Владимиров В.С. Уравнения математической физики (4-е изд., 1981), страница 68

3// — 2(0)+ [ 1г)о(т, 1.:--О. (13) о ))о о Теперь оценим функцию(и)',. Дифференцируя равенство 1 и )о = $ и' (х, 1) ((х по 1, пользуясь неравенством Коши — Буняковского и учитывая неравенство (!2), получаем 2)и(1)и1'=2 и — ((х(2~ и(()[- ~ о ) . ) [1) .' ) (о) о ) т ) т ) о,~, о т. е., после сокращения иа 2(и), 1 и 1' ( ~/ — l (0) + — ' ~ 1г 1()т, 1» О. о Интегрируя это дифференциальное неравенство, имеем 1и1~1и(о+ 1/ l(0)1-1- — ) 1(г(о(тй', о о где (и)о — значение функции (и) в точке 1=0, т.

е. 1 и 11 = ~ и' (х, 0) Нх = ~ и,"-, (х) ((х = 1 и, (о. о б Меняя порядок интегрирования в последнем интеграле, получим искомую оценку )и))~1и(о+ 1/ — У(0)т+ — ~(1 — т))Р(((т, Г~О. (14) о Ро ° Теперь, пользуясь оценками (12), (13) и (14), докажем следующую теорему. Тбо СМЕШАННАЯ ЭАДАЧА 1ГЛ. ч1 Теорема.

Классическое решение задачи (1) — (2) — (3) единственно и непрерывно зависит от ио, и, и Р в том . ч Р С(Цг), Р С(цг) и — О~С~с: ~ .— А~,~ .,) 1)йтабив-йгадйо)1(е,', 1 и,— йо)(ео, «ю соответотвуюи1ие (классические) решения и (х, Г) и й (х, г) удовле1пворяют при 0-=.

! ~ Т неравенствам 1и — й[(С(в,+ Тво+ ТИ+ Те, + — в), (16) 1) йгад„и — йгаб„й ) ! ~ С (во+ ео+ ео+ Те), (17) !и,— йс(~;С(во+во'+ео+Те), (18) пРичем число С нс зависит от им и„Р, 1 и Т До к а э а тел ь с т в о. Для доказательства единственности достаточно установить, что классическое решение и(х, Г) -однородной задачи (1) — (2) — (3) (при и,=ио =О н Р 0) единственно, т. е. и (х; Г) = О, (х, г) ~ Ц (см. 4 1, !! ).

Но это вытекает из неравенства (14), поскольку и„=О, ,)(0)=0 и Р=О. Для доказательства непрерывной зависимости составим разность Ч= и — й. функция и является классическим решением задачи (1) — (2) — (3) с заменой Р, и„и иг на Р— Р, и,-й, и и,— й1 соответственно.

Пользуясь неравенствами (!3) ° для решения и оценим величину интеграла энергии Р(0): 2Р(0) = [ [р (иг — йг)э+ р ) йгаб ио — !!гад йч )'+ д (ио — йо) )~) дх + а + ~ р — (ио- йо)э ЫЯ ~Ч шахр (х) во+ Чп1ах р(х) (ео)'+ соО АЕО +[У п1ахд(х)+окопах р — "(х)~в[~Со'(ео+е,'+в,)э, сна сюэс где У вЂ” объем области б, о — площадь куска В, и С,' — число большее, чем числа Чшахр, Чшахр и Ушахс)+ошахр-". Таким образом, получена оценка $''ЙУ (0) ~ Со (ее+ в,'+ ЕА). (19) Э.зз1 уРАВнение гипеРволического типА евн Применяя теперь к решению о) неравенство (14), (о)$~)ио — й,$+1/ —,1(0)1+ — [ (1 — т)$Р— Р)о(т, ', Ро Ро Зо н пользуясь неравенствами (15) н (19), получим прн всех 1ен[0, Т] оценку (16): )о)$~ $~"$'(а,— йо)с+=Со(ее+Во'+е,)1+ $'Р + о $ (1 — т)о(т,ео)/У+=С,(ео+ео'+е,)+ Ро .1 о 1 Ро + о Том'.С(ее+В,Т+е;Т+Е,Т+ — То) 2Ро при надлежащем выборе постоянной С.

Аналогично, с помощью неравенств (12), (13) и (19), устанавливаются и неравенства (17) и (18). Теорема доказана. Доказательство существования классического решения задачи (1) — (2) — (3) представляет значительные трудности. Чтобы обойти эти трудности, как и для задачи Коши, введем понятие обобщенного решения этой задачи; сушествоваиие же обобщенного решения устанавливается более простыми средствами. Прежде чем приступить к этой программе, изучим более подробно функции нз Хо(6), зависящие от параметра.

3. Функции, непрерывные в Хо(6). Пусть прн каждом 1~ [а, Ь] функция и(х, 1) принадлежит Хо(6). Функция и(х, 1) называется непрерывной в Хо(6) по переменной 1 на [о, Ь], если для любого 1 ее [а, Ь] и(х, 1')-о и(х, 1), 1'-~1 в Хо(6). Из этого определения вытекает: если функция и(х, 1) непрерывна в Хо(6) по 1 на [а, Ь], то норма $и(х, 1)$ непрерывна по 1 на [а, Ь]; для любой 7 ен Ло (6) скалярное пронвведенне (и(х, 1), $) непрерывно по 1 на [а, Ь]; ношено(6х(а, Ь)), если йнтервал (а, Ь) конечен, Действительно, непрерывность )и1 следует нз неравенства $$М (Х, $')$ — $И(Х, 1)$$ооо$и(Х, 1') — и(Х, 1)$, 48б СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА (гл чт вытекающего из неравенства Минковского. Непрерывность (и, () следует из неравенства Коши — Буняковского [(и(х, р), )) — (и(х, !), () [-=.(и(х, у) — и(х, 1)1[1"1. Принадлежность и к Ха(бк(а, Ь)) следует из конечности (а, Ь), непрерывности (и( и равенства ь а ~ $ [ и (х, У) [' Йх Ж = $1 и (х, г) )а Ж.

ав а Последовательность функций иа (х, 1), й = 1, 2, ..., называется сходящейся к функции и(х, 1) в Ха(6) равно- мерно по 1 на [а, Ь[, если ам1а, а! (иа(х, У) — и(х, (),~ ~ О, Уг-з.оо; при этом будем писать !и~а, а) иа и, й- оо в Ха(6). Из этого определения следует, что иа-~и, lг- со в Ха(бх(а, Ь)); !е!а, ь1 )и„(х, Г) (и(х, 1)1, Ь- оо. Л е м м а 1. Если последовательность функций и„(х, (), Уг = 1, 2, ..., непрерывных в Жа (6) по ( на [а, Ь[, сходится к функции и(х, 6 в Х,(6) равномерно пс ( на [а, Ь[, то и(х, () — непрерывная в Ха(6) по Г на [а, Ь[ функция. Доказательство.

Возьмем произвольное е)0. Существует такое число т =т„что (иа(х, г) — и(х, О[» з, (Си[а, Ь[, По условию функция и (х, !) непрерывна в Жа(6) по (ен.[а, Ь[. Поэтому существует такое число б=б„что [и„(х, Р) — и (х, а)1» —, [1' — 1[»б, (', (~[а, Ь[. Следовательно, пользуясь неравенством Минковского, получаем (и(х, 1') — и(х, (),'[н [~и(х, г') — и (х, Г')1+)и (х, 1')— — и (х, 1)(+,'и (х, () — и(х, ()1»-, + ~ + з — — в при всех [г-г'[»б, Ф', (ен[а, Ь|.

Лемма доказана, 4 ЗЗ! УРАВНЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 4вт Последовательность функций и„(х, !), 1г=!, 2, ..., называется сходящейся в себе в Жз(6) равномерно по 1 на (а, Ь], если га!», М и,— ир О, Ь, р-Рсо в Х (6), Лемма 2. Есла последовательность функций иь(х, 1), Ь = 1, 2...,, сходится в себе в Хз(6) равномерно по 1 на (а, Ь1 то существует функция и (х, 1), непрерывная в Жз (6) по 1 на 1а, Ь] така, я!по са !». Ы и, и, )г-».со в сз(6). Док аз а тельство. По теореме Рисса — Фишера (см, 2 !.7) при каждом ген]а, Ь] существует функция и(х, 1) ЕЕХТ(6) такая, что и,— и, (г- со в Хз(6). (20) Далее, можно выбрать подпоследователь ность иь, (х, 1), !=1, 2, ..., такую, что !!и»,.„(х, 1) — и„,. (х, 1)]( —,, 1ен]а, Ь].

(2!) ! Но, в силу (20), при каждом ! ~ [а, Ь] и= !Пп и» вЂ” — иь,+(и„,, — иь!)+(иь„— и„„,)+ ..., »»» и потому, в силу (21), и — иь,.]»-]иь„,— и»г]]+!~и»,,— и „!$+ ... " ! ! 1 ( —.+ —.+. = —,, г=!, 2, „. 2г 2!»' 2г-' откуда следует, что подпоследовательность ]и„г] сходится к и в сз(6) равномерно по 1 е= ]а, Ь]. А тогда из неравенства ! и„— и ! ~ !( и, — и», ]+ !! и»ч — и ~! заключаем, что последовательность ]и»] сходится к функции и в Жз(6) равномерно по 1 на !а, Ь].

По лемме 1 функция и(х, 1) непрерывна в Хз(6) по1 на ]а, Ь]. Лемма доказана. СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА !гл. Ег 4. Обобщенное решение. Пусть существуют последовательностифункций Р»яС(Ц ), и»»яС'(6) и и», ееС(6), й=1, 2, ..., такие, что 1) при й-».со Р» Р в Ж»(6) при любом Т:»О, ~е1о, и» и»е-» и» в С(6), йтаб и»»-» дгад и» в Х,(6), и»»-~-и1 в Ж»(6)' (22) (3) 2) при каждом я='1, 2, ... существует классическое решение и»(х, Г) смешанной задачи р —,» = — !.и»+Г»(х, !), (1') ди» ! Ф и»'К-»= и»»(х), — » ( = иы(х), (2 ) Докажем, что существует функция и (», !), непрерывная в Ж»(6) по ! на [О, оо) и такая, что при любом Т 0 Мы!». т! и» и, й-~со в Х»(6). (23) функцию и(х, !) назовем обобщенным решением задачи (1) — (2) — (3).

Действительно, применяя неравенство (!6) теоремы й 33.2 к разности и» вЂ” ит при всех ! ЕЕ[О, Т! н Т>0 получаем [и» вЂ” ир! =. '=: С [(1+ Т) [ и*» — и»» 1с+ Т1 ! йгад и»» — йгаб ир» !1+ Т» +Т(и„— и,(+ — шах 1Р» — р [1 з о~г~г откуда, в силу (22), следует, что последовательность (и„) сходится в себе в Ж»(6) равномерно по ! на [О, Т[ По лемме 2 З ЗЗ.З существует функция и(х, !), непрерывная в Х,(6) по !.На [О, со) такая, что при любом Т 0 справедливо предельное соотношение (23).

Из определения обобщенного решения вытекает, что всякое классическое решение задачи (! ) — (2) — (3) является н обобщенным решением ее н для существования обобщен- ч м! уРАВнение ГипеРБОлическОГО типА 489 ного решения необходимо выполнение условий: Р непре- рывна в Х,(6) по г на [О, Ос), и,енС(6), йгабиьенУ,(6) н и, ееХ,(6). Установим теперь дополнительные свойства обобщен- ных решений.

а) Обобщенное решение и (х, !) задачи (1) — (2) — (3) удовлетворяет уравнению (1) в обобщенном смысле, т. е. для любой ~ран Ы(Ц ) выполнено интегральное соотно- шение ~ и(х, 1)~рЯ+(лр)г(хд! ~ Р(х, 1) р!(хд(. (24) Действительно, пусть грен ед(Ц ); тогда зпрргрсЦГ при некотором Т О. Умножая уравнение (!') на функ- цию р и интегрируя по цилиндру Цг, получим [р —,"„' — б)У(рйгабиА)+диА1фдхд(= Р,~рдхМ. г глг В интеграле, стоящем в левой части этого равенства, интегрированием по частям перебросим операцию диф- ференцирования на основную функцию ф (см. (6) $21.2). Поскольку ~р обращается в нуль в окрестности границы цилиндра Цг, внеинтегральные члены прн этом исчезнут и в результате получнм ~ иа[Р,!ге — б1ч(ругай Ф)+уФ1дхд( = ~ РАЕЙ«И.

йг иг Учитывая теперь, что, в салу (23) и (22), и НР Р, й ВХ,(Ц), н переходя в последнем равенстве к пределу прн й-у.оо, получим интегральное соотношение (24). Ь) Обобщенное решение и (х, 1) обладает первыми (обобщенными) производными щ, дгад и, непрерывными в Х,(6) по Г на [О, сс), причем при всех Т~О ди„ ' ди !«ш г! Вà — Р В!' (23) тм!ь, т! йтад ил ., егад и, й-ь со в О,(6). Действительно, применяя неравенство (18) теоремы 3 33.2 к Разности иь — и, пРИ всех 1ен[О, Т1 н Т>О ~гл, ш смгшлнння зздочл получим 'дио дир'$ до )~ ($ С ($$ аро про $с+ $$$ йгад аоо" йгад аро $1+ +$~арт — и,,",+Т гпах $г",— г $~), оа~<т спкуда, в силу (22), следует, что последовательность производных -" — ', )о=1, 2, ..., сходится в себе в Жо(О) д~ ' равномерно по $ на [О, Т$ при всех Т)0.

По лемме 2 з ЗЗ.З существует функция й(х, Ф), непрерывная в Хо(О) по $ на $0, с ), такая, что при всех Т -, 0 д„~~Ло, тЬ д," й, й- оо в Х,(О). (26) С другой стороны, из (23) следует, что ио-о и, А-~ос в Я' (функции и, и и считаем продолженными нулем вне цилиндра Ц.-). Отсюда, пользуясь непрерывностью в ис' операции обобщенного дифференцирования (см. з 6.2, а)), заключаем, что ди» ди — -э--, й- сс в Применяя полученное соотношение к основным функциям ф из .йт(Ц ) и учитывая (26), выводим ~ йфйхл( ~ф фихте (~", 1 А откуда вытекает равенство (см. з 5.5) и, = й, (х, $) ен Ц . Таким образом, в силу (26), доказано первое предельное соотношение (25).

Второе соотношение (25) доказывается аналогично. с) Обобщенное решение и(х, () удовлетворяет начали- ныло условиям (2) в следующем смысле; $ и — ио $;~ О, $$ $ ига б„(а — ио) $ $, '— «О, $ ио — и, $$-и О, $ -и О. (27) Для доказательства перейдем к пределу при й-~со в неравенстве $и(х, 0) — ио(х), =(и(х, 0) — ио(х, 0)$-$-$$иоо(х) — и,(х) $, 4 эз! зглвнепие гипвгволичсского типл 491 используя предельные соотношения и,(х, 0)-«и(х, 0) и и«ь(х)-«иь(х) в Хг(б). В резулшате получим и(х, 0) = =и,(х). Отсюда, в силу непрерывности функции и(х, 1) в Х,(6) по (~ "10, со), убеждаемся в справедливости первого предельного соотношения (27).