Краснов Н.Ф. Аэродинамика (том 2) 1980, страница 12

(11.!.30) Решая это уравнение совместно с уравнением прямолинейной образующей скачка гц — кц150с определяем координаты кц гц' и находим тем самым в первом приближении положение точки Н на скачке уплотнения. Эти координаты должны быть уточнены, так как реальный скачок за точкой Я искривляется. Действительно, характеристики первого семейства (ЕЗ, РН и др.) являются по своей природе волнами разрежения. Встречая скачок уплотнения, эти волны уменьшают его интенсивность и, следовательно, наклон, в результате чего скачок искривляется. Течение за таким скачком уплотнения вихревое (неизэнтропическое), поэтому для определения скорости в точке Н необходимо использовать уравнение (5,4.41) для элемента РН характеристики первого семейства, учитывающее изменение энтропии за криволинейным скачком.

Полагая в этом уравнении У = ГР Е = 1 (ОСЕСИММЕтРИЧНОЕ ТЕЧЕНИЕ) И РЕШаЯ ЕГО ОтНОСИтЕЛЬНО ЛРР СО- вместно с (5.4.38), получаем зависимость (5.4.46), в которой принято е = 1 и РР— ГР .' где производная (бган)з находится по (5.4.39), а коэффициенты ! с вычисляются по соответствующим формулам (5.4.42). В формулу (!1.!.3!) входит величина ЬЯ, определяющая изменение энтропии при переходе от точки Н к точке Р.

При расчете в первом приближении предполагаем, что точка Н расположена на продолжении прямолинейной образующей скачка. Поэтому можно было бы принять изменение энтропии равным нулю, т. е. 65= О. Но это предположение снижает точность расчетов, так как в действительности точка Н располагается на искравленном участке скачка (Н'). Лучшие результаты получаются, если принять, что энтропия (или давление торможения) в точке Н не равна ее значению в точке Р.

Расчет в первом приближении давления торможения р в точке Н ведется следующим образом. Примем, что угол ()'ц отклонения потока за скачком уплотнения в точке Н равен углу наклона вектора скорости в точке Р. По значению угла В = () можно определить соответствующий угол скачка 0' ц. Для этого воспользуемся формулой (4.3.25), которую представим в виде М з(пе Всц й Всц (11.!.32) !а(0,'ц — '",') 1 — Ь-1-ВМэ з(пзб,'ц При заданных значениях ()'ц, М и 6 = (й — 1)!(й + 1) это трансцендентное сравнение решается относительно 0' путем последовательных приблиец жений. По значению В,ц можно опРеделить, использУЯ фоРмУлУ (!1.

!.12), давление торможения р в точке Н. Принимая, что в точке Р давление торможения р равно давлению торможения р з в точке я, рассчитанио- мУ по УглУ скачка О х пРи помощи фоРмУлы (4.3.22), можно найти отношение ( Роц Р )1.Ра =( Р Рзз)~ Р з ° Внося это отношение в (5.4.45), определяем градиент энтропии Ьо/бл, Глава одиннадцатая 64 входящий в формулу (11.1.31).

Определив по этой формуле значение 55,, находим, используя (5.4.41) при уя = г„и е = 1, приращение угла: х — хк кн — хи д.ч Лая = 5) + 1 — — с .. (И.1.33) г " йН Ьп г По 55 и Ьм„определяем для точки Н углы: рн Рн' йтя +3г аи 'и'=Ьмя+ мг ° (11 1 34) Из табл. 5.3.1 по углу ан, находим Ми, и рц,. По найденному значению , можно уточнить по формуле (11. 1 32) угол наклона скачка в точке Н и найти во втором приблиткении координаты хич„ги, новой точки Н'. Для этого составим уравнение для участка скачка за точкой 53 гн (хз кц ) (56 ц (11.1.35) и уравнение элемента характеристики первого семейства: Гà — Гн, — — ( Кя — Кн,) 15 ( (т .

+ 1т .), (т,'=(ря+рн)!2 рг=(ня+рн)/2. (11.1.36) где Решая совместно (11.1.35) и (11. 1.36), находим уточненные координаты хн,, гц,. При необходимости можно осуществить расчет параметров в точке Н'(он„Ми, и ()ц,) в третьем приближении. Полученные данные о параметрах в точках Н' и Ф позволяют рассчитать параметры в точке Х (см.

рис. 11. 1. 1). Этот расчет аналогичен решению первой задачи (см. $5.4), связанной с определением скорости в точке пересечения характеристик разных семейств, выходящих из двух близко расположенных точек. Координаты ка гг точки Х определяем в результате решения уравнений (5.4. 10) и (5.4. 12), приведенных соответственно для элементов НУ и Н' а' характеристик первого и второго семейств: ги — гг — — ( х, — х,) 15(3ц + ри); (11.1.37) гц. — г/ =( ки. — кг ) 1а ( рн. — нн.). Для вычисления параметров в точке Х, расположенной в вихревой области потока, необходимо применить соотношения для характеристик в плоскости годографа скорости, учитывающие изменения энтропии. Эти уравнения, выраженные в конечных разностях, имеют вид (5А. 11) и (5 4.

13). Уравнение (5 4.11), п иведенное для е = 1 и у = г с учетом обозначений, принятых для элемента г характеристики первого семейства, имеет следующии вид: (11.1.38) кг кн кг — кн Ла — ЬЗ вЂ” 1 + — с =О. (11.1.39) и 'и и и)> ' й и 'и х, — хц, хг — хи, а.с Ла ° + Ля ° — т, — — Г, = О, (11.1.40) и' н' н,)7 „и— и' Для элемента и'а характеристики второго семейства используем уравнение (5.4. 13): 65 заостренное тело вращения в сверхзвуковом потоке где Л'"и = "з — и, Л."л = Ь вЂ” )н; Л н = з — н, Лзн =Ь вЂ” Рн" (11.1.41) Для определения коэффициентов !и, си, ти„си, следует воспользоваться формулами (5.4.15), в которых параметры с индексами В и А заменяем соответственно параметрами с индексами У и Й'. Градиент энтропии ЛБ/Лп вычисляем с использованием соотношений (5.4.!6) или (5.4.18), в которых следует заменить индексы В и А соответственно на У и Н'.

При этом давления торможения Р'зи. для точки Н' и р'аи для точки У определяем по формуле (4.3.22) соответственно по значениям углов скачка 0сн, и Оси (О н, (Осз). Система уравнений (11.1.39), (11. 1.40) включает четыре неизвестные величины: Леи, Л5и, Ле „Л5и,. Число неизвестных можно сократитьдодвух, если учесть соотношения (5.4.20), по аналогии с которыми Л'"и =Л"л +ми еи' ' Лри =Лзи+ ри рн (11 1 42) Произведем соответствующую замену в (1!.1.40): хз — х л и+,у — "н +лчи+3и — рн —, тн— 'и' к, — ки, —,=О.

и'— (11.1.40') Решая это уравнение совместно с (1!. 1.39) относительно Л()и, находим 1 Г 1 ЛЯ Л3, — [(к, — хн,) ! ,.и — ~ ' „' н' х,— х, хт — к, +(к — хи) с ~)+ тн,— 1л,— (ми — еи)— гн гл (11.1.43) По найденному значению Л() вычисляем из (11. 1.39) угловое приращение: хг — к,у кз — к Л.ч Леи — — Л)и + 1,у — . — су г, Ь!7 Лп (!1.1.44) По Леи и Л() определяем абсолютные значения углов в точке 7: з=Л и+ и . 'Ь =Лзи+ри. Изтабл. 5.3.1 находим пое число Мз и угол возмущения рз Давление тоРм~женин Р'а! (энтропия Яз) в точке / находим интерполяцией по значениям Р зи' " Р аи в точках Н' и У.

Найденные параметры можно уточнить, если в уравнения (11. 1.39), (11. 1.40) вместо 1и тн„си сн, подставить величины, вычисленные по средним значениям углов () и р в соответствии с формулами (5.4.25). 3 — 708 Глава одиннадцатая Так последовательно, шаг за шагом, определяют координаты точек Н', г', ..., Л характеристики второго семейства, а также газодинамические параметры в этих точках. Йспользуя найденные параметры в точке (., можно определить скорость и другие параметры в точке Н, расположенной на поверхности обтекаемого тела.

Координаты точки Я определяем в уезультате решения уравнения для элемента ь)7 характеристики второго семеиства (11.!.45) г — г = (к — хн) !8(зс — и ) и уравнения образующей тела г = [(х ). Из решения этих уравнений получаем значения ка гл Точка Н расположена в вихревой области потока на пересечении элемента Е)7 характеристики второго семенства и образующей тела, поэтому для расчета скорости надо воспользоваться уравнением (5.4.27). Приняв в нем е = 1 и заменив у на г, а индекс Р на Е, представим уравнение к — к ха — х ЛЛ.ч Лм = — Лй + шь — — Гь, (11.

1. 46) гг йЯ Ьп где (11.!.47) лмь =ми — "'ь,' лрь=ри чь Коэффициенты ть и 1ь находим по формулам (5.4.28), в которых индекс 11 заменяем на Л. Градиент энтропии ЛВ!Лл определяем по одной из формул (5.4.29) при условии замены индексов Гг на В и В на Я. При этом давление торможения р'аи в точке н известно, и оно будет такое, как в точках К, В, ..., О, лежащих на одной линии тока, примыкающей к поверхности тела.

Величину р'аа вычисляем по формуле (4.3.22) и значению угла скачка б З Давление торможения р'аь в точке С определяем интерполяцией по значениям д'аг и Р'ао = р'оа соответственно в точках Т и б. Угол наклона касательной к поверхности тела в точке )с известен из уравнения образующей г = )(х) и равен [)и = агс!8[(балх)и) Поэтому известна разность Лз = [)а — р и по уравнению (1!.!.46) можно непосредственно вычислить угловое приращение Лм По этому приращению подсчитываем угол иа = Лыс + и определяем число Ия, давление и другие параметры в точке Я с учетом влияния вихревого характера течения.

Как показывают расчеты и экспериментальные исследования, существенное влияние вихревого характера движения за криволинейным скачком уплотнения наблюдается лишь при больших скоростях обтекания. Например, для параболической головки с удлинением Амид хмнд/(2гмнд) — 5 (длина головки в пять раз больше диаметра миделевого сечения 2г„и„) при значении параметра К, = М Й„„д = 1, которому соответствует число М = 5, волновое сопротивление согласно расчетам возрастает за счет вихревого влияния на 5% по сравнению с его величиной в потенциальном потоке. В то же время при К, = 4 (М = 20) оно увеличивается более чем на 25%.

Эффект возрастания сопротивления с физической точки зрения объясняется тем,что на образование вихрей необратимо затрачивается дополнительная часть кинетической энергии потока. На рис. 11.1.2 показано распределение давления, найденное по методу характеристик для двух тел с параболической головной 67 Заостренное тело вращения в сверхзвуковом потоке д/ б 'а 7,Ч ад Г,г Г,а Г/Г„м Рмс.11.1.3 Тело вращения с параболической образующей рмс. 11.1,2 Распределение давления около тел вращения с параболической головной частью; т — с учетом вихревого движения за скачкам; 7 — дяя лотенцнакьного движения за скачком частью, уравнение образующей которых г'=х (2 — х), (11.1. 48) где г =г/гми, х =х/хми (х„н — расстояние от носка до места миделевого сечения тела вращения радиусом г„н ).

Для тела вращения с такой образующей (рис. 11.1.3) тангенс угла наклона касательной в произвольной точке пг игмнк (1 .) 1 (1 х) хмвд ймнд а в точке заострения, для которой х = О, (11.1.49) (й8,= 1/Л„„„ (11. 1.50) где й ид — — х„д/(27 д) — удлинение головной части. На графике (рис. 11.1.2) показано распределение давления для значениЯ паРаметРа К„= М 1пно = М /Х„„д — 2. В слУчае вихРевого течения видно повышение давления по сравнению с потенциальным обтеканием.