (45) 4 33.7, как и в й 33.7, устанавливаем регулярную сходимость рядов — " ' — = ~Р а/е-т.'Х/'(х), 0(х(1, /)О, А .= 1,2, /. ! — Яэ'— ) = ~~) а, ( — л/)'е-"//Х (х), й =1, 2,..., / ! О~я~/, /~е (при любам а) 0).

При этом нужно учесть, что величины А/е-х/' равномерно ограничены прн /=1, 2,..., /~е. Теорема доказана. ЛИТЕРАТУРА Ж. Адамар !. Задача Коан для лянейных уравнений с частными производ. ными гиперболического типа. — Мл Наука,!976. А.