Владимиров В.С. Уравнения математической физики (4-е изд., 1981), страница 67

$ 22.!) — э" + Льэ = — сь (!), О (0) = о (!) = О. Следовательно, с Ть (!)=аь — + Ь» — — ~ьь(1, т)с»(т) с!т, (41) ь» 1 Ль(С вЂ” 0 5» )~Л»! о»УЛ»С »Л )сЛ»! и граничным условиям Ть (0) (ио. Х,)р — — а„, Ть (!) = (и„Х»)р — Ь„; (39) функции сь (!) определяются равенством (! 7), Построим решение краевой задачи (38) — (39). Функ- ция смен!Аннля зАдАчА сгл чс Таким образом, формальное решение граничной задачи (35) — (36) — (37) выражается рядом у !' оьУс„(с — О+ оьУс,„с о=1 — !Ю К )а~)Ы1х,а).

~42) о 6. Примеры. а) Колебание закрепленной струны. Эта задача сводится к решению смешанной зачачи в полуполосе (О, !)х(0; оо) для одномерного волнового уравнения (см. 2 2.1): ( ),и=О, и!с-о=ио(х), и,Ь.о=и,(х), (43) и!х о=и! -с=0. Соответствующая задача на собственные значения есть задача Штурма — Лиувилля: — а'Х" ХХ, Х(0) Х(С)=0, Поэтому (см. 5 22.4) ~ ало~о Г2 . алх л =! — ), Х (х)= у — з!п — —, 1=1, 2, ..., и формальное решение задачи (43) выражается рядом ,2 с~ I ала . ала 1 .

хлх и(Х, С)=- Р (а СОЗ вЂ” сС+Ь,З!П вЂ” сС!З!П вЂ”, (44) где ! хл» ! . алх а» = Р ио(х) з!п — с(х, Ь„ = — ) и,(х) з!п — йх, ! Фла .) с о Каждое гармоническое колебание алх , гола То(С) Хо(х) Ио ~( — з!п-) — з!и( — С+а ), й=1, 2, ..., ала образует стоячую волну с собственной частотой -~- и амплитудой о / 2 .

алх У„'у — о!п —. У с с метод 1иэ1.а образуют ряд последовательных обертонов. Решение (44) складывает. ся из отдельных тонов (ос. новного тона и обертонов), и их суммарное действие приводит к созданию тембра звука, издаваемого струной. Ь) Распространение тепла в ограниченном стержне. Рассмотрим смешанную задачу для одномерного уравнения зеплопроводности: и й Рис 134 и,=а'и„„, ий и —— ии(х), и!и-и=и1х !=О, (45) Формальное решение задачи (45) выражается рядом и мл'и* 2 чт — —,( .

йлх и(х, 1)= — 7 а„е и з)ив (46) и 1 Ограничиваясь первым членом ряда (46), получим при. блнженное решение задачи (45): л'и' 2а, — —,~ . лх и(х Π— 'е ' з(п —. Ф ( с) Колебания закрепленной мембраны Задача сводится к решению смешанной задачи для дву Нули — (, а=О, 1, ..., й, амплитуды пазывак1тс» )етыми, а ее точки экстремума — '1, а=О, 1, ..., й — 1,-- г1уч. а+О,а настями этой стоячей волны (рис.

!04). Гармоническое колебание Т,Хт с наименьшей собственной частотой ) '), = — называется основным тоном; остальные гармонические колебания Т,Х,, Т,Х„... с соб- г / ственными частотами смешлнноя Зодлчл и'л. у! мерного волнового уравнения: Д,и=О, и'о о=ио(х), и,), и,(к), и~о=О. (47) Соответствующая задача на собственные значения принимает вид — аоЛХ = ХХ, Х Ь =О. Зля прямоугольника (О, 1)х(О, т) (см. З 26.2) о о!оо /21 х . Олх .

(лу Цо~ — — лоао( — + — ), Х„,(х, у)==з(п — з(п —, ,Р ео) ' у ил ! оо л, 1 = 1, 2, ..., и формальное решение задачи (47) выражается двойным рядом 4 чо / газ и(х, У, Г)= — 7 ~ах~созна У вЂ” „+ —,1+ о./! - ° /ао )о 1 . Олх . /лу +до~ зшпа у —, + —,1) о1п — з(п —, (48) где ...-1~;~.,и —,и.— ~м, хлх . )лу о ю ь„= Ьл Г Г . Олх . 1лу о 1 и,(х, у)о(п — з1'п — Ихду.

ло)~Мои+/йо 3 3 ! т о о Лля круга У„(см. 5 26.2) л ~ = ~р(о' ' —, Хм(х, у) =, Уо 1р,' ' — ) е оо, '1л ' ' ~' я~А(4")~ 1' д~ л *= О, 1, ...; 1' = 1, 2, .... где р<о1 — положительные корни уравнения l» (р) = О. ! Формальное решение задачи (47) выражается двойным рядом и(к, у, 1) .)" ~ "~ "'.-), — ~аоу соз — 1+ Бо, з(п — 11, о о'о'о, (49) метод еи ьв где ы- ~ ~ м с .

и) ~.~~и — С "' ФФ. Г '1 бес — и,(х, у) Уе~ рс '-~)е сечгс(гс(ф. „мс~ ') ! б) Формальное решение смешанной задачи для двумерного уравнения теплопроводности, ис = а' Ьи, и )с-е —— ио (х), и Ьз = О, (50) имеет вид: для прямоугольника (О, 1)х(0, сп) ОЪ и сй 4 ч~ — ~'и'(з+„—,,)с . акх . 1ау и(х, у, 1)=,— 7 а„,е "' '"'с з(п — ейп —; (51) для круга Уя со о» (кС ~ ~ 1 С НО с с, е(ис д) и(х, у, 1)= —, ~с ~с а се "' ес"ч. (52) ~ с; (и,'"'))е е) Колебан ие шарового объема. Рассмотрим смешанную задачу (47) для трехмерного шара Уя. Соответствующие собственные значения и собственные функции вычислены в 3 25.2, с) (формулы (30) и (3!)). Формальное решение задачи выражается рядом ОР СО сс С-Ос ,„('+ '-) 1 (зс+1)(с-, Ос с~ Х')с -(Рс~ е)н)ус (6 ф) (53) матод еироа Собственные значения и собственные функции кровной задачи (56) определяются методом разделении пг(юмю! ных. Полагая Х= — г'(6, !р) ео (г) и действуя, как и в 6 25.8, получим о / 2Г+! (! — ! и! ~)! е5Дц~ (г) !"!!, Хнщ (к) Р (!+6 ) (г+ ) ))! — )г! (6, оР), (=О, 1, ...; 1=1, 2, ...; т=О, + 1, ..., + 1, где Х!! и и!Р!г(г), /=1, 2, ...,— собственные значения н собственные функции одномерной краевой задачи — Л"-(-!(!+!) Л+2а,'(р — Х) й =О, оЯ' (0) = он' ()с) О.

Формальное решение задачи (55) выражается рядом са оэ ! о! !т= ! хейР!!(г) У! (6, гР), (57) где я лов агЛ„=~ ~ ~ ио(к)ой'!!(г))г! (6, ф)ге(гз!пйг(6йр. ооо Собственные значения Хг! определяют уровни энергии квантовой частицы; индексы ! и а! называются соответственно орбиглалоным (ааимутальным) и мааиитяым кванпювыми числами. о) Ь) Формальное решение задачи Дирихле Ли=О, и( -о=и(,,=0, и! в=но(л), и~ .!=и!(х) (58) а прямоугольника (О, а)х(0, () выражается рядом СО ип— Флх и(х, у)= — ~~1, (аозЬйп — «+без)! — ") — „, (59) о=! оь— а о) См., например, А. Месеиа 1!1, гл, !Х. Атв СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА «Гл.

««т где ໠— — и»(х) з)п — «(х, Ь» ~ и,(х) з«п — «(х. »л» г .а* «) Рассмотрим задачу Дирихле в трехмерном цилиндре и,х(О, Ь): Ли=О, и/зя — — и»(г), и~, » и~, А О. (60) В цилиндрических координатах (г, «р, г) (см. 53.2) решение и(х, у, г) =й(г, г) ие зависит от угла «р, и поэтому задача (60) принимает вид (61) й()«, г)=и,(г), й(г, 0) й(г, Ь)=0. Решая краевую задачу (61) методом разделения переменных, й(г, г)=ей(г)2(г), для функций»»г и 2 получим краевые задачи 2" + Ы = О, 2 (О) = 2 (Ь) = О, »2У" + — — )«лч =О, «ЗЯ«(0) ((со. Решения этих краевых задач легко находятся, »«л» Г2 .

»л» г« )«„„А,», 2»(г)= у —,з)п — „, З6'»(г)к а»1»(йи — „), где «» — функция Бесселя мнимого аргумента (см. 5 23.8). Формальное решение задачи (61) и, стало быть, задачи (60) выражается рядом 2 ~ 1 »( Ь ) . Ал» и (х) = й (г, г) = †, ~~ а» -7 †в з)п †„ , (62) «»(Ал — ") »-« Ь где а» и» (г) з(п -я — «(г. »и» УРАВНЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 479 7, з'нраинення. а) Доказать: если и," ~ оз (О, 1), ие(0) ие(0 = =и,'(О)=и',(0=0, и',~Жз(0, 0, и,(0) и,(0 О, то ряд (44) представляет классическое решейне задачи (43), Ь) Доказать: если и,'шов(0; О, из(0) из(0 О, то ряд (46) представляет классическое Решение задачи (45).

с) Доказатьл если из н и шО(0), и 1э ит)з— - О, то РЯд и(х, р)= ~ ~(ие, Ха) ' .1-(ио Хз) — Хь(х) зь УХ, ( — р) зь |'д, У1 зь )' ьь Е зь г "ьь!" дает решение следуюШей задачи днрнхле для уравнения Лапласа в цилиндре бтс(0, 0: дзи — +Ь и=о, и1в е=и (х), и~ и,(х), и) =О. 9 33. Смешанная задача для уравнения гиперболического типа В этом параграфе будет рассмотрена смешанная задача для уравнения гиперболического типа (см. 9 4.3): рд, =с)(у(ратас)и) — аи+Е(х, ()ни — Еи+г'(х, Г), (!) (х, ()~Ц =бх(0, оо); и 1~-з = из (х), — ~ = и, (х), х ен О; ди! (2) (3) Предполагаем, что функции р, р, а, и н р удовлетворяют условиям 9 32; 6 — ограниченная область. и ее граница 5 — кусочно-гладкая поверхность, '5,— та часть 5, где а(х),= 0 и () (х) )0 одновременно.

1. Классическое решение. Интеграл энергии. Классическим решением смешанной задачи (1) —. (2) — (3) называется функция и(х, 1) класса Сз(Ц )ПС'(Ц ), удовлетворякнцая уравненИю (1) в цилиндре Ц, начальным условиям' (2) на нижнем основании и граничному условию(3) на боковой поверхности этого цилиндра. Необходимыми условиями существования классическо. го решения задачи (1) — (2) — (3) являются следующие смешлнная зАдАчА [Гл~ т[ условия гладкости: р С(ц„),, =С (П), и, с(а), и условие согласованности аиь+[) ~~~ =О. При изучении краевых задач для гиперболических уравнений весьма эффективным оказывается метод интегралов энергии.

Пусть и (х, [) — классическое решение задачи (1) — (2) — (3). Интегралом энерлии называется величина + р) йгад и [' +уи')дх+ + — в[ р — иэ~Б и 2 Ю г 3, представляющая собой сумму кинетической и потен- Я циальной энергий колебРнч. 105. лющейся системы в момент времени й Пусть и(х, 1) — классическое решение задачи (1) — (2)— (3) и г" еи С(Ц ).

Тогда справедливо соотношение Р(1) Р(0)+ ~ ) г (х, т) — '-~дт, [)О, (4) о й где Р (0) = — Г[ (ри,'+ р ~ дга[( и, [э+ахи,') Нх+ — р —" йдя. Для доказательства возьмем произвольные числов~О и область 6' сй 6 с кусочно-гладкой границей 5' (рис. 105). Умножая уравнение (1) на —, интегрируя по цилиндру аи й' х (е, Т) и пользуясь первой формулой Грина (см. 3 21.2), З зз1 тоевнзние гипеоволнчаского типа 4З1 получим Р— е(х й = ~ — (р —, + йи) г(хе(1 а'х е. т1 о х<е, т1 т т ~ р 1 —" —," ~И Их+ ~ ~ )~ е.и е(хй о' е е О' т — ~р~у) ~ еех+~ ~Р~йгайи йгайуг ~е(х-ор~-"Т"'+1 д-" 1"=~ ЬФ*+ т +р)агайа!е+диф Йх — ~ ~ р~ — „Ю'й.

е 8' Переходя здесь к пределу при е — е.О и 6'-е-6 и пользУЯсь тем, что и ен Се(Цт) и Р~С(Цт), полУчаем Равенство — ЦрЯ +р~агайи~'+диф йх— а г 1 1 рдТ лй юЫеИ ') Р~~ еехг(е. (6) $ з пт Из граничного условия (3) вытекают соотношения на Я ди ее да = — — и, если р ~ 0; и = О, если )$ = О. Поэтому т т 1 )Рдеда ~,)~ й д1 2,)' й о Ь о з, зе откуда и из (5), заменяя Т на г, получаем фррмулу (4). Теорема доказана. Следствие, При Р=О роаенстео(4) принимает вид Р(1)=Р(0), 1)0.

(6) Ф и з и ч е с и и й с м ы с л р а в е н с т в а (6) состоит в том, что полная энергия колеблющейся сястемы при отсутствии внешних возмущений не меняется со временем (закои сохранения энергии). 1$ В. С. Веееееееее 4 зз1 УРАВИСИИС ГИПСРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА Из оценок (9), (10) и (11) выводим оценки (~ат [[~ ~/ — l (0) + — ~ (Р1НТ, 1) О; (12) о )~угад и!1=.