Владимиров В.С. Уравнения математической физики (4-е изд., 1981), страница 69

Аналогично, используя свойство Ь), получим и остальные соотноше ния (27). Вопрос о том, в каком смысле обобщенное решение и(х, 1) удовлетворяет граничному условию (3), подлежит дальнейшему выяснению. 5. Единственность и непрерывная зависимость обобщенного решения. Докажем, что оценки (12), (13) и (14) остаатся справедливылш и для обобщенного решения и(х, () задачи (1) — (2) — (3).

Действительно, пусть и,(х, !), й=1, 2, ...,— последовательность классических решений задачи (1') — (2') — (3'), сходящаяся к обобщенному решению и(х, 1) в смысле (23). Применяя к решениям иь неравенство (14), получим 1и (~)иь (+ у — ( (0)г+ — (1 — т),'р 1<й, Ф О, (23) ~/2 ! Р Ро Ре ~ где Л1(0) = « ~ (Рай~+ Р ! агап иль!~+Ив) ах+ + — ~ р — и)ь аЯ. (29) зе Пользуясь тем, что, в силу (23) и (22) (см. 9 33.4), ~:1ю, т! ы1а. г! )!иь) !!и(, (с,( =«()с), Т)0 — любое; )иы — и,)с — «О, 1(йгас1 и«ь !/! — «!!!йгад и,,'!!; !,'и„,1 — )и,), й -оо, и переходя к пределу в (28) и (29), убедимся в справед- ливости оценки (14).

Оценки (12) н (!3) устанавливаются аналогично, если воспользоваться предельными соотношениями (25), Из оценок (12), (13) и (14), как и для классического решения, вытекают единыпвенность обобни нного решения задачи (1) — (2) — (3) и его непрерывная зависиль сть ит и,, и, и с в смысле есор,мьс ~~ 33.2. пл. ш СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА б. Существование обобщенного ре!Ненни о ч 32 2 было построено формальное решение задачи (1) — (2) — (3) в виде ряда Фурье по собственным функпиям (Хг) опеРатора т., (30) и(х, ()= '5', Тг(()Х,(х), ! ! где Т;(!) =о соз)~ )т(+Ьтмп~l)т!+ + — сг (т) 5$П )! ду (~ !) !(т' (31) аз=(им Х!)р, Ьг — =7=(и„Х!)А, сг(() =(Ь Хт) (32) / )7т! Возникает задача обоснования метода ФУРье т.

е. выяснения условий, при которых ряд (30) дает обобщенное или классическое решение. Предпслок!им, что и,ен !еы и ен.~АФ) " г непрерывна в е (6) по ( на (О сс). Докажем, что при э™к условиях ряд (30), представляющий форм~линос Решение задачи (!) — (2) — (3), сходится в Х,(б) Равномерно по ! на 10, Т) при всех Т-!.0 и определяет обобщенное Реше ние и(х, () этой задачи. Действительно, пользуясь теоремами разложения 1, 2 и 3 б 21.4 (см. замечание), представим Фуикпин ио, угад и„и и — в виде рядов Фурье по собственным Фун" Р Р циям (Х!) оператора Е„ и, (х) = '5, "а,Х! (х), (33) ! ! ,( )= ~)')!Ь!Х,(х), (34) /=! ! г (х, !) =р(х) ~ч~ с, (!) Х;(х) (35) !'= ! где а;, Ь, и с, (() определены формудами (32), причем этом рял (33) сходится в С(0), а рядь! (34) сходятся в л,(6).

$ м! УРАВНЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 493 Локажем, что ряд (35) сходнтся в О,(б) равномерно по ! Иа [О, Т] прн любом Т)0. Действительно, прн каждом / ен [О, ОО) для функции — ' справедливо равенн(х, 1) р (х) ство Парсеваля — Стеклова (см. $ 1.8) !я-/ !''!/-) ~'ОЫ. (36/ / ! Каждый член ряда (36) представляет собой неотрицатель- ную непрерывную функцию с)(/), и этот ряд сходится к непрерывной функции (см. з 33.3). По лемме Линн (см. $1.3) ряд (36) сходится равномерно на любом конечном промежутке [О, Т1.

Отсюда, оценивая остаток ряда (35) в Х,(0), ! р(х) '>', с/(()Х/(х)~ ~п!ахр(х)~ ); с/(!) У'р(х) Х/(х) /м Ф 1 с/Еа 1/ А С ~ ст(()с,(/)(Х~, Х) С ~ч', с)(1), /,! А / юэ заключаем, что этот ряд сходится в 2',(б) равномерно по ! ен [О, Т) при любом Т)0, Обозначим через и„и,э, иэ, н Р» й-е частные суммы рядов (30), (33), (34) н (35) соответственно, например: ИА (х, Ф) =,у', Т/ (Ф) Х/ (х), й = 1, 2, .

„ / ! Так как Т/' (/) = - Л/Т/ (/) + с/ (/), Т, = С ([О, ))„ (. Х/ = Л,р Х~, ссХ/+ ~ — / ~ = О, ах, Х, С (О)ПС (С), то функции иА принадлежат С'(Ц )()С!(ц ), удовлетво- ряют уравнению (1') р-ф-+ 1И, = ~~ (рт!ГХ/+ Т!(Х/) = / ! ,)„( — ЛРТ;Х,. +РС/Х/+ ЛРТ/Х/) =Р ~', 'С/Х/=ГА(Х, 1), 1-! / ! СМЕШАН!МЯ ЗкДЛЧА ггп ч! граничному условию (3') и начальным условиям (2') ид ~г-е = ~Ч', а, Х! (х) = иве (х), в! ~ = '~'] йгЬ,Х)(х)=иго(х), ! =.! Таким образом, построена последовательность и,(х, (), Уг = 1, 2, ..., классических решений задачи (1') — (2') — (3') гаких, что справедливы предельные соотношения (22). В й 33.4 было доказано, что зта последоватепьность (и, стало быть, формальный ряд (30)) сходится в 2е(6) равномерно по( на [О; Т] прп всех Т)0 к обобщенному решению и(х, !) задачи (1) — (2) — (3).

Построенное обоб- щенное решение и(х, 1) обладает свойствами а), Ь) н с), установленными в 5 33.4. Итак, доказана следующая Теорема. Если иоевкккы и, ен.Жа(6) и г непрерывна в 2',(6) по 1 на 10, оо), то обобщенное решение задачи (1) — (2) — (3) существует и представляется рядом (30)— формальным решением этой задачи. 3амечаапе.

Прв и= ! справедлвва о!еорема вложения: если р !в,'ба(0, О, ого ГшС([0 !]) и !!!с м к- ! [1+)с! 1[ 1' ! р! Действительно, ва равенства к [(х)=[(хе)+ ~ р (х') ах', хе и 10. (] следует, что ) ш С ([О, !)). Отек!да, выбирая точку хе ш [О, )] такой, что 1У (хе) 1 = — (] 1) (х ) ' Вк ° ! .! б к пользуясь пераве! ством Коши — Буняковского, получим (е): к ! !1(х)1~])(хь) '+ ~ ! Т (х) ! ех' — ~ 1[(х) ! вх'+ ! Г кк в ! + ~ Ч (х)!ох ~ — к=));,+Г ! ',[1, хе[0, г[ 1' ! в 4 зз! УРАНИЕззИЕ ГИПЕРВОЧИ'!ЕСИОГО ТИПА 4% Пользуясь этой теоремой и неравенствами (!3) и (!4), можно усилить результаты 44 33.2, 33.4 — 33.6, в частности: последовательность нь(х, О, й- со сходится равномерно на любом Цг=(0, г)к ЗС[О, Т1 к обобщенному решена!о и (х, О, непрерывному на Ц 7.

Существование классического решения. Возникает задача: выяснить, при каких условиях обобщенное решение (30) задачи (1) — (2) — (3) является классическим решением. Нетрудно убедиться, что рял (30) представляет классическое решение этой задачи, если он и ряды, полученные однократным дифференцированием по всем аргументам, сходятся равномерно в любом конечном цилиндре Цг, а ряды, полученные двукратным дифференцированием, сходятся равномерно на любом компакте из Ц . Доказательство же возможности почленного дифференцирования ряда (30) в общем случае представляет значительные трудности. Поэтому мы ограничимси рассмотрением смешанной задачи с двумя переменными (х, 1) в полуполосе Ц =(О, !)х(0, ос): д'и д ! дат (37) и !!! о = и, (х), и! !!! а = и! (х), 0 = х =- 1, (38) й,и — йеи ~ о — — О!и+Ион,! ! —— О, 1)0, (39) Предполагаем все АА»О.

Собственные функции (ХА) о!7разуют полную ортонормальную систему в св (О, 1) (см. 5 22.3) и удовлетворяют интегральному уравнению (см. $ 22.2) ! Ха (х) = ) а (.Р (х, у) Ха (д) с(и, (40) о где Р(х, у) — функция Грина оператора (. (см. 2 22.1). По теореме Мерсера (см. 2 20.9) (41) А=! причем ряд (41) сходится равномерно на [0,(1. Докажем равномерную на [О, 11 сходнмость рядов Х ! ХА (х) )а зсз ) Ха (х) !в (42) а=! ь=! СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА Ггя ч! Равномерная сходнмость первого ряда 142) вытекает на интегрального уравнения (40) Х„' (х) — — 3, (х, у) Х, (у) !(у (3„ХА), равенства Парсеваля — Стеклова (см. $ 1.8) ~ ХА(х) (Я вЂ” — =13„)*= ~ ).Э„(х, у) (А!(у А ! ц н нз леммы Дини (см.

5 1.3). (В силу свойств функции Грина я (х, у) последний интеграл есть непрерывная ункцня на 10, 11 ) Равномерная сходимость второго ряда 42) вытекает из равномерной сходнмости первого ряда (42) н ряда (41) н нз дифференциального уравнения Х;(х)=- — ""'Х;(х)+""' " Х,(х). Для задачи (37) — (38) — (39) выпишем ряд (30), представляющий обобщенное решение этой задача (см. 9 33.6); (О и(х, г)= ~,'(аАСоз)~ ЛЯ(+Ь,з!и)/ЛА()Х,(х), (43) А ! а„= (иш ХА), ЬА )ГЛА = (и„ХА). (444 Сначала докажем: если ивы Фс и и, ен.чя(0, !), то ряд (30) сходится равномерно на Ц (к непрерывной на Ц функции и(х, 1)). Действительно, так как и,еяыеы то 1.и,ен 'с,(0, () н Л~(ия, Х„) (и„(.Х„) =(1.им Х„). Отсюда, учитывая обозначения (44), в силу равенства Парсеваля — Стеклова (см.

$1.8), получаем СО СО д , 'л1 ( аА 1'=1!«я !А. ~ч~ лА ~ ьА ~'=1и! 1' (45) А ! А-! Применяя к ряду (43) неравенство Коши — Буняковского н учитывая равномерную сходимость ряда (41) и сходимость рядов (45), убеднмся в регулярной сходимости 4 а<! уРАВнений пАРАВолического типА Ряда (43) на Ц: <о Д", 1аа соз УЦ (+ (<а х(п ) ~Х„! <,! Х, (х) ~ ..:; ее! аа,У', (<аа~!+(Ьа()) Ха(х)) а а ! Теперь докажем теорему и гуин< ии<ннинп нтнсиче ского решения задачи (37) (зн) -(30), Теорема. Если и„, Еи„и и! принадлежат <е<, т< ряд (30) прсдстаоляет классическое решение задачи (3Т)- (38) — (39), причем и ~Со(Ц ).

Доказательство, В силу условий теоремы, нан $ в (43), получаем ;~ Я)!а!!<па~ =)(аие)в ~' )<а<!Ь ! 1(И<! ° (4Ф а < а ! Из сходимостн рядов (4б) и из рави<!мери<М сходимостн рядов (4!) и (42) следует регулярная сходимость на Ц ряда (43) и всех рядов, полученных почленным диффе- Ренннроваяием его по х и ( один и два раза.

Теорема доказана. ЗаМЕЧаНИЕ. ПЕРВОЕ СТРОГОЕ ОЕОСНОНЛННЕ Метека ФУРВФ ДЛЯ авух переменных было нано В, л, стенльвмм (! )! Аал многих вера' менных-см. О. А. Ладыженская [!), б 34. Смешанная задача для уравнения параболического типа В атом параграфе будет рассмотрена смешанная задача для уравнения параболичеекого типа (см. 5 4.б) р,~ — — б<ч (рбга<) и) — 4и+Е(х, () = — еи+Е(х, (), (1) (х, () ен ц' = 0 !с (О, со); и '<-о = и, (х), х еп <х; (2) аи+() — "„~ Р о(х, () (х, ()е=5х(0, оо) (3) при условиях 3 32. ~гл, ш смхиыникя зхдлчх !.

Классическое решение. Принцип максимума. Классическим региением смешанной задачи (1) — (2) — (3) называется функция и(х, г) класса С'(Ц ) ПС(Ц ), угад и еиС(Ц ), удовлетворяющая уравнению (1) в цилиндре Ц, начальному условию (2) и граничному условию (3).