Краснов Н.Ф. Аэродинамика (том 2) 1980, страница 11

По сравнению с соответствующим значением для острого конуса минимальная величина коэффициента сопротивления меньше примерно на 10вта. 58 Глава одиннадцатая % 11.1. Применение метода характеристик Летательный аппарат (например, ракета, снаряд) или некоторые его конструктивные элементы могут иметь форму заостренного тела вращения. Рассмотрим расчет сверхзвукового обтекания заостренного тела вращения, расположенного в потоке газа под нулевым углом атаки. Форма тела вращения (рис. 1!.1.1) задана уравнением образующей г =1(х). Известны также параметры набегающего потока (М, р, р, Т ).

Если толщина тела вращения такова, что тело вносит в обтекающий поток большие возмущения, то этот поток можно рассчитать по методу характеристик. Расчет обычно начинают с определения конического потока около острия, которое в малой окрестности носка можно заменить конусом (на рис. 11.1.1 его границей является точка К). В результате расчета на образующих ОР, ОА и других промежуточных конических поверхностей (включая образующие конуса ОК и скачка Оо) находят скорости, а также углы ю, р и 11. При этом углы 0 наклона образующих промежуточных конусов выбирают произвольно, но так, чтобы интервалы Л 0 были достаточно малы и обеспечивали заданную точность рассчитываемых параметров.

Расчеты целесообразно сопровождать графическим построением сетки характеристик, как показано на рис. !1.1.1. Сначала строим элемент КР характеристики первого семейства, проведя через точку К прямую под углом РК+ ()К (где ()к = йа) к оси конуса до пересечения в точке Р с соседней образующей промежуточной конической поверхности, имеющей угол бп. В результате графически определяем координаты хп, го точки (у. Большую точность получаем при аналитическом определении этих координат.

Для этого представим уравнение для элемента характеристики первого семейства 'к гп =("к ххп)1к(нк+)к) (11.1.1) и уравнение образующей гр — -х 1ййг. (11.1.2) Решая эти уравнения, находим неизвестные ври г' .. Аналогично вычисляем координаты остальных точек хара ктеристики К5 первого семейства, имеющей Заостренное тело вращения в сверхзвуковом потоке (бг/бх) рис. !1.1.1 Схема расчета сверхзвукового обтекания тела вращения по методу характернстнк: ! — образующая тула вращеняя; В у — хартктеристииа первого семейство 3 — характеристика второго семейства; 4 — прямолинейный скачок; Б — искривленный участок скачка внд ломаной линии, которая является границей конического потока. Причем координаты яд гз точки 5, лежащей на пересечении элемента характеристики первого семейства ЕЯ с образующей 03 конического скачка уплотнения, находим в результате совместного решения уравнений: г ° — г =(кн — кз) 13(рн+Зд); (11.

1.3) (11. 1. 4) гл — — кэ 1я Вл Получаемые указанным способом координаты точек характеристики КЯ соответствуют углам р н р, принимаемым постояппымн вдоль какгдого нз рассматриваемых элементов характеристики н равнымн значениям этих углов в начале элемента. Для получения более точных данных можно вести расчет координат по средним значениям углов р н р между крайними точками элемента характеристики. Тогда, в частности, вместо (11.1.!) запишем гк гп =(хк — Яп) 1Я[(НК+Рп+3к+)п)/2) (П 1' ) а внес~о (11.1.3)— г — г =(х — кэ) 1Я [(нд + рз + он+.'з)Р) В этих уравнениях хр гп н кз г — уточненные координаты точек 0 н 5.

После того как определим внд кривой характеристики КЯ, скорости, числа й1, Углы р н [) в тачках этой характеристики, дальнейшее решение задачи сведем к нахождению поля скоростей (чнсел й1) в области между этой характеристикой н образующей обтекаемого тела. Для этого применим соответствующие соотношения для характеристик в физической плоскости (плоскостн потока) н в плоскости годографа. Прн выборе соотношений для харагстернстнк з плоскости годографа необходимо учитывать, что в области потока, ограниченной прямолинейной обРазующей скачка уплотнения 05, характеристикой второго семейства 5(У (строяк!сбоя постепенно в ходе решения задачи) н образующей тела 0(у, течение езвпхревое (нзэнтропнческое). В соседней области, ограниченной той же характеристикой Я(1, участками криволинейного скачка БН н обр ау!ошей тела (Г)тг, течение в н х р е в о е (н е н з э н т р о и н ч ее к о е).

Лля отыскания поля скоростей на нзэнтропнческом участке течения проведен через каждую точку характеристики Кя элементы характеристики второго семей емейства. Одна нз ннх, проходпщая через точку О, пересечет стенку в точке В, 60 Глава одиннадцатая в которой и необходимо найти скорость. Координаты этой точки определяем из совместного решения уравнения для элемента характеристики второго семейства (1!.1.5) гв 'в=(хв хв) 12()в пв) и уравнения образующей тела (11.1.6) гв =7(".). Решая уравнения (11. 1.5) и (11. 1.6), находим координаты точки В (хв, гв).

Угол 5в наклона касательной к образующей в точке В, совпадающий вследствие безотрывного обтекания с углом наклона вектора скорости в этой точке, определяем из уравнения (11.1.7) (г(г)г!х) = 152 = [37(х)нх) в Чтобы найти скорость в точке В, воспользуемся уравнением (5.4.9). Это уравнение, приведенное в конечных разностях при у = г, е = ! (осеснмметричное течение), примет вид хв — хв 7гнв + алев шв 0 (!1.1.6) гр В этом уравнении приращение Ь!)в — ))в — 5р представляет собой разность углов наклона векторов скоростей в точках В и 77. При этом в соответствии с (11.1.7) Рв агс!Я Пбгулх)в) ° (11.1.7') Из (!1.1.8) находим, учитывая, что Ьмр — мв — мр, угол х — хв ~ — (3в — 30) + лгв, в (11.1.9) где в соответствии с (5.4.6) (!1.1.

!0) шв = з!и йр а(п Ггр / сох ( Рв — Рр), Угол нр входящий в (11. 1.9), находим из табл. 5.3.1 по значению числа Мв в точке г!. Вычислив мв по (!1.1.9), определяем при помощи той же табл. 5.3.! соответствующие величине ив значения числа Мв и угла рв = = агсз!п(1/Мв) в точке В. Затем по найденным числам М можно вычислить да вл е ни я. Определим сначала давление рК к точке К, которой соответствует число Мк.' 2 Дк = до (1+ 2 Мк) =до "(Мк) (11 1 !') где давление торможения за коническим скачком (!1.1.12) р,=до о определяем по давлению торможения ро (3.6 29) до скачка и значению функции чо, вычисляемому из (10.2.26) по углу скачка Оо и числу М .

61 3аостреииое тело вращения е сверхзвуковом потоке Давление в точке В 1 2 ! э/<э <) рв рз ~! + Мв) = Р (М ) . (11.1.13) функции п(мк ) и п(мв) в (11. 1. 1 1) и (11. 1. 13) определяем соответственно по значениям чисел Мк и Мв из таблиц, помещенных в [6). Коэффициенты давления: рк =2( Рк — Р )<(ЯМ Р ) и рв — — 2(Р— Р )/(йМ2 р ), (11.1,!4) Скорость, температуру и плотность определяем соответственно из соотношений: )К<В!/ <гмзх = [1 ( РК<В1<РЕ) [Ч: (!!.1. !5) 7гс <в1 / 75 = (1 + [(й 1)72) Мк <в>[ Рк <в1,'Рэ = (7к <в) /751'"' " хе.

(11.1.17) (1!.1.!6) где ро и 75 находим по параметрам набегающего потока соответственно по формулам (3.6.34) и (3.6.35), а максимальную скорость — в соответствии с (3.6.22): 2 )<<2 (11.1.!8) Рассчитав параметры в точке В, проводим через нееэлемент характеристики первого семейства до пересечения в точке С с прямолинейным участком характеристики второго семейства, выходящей из точки А (см. рис. 11.1.11).

Координаты точки С определяем из решения уравнений элементов АС и ВС характеристик. Уравнение элемента АС характеристики имеет вид гч — гс — — (кл — кс) !к(РА — РА ), (11.1.19) а уравнение элемента ВС г — г =(кв — кс) <и ( Зв+Рв) . (11.1.20) Решая совместно эти уравнения, находим координаты точки С(кс гс). Чтобы найти в этой точке углы йс и ис, надо воспользоваться уравнениями для характеристик (5.4.8) и (5.4.9). Представляя эти уравнения в конечных разностях и полагая а = 1, получаем: кс кв Лм — ЬР— ! =0; в в, в в (11.1.21) кя ~-л+йрл- ' (11.!.22) где в соответствии с (5.4.5) и (5.4.6) = 51пр 5<пи /соз( РВ + Рв)! (11.1.23) шя — — 5<и 3Л 5!п РА / соз ( Рв — РЛ).

Вместо четырех неизвестных Лов <<ыл, Л8в н Л[)л в уравнениях (11.1.21), (11.1.22) можно рассматривать в соответствии с (5.4.20) лишь две неизвестные величины: Ьмв и Л[)в (или был н Лйл). Глава одиннадцатая 62 С учетом соотношений (5.4.20) уравнение (11.1.20) преобразуется к виду «с — «д и в+ "в мд + т!)в + 3в "А глд — — О. (11.!.24) Решая это уравнение совместно с (11.1.21) относительно переменной 55В, получаем « — «д с Х вЂ” Х с в ~ в А в (~в А) ( в 'А) 'д гв (11.!.25) По найденному значению Ь()в находим из (11. 1.21) угловое приращение: «с — «в ~~~в ~ в+ )в "в (1!.1.2!') Абсолютные значения углов в точке С следующие: (!1.!.26) 'в =( гв+ гс )/2, гд=( гд+гс)/2, где (5в ( ~"в + Рс)/2' 1гв ( Рв+ Пс)/2' Эд =( 3А + Ггп)/21 рд — — ( Рд+ РС)/2.

Продолжая аналогичные расчеты, можно определить параметры во всех точках второго ряда, включая точку У, лежащую иа пересечении элементов РФ характеристики первого семейства н ЯФ характеристики второго семейства, проведенной из конца прямолинейного конического скачка уплотнения. Дальнейший расчет заключается в том, чтобы найти параметры в точке пересечения элемента характеристики первого семейства, проведенной через точку У, с продолжением скачка за точкой 3. Практически в целях получения лучшего приближения характеристику проводим не через точку Н, а через точку Р, расположенную между точками У и 5 (см. рис. 11.1. 1).

Координаты х„ г точки Р выбираем таким образом, чтобы элемент РН характеристики, примыкающий к скачку, был достаточно малым и мог рассматриваться в виде прямолинейного участка. Параметры в точке Р(м, М, р, 5) вычисляем по известным их значениям в точках Ю и У линейной интерполяцией. Например, нг — — щв +(юэг — Яв)(хг — хв)/(хм — хв), (11.!.29) гс 53в+ г "с ~"в+" ° По величине мс из табл. 5.3. 1 находим число Мс и угол возмущения р, = = агссдп(1/М ). По числу Мс при необходимости можно найти другие параметры, а именно: давление, плотность, температуру и скорость.

Вычисляемые таким образом параметры представляют собой первое приближение, так как вдоль элементов характеристик коэффициенты 1 и т, а также радиальные координаты принимаются постоянными и равными их соответствующим значениям в точках А и В. Эти параметры можно уточнить, если в уравнения (11. 121) и (!1. 122) поставить вместо 1в, т~, гв и гд величины, вычисленные как средние между заданными в точках А и В и полученными в точке С в первом приближении. Для этих средних величин имеем соотношения: 1В 5!п гв ип ПВ/соз ( 3В + рв), глд = 51п ~ЗА 51п 'гд/соз ( ~тд — 1зд); (1!.1.23') 63 3аостренное тело вращения а сверхзвуковом потоке Уравнение элемента РН характеристики первого семейства имеет вид г — гц =(» — кц)15(3 + р ).