Краснов Н.Ф. Аэродинамика (том 2) 1980, страница 9

С увеличением М все большее значение начинает иметь диссоциация азота и и кривая, характеризующая изменение относительного отхода ударной волны для воздуха, становится ближе к аналогичной кривой для азота, поскольку этот компонент в воздухе преобладающий. Характер влияния диссоциации и ионизации на отход ударной волны можно выявить достаточно четко на примере чистых газов, таких, как кислород и азот. При М = 18 кислород заметно диссоциируется, плотность достигает, как показывают расчеты, максимальной величины, а расстояние з, (рис.

10.4.8, б) является минимальным. С увеличением М кислород становится полностью диссоциированным, сжатие уменьшается и соответственно возрастает величина отхода ударной волны. Далее с ростом М происходит первичная ионизация газа, увеличиваются его теплоемкость, а следовательно, и сжатие газа, что приводит к уменьшению величины з,. Для азота влияние переменности теплоемкости наблюдается при значительно ббльших числах М, чем для кислорода. Кроме того, так как процессы диссоциации и ионизации в азоте протекают не последовательно, как в кислороде, а практически одновременно, то немонотонность изменения величин зв для него менее ярко выражена, чем для кислорода.

Для вдздуха, представляющего собой объемную смесь (примерно 26% кислорода и 74% азота), характер кривойа> более монотонный, чем для чистого кислорода, что видно из рис. 10.4.8, б. Форму образующей головной ударной волны можно определить расчетом, основанным на решении системы соответствующих газодинамических уравнений сверхзвукового обтекания затупленных тел, а также опытным путем. Интересные результаты по определению параметров такого обтекания и, в частности, формы ударной волны приведены в работе [2]. 45 Конус в сверхзвуковом потоке рнс.

10,4,9 Ударная волна перед за- тупленным по сфере конусом, распо. ложенным в сверхзвуковом потоке Как показывают расчеты и экспериментальные исследования сверхзвукового обтекания конусов со сферическим затуплением, образующую ударной волны можно с достаточным приближением представить в виде гиперболы (10.4. 66) (х+ а)ауаа — га/Ьа = 1, (10.4.64) построенной на рис.10.4.9.

В уравнении (10.4.64) а и Ь вЂ” полуоси гиперболы, которые можно определить следующим образом. Из аналитической геометрии известно, что радиус кривизны в какой-либо точке кривой, заданной уравнением г =г(х), И = — (1+ г *)з/а,~гв (10.4.65) где г' = г(гас(х, ге = г(агут(ха. В соответствии с (10.4.64) г' = (1+ га(Ьа)'~'Ьа((га); гв = — ЬвЯгзаа). Внесем значения этих производных в (10.4.65): Ьа [ га (,р )1з!а Полагая г =О, находим на оси радиус кривизны )ха„: И„= Ыа.

(10.4.67) В соответствии с этим (10.4.66) можно представить в виде Я = )~„[1+ — ' (1+ о )1 . (10.4.66') лдарная волна вдали от обтекаемого тела, вниз по потоку, переходит в слабую волну возмущения, наклон которой к направлению скорости набегающего потока определяется углом е,=а —, ео~н„~- ~а(~ (уз*„— 11. Гяоео десятая Из уравнения гиперболы (10.4.64) следует, что тангенс угла на клона образующей ударной волны в произвольной точке !и О, = г' = (1 + гг(Ь') гг Ья((га).

Переходя к пределу при г-е °, получаем !н О, = 1ир = Ыа = 1/ )т' М' — 1 . (!0.4.68 т-т Решая совместно (10.4.67) и (10.4.68) и определяя Ь = т(со )/ М вЂ” 1, а = Исо(М вЂ” 1), (10,4.69) получаем, таким образом, возможность рассчитывать радиус кривизны ударной волны по (10.4.66'). Начальный градиент и распределение скорости.

В соответствии с (10.4.67) градиент скорости в точке полного торможения (начальный градиент) —, — Г- —" т тт — ,"р . (104.70) ( в ".= = = — '„ Ђ ~с= Экспериментальная проверка показывает, что если в (10.4.70) принять (10.4. 71) т. е. исходить из выражения, соответствующего предположению о меньшем отклонении от концентричной формы ударной волны вблизи сферической поверхности носка, чем это следует из (10.4.60), то получаемые результаты для начального градиента скорости пригодны как для очень высоких, так и для небольших сверхзвуковых скоростей. Расчетная зависимость имеет вид 1 = (" ()!т) 1 (2р — рг) (1 зо) . (10 4.72) Величину з, можно выразить через относительный отход а,, если воспользоваться выражением оо оо Нсо оо оо согласно которому (10.4,73) 2 ! оо -г В этой формуле относительный отход го можно определять иэ 47 Конус в свврхавуковом потоке ркс, 10,4.10 Схема для определения давления по методу Ньютона в случае сверхзвукового обтекания эатупл снипа поверхности (10.4.63).

Зависимость (10.4.72) пригодна при условии применения выражения (10.4.73) для значений р( 0,4. Распределение скорости на сферической поверхности носка в окрестности точки полного торможения можно выразить в соответствии с (10.4.70) через начальный градиент скорости Х: Ъ'„= Лх. (10.4.74) Здесь х — длина дуги окружности, вычисляемая по известному центральному углу гр, как х =~р)с,. С учетом этого )г„= й~, р. (10.4.74') Экспериментальные исследования показывают, что зависимость (10.4.74'), соответствующую условиям обтекания малого участка сферы вблизи точки полного торможения при очень большой скорости набегающего потока, можно применять для расчета скорости на значительно большем участке криволинейной поверхности, а также при сравнительно небольших числах М .

Испытания в аэродинамических трубах при числах М =1,2 —: 4,9 подтверждают линейную зависимость (10А.74') скорости от угла гр = 0 до значений гр = 50' и позволяют установить, что имеется небольшое отклонение от этой зависимости в интервале 50'(гр< 90'. В практических расчетах с хоРошим приближением можно пользоваться формулой (10.4.74') для всех значений гр от 0 до 90'. ПРименение метода Ньютона для расчета обтекания затуплениого коническсго тела. Этот метод основан на корпускулярной теории Ньютона (называемой также теорией «ньютонова торможения»), ~огласно которой частицы газа испытывают возмущения только при Уд~ре о твердую стенку и полностью теряют нормальную к стенке ~оставляющую количества движения.

Если 1г„— нормальная составляющая вектора скорости набегающего потока, г(5 — элементар"ая площадка обтекаемой поверхности (рис. 10.4.10), то для рассмат- Глава десятая риваемой точки потеря количества движения за единицу времени р„У. (ӄ— 0)йЭ=р У~ йЭ. Величина импульса силы от избыточного давления (р — р )й5 за то же время в соответствии с теоремой об импульсе силы определяется потерей количества движения. Следовательно, в данной точке избыточное давление р — р =р У~ . Из рис.

10.4.10 видно, что У„= У созгр, поэтому р — р = р У созве. Разделив левую и правую части этого уравнения на скоростной напор р Ув (2, получим для коэффициента давления формулу Ньютона о= 2(р — р )/~р У ) =-2созвт. (10.4.75) Эта формула соответствует изложенной выше модели обтекания— модели Ньютона, при которой реализуется схема эластичного отражения частиц газа при их взаимодействии с поверхностью. Такая модель имеет недостаток: она не дает принципиально правильного ответа на вопрос о том, как ведут себя частицы газа после соударения.

В действительности их скорость после соударения не равна составляющей вектора скорости набегающего потока касательной к поверхности, а скорости этих частиц за местом соударения по этой модели вообще не определяются. Таким образом, практически модель Ньютона не рассматривает собственно процесса обтекания тела. От этого недостатка свободна модель Эйлера, предусматривающая изучение течения жидкости около поверхности, т.

е. определение в каждой ее точке скорости и других параметров, и, как результат, расчет взаимодействия жидкости с обтекаемым телом. Однако, учитывая простоту и удобство расчетов по теории Ньютона, возникает необходимость усовершенствовать ее, с тем чтобы улучшить получаемые результаты расчета аэродинамических параметров. Рассмотрим одно из таких усовершенствований.

Как видно из формулы (10.4.75), в точке полного торможения, для которой центральный угол ч~ = О, коэффициент давления р, = 2. Таким образом, (10.4.75) представим в виде р = р, созе ч. (10.4.75') Экспериментальные исследования показывают, что если в (10.4.75') вместо значения ре = 2, которого нет для реальных потоков, взять величину р, полученную либо опытным путем, либо точными теоретическими расчетами, то по формуле (10.4.75') получим результаты, весьма близкие к действительным на значительном участке сферической поверхности. Формулу (10.4.75') в отличие от(10.4.75) называют 49 Кокус в сверхзвуковом потоке модифиЦиРованной или УсовеРитенствованной фоРлтУлой Ньютона, согласно которой избыточное давление Р— Р, = (Рв — Р,) соз о, откуда отношение давления Р в некоторой точке к давлению Рв в точке полного торможения Р/Рв = соз'9+ (Р„/Р,) з(пз Р.

(10.4.76) Вблизи точки полного торможения течение можно рассматривать с известным приближением как несжимаемое и для его расчета при- менять уравнение Бернулли 'у'т/2+ р/р = р,/р (10.4.77) где р — плотность, полагаемая постоянной в небольшой окрестности точки полного торможения и равной плотности рь в этой точке. После подстановки (10.4.77) в (10.4.76) при условии, что р = рь, получаем Рв Р Рв ( ( Р— — — — — 1 — соз р+ —,з!пз Р Ро Ро Ро Ро Вычислим производную по х: Рв / Р, $'„— = 2 соз Р зйп 9 — —, 1 —— дх РО Р„ Переходя к пределу при тр-т- О, х — х 0 и учитывая, что (сов 9) о = 1,(з(п о) а = 9 = х//7„()у„/х)„ь = (й)у„/йх), о =7,, (Й~Р/йх)„ , = 1Я„ находим зависимость для начального градиента скорости: По (10.4.78) для определения начального градиента скорости необходимо знать давление ро и плотность ро в точке полного торможения.

В соответствии с линейным законом, выражаемым зависимостью (10.4.74'), распределение скорости можно представить соотношением "х = Р 1/ 2 (Рв — Р )/Рв ' (10.4.78') Наряду с этой формулой для расчета скорости можно применить соотношение, получаемое из уравнения (3.6.26) для давления в изэнтропическом течении. Положим в этом уравнении рв = р,', 1/ = 1' н величину /с равной значению /с, рассчитанному для точки полного 50 Глава десятая Ут Рнс. 10.4.11 Распределение скорости на затупленном конусе, распоп оженном в сверхзвуковом потоке: 1 — анслернментальнтя аряаая; » — скорость на заостренном конусе (теория! торможения с учетом влияния температуры Т,' и давления р' в этой точке.