Гиперзвуковые течения вязкого газа (Дорренс У.Х., 1966 - Гиперзвуковые течения вязкого газа), страница 54

Для замыкания ') См. Атпт)от апг) Маеоп, ор. ги. е) См, ранее цитированную книгу Гири>фельдера и др. 25« 380 Гл. !О. Коэффициенты переноса разреженных гаааеых с,иесеа системы уравнений классической механики необходимо определить вид потенциала межмолекулярных взаимо- действий. Мы определим этот потенциал ср(г) следую- щим образом: ер(г) = ~ гс(г)гег. Следовательно, функция Н<р ~(г) = — — ', ~ге (10.

27) — 1— — таз = о т (га+г'О')+ей. (10.29) представляет силу, действующую на частицу, находящуюся на расстоянии г от другой частицы, Мы предположим, что потенциал ф(г), а следовательно, и сила г" (г), является сферически симметричным. Случай полярных молекул, обладающих несферическим полем сил, хотя и рассматривался в некоторых работах, но еще не нахо.

дится в таком пригодном для использования состоянии, как случай неполярных молекул. Как только потенциал взаимодейстния частиц выбран, то законов классической механики достаточно для описания траекторий движения двух частиц, пока они находятся в поле взаимодействия. Бинарное столкновение может быть описано с помощью эквивалентной задачи о движении одного тела— частицы с приведенной массой т и начальной скоростью д в поле центральных снл, обладающем сферической симметрией, Уравнения для этой эквивалентной задачи о движении одного тела легко могут быть выведены из уравнений для задачи о движении двух тел простым переносом начала координат из центра масс двух сталкивающихся частиц с массами т, и т, в положение частицы с массой т; (или те).

Уравнения движения могут быть выведены из законов сохранения момента количества движения и энергии. Они имеют виа вайд = тгаО (10.28) 381 Ю4. Интегральг столкновений Уравнения (10.28) н (10.29) могут быть объединены и дадут — тд' = — тг' -1- — тйт — -1- гр, (10.30) где (10.32) из (10.30) г = — "' = + ф — (Ч вЂ” — "1'", (10.30) лг = (10.31) Ь вЂ” расстояние наибольшего приближения частицы 1 к частице ! при отсутствии потенциала (прицельное расстояние), и — скорость частицы ! относительно частицы !' при отсутствии поля межмолекулярных сил (или при г =со), а координаты движения изображены на рис.

10.1. На рис. !0.1 также показан характерный вид кривой по- тенциала взаимодействия частиц гр(г). Видно, что для больших г на частицу ! действует сила притяжения [ — йр/Й'=Р(г) <0), когда же г меньше г„на частицу ( действУет сила отталкиваннЯ ( — с(сРггс(г=Е(г))01 Ниже мы обсудим возможные формы представления функ- ции гр(г). При заданных Ь, д и ср(г) траектория частицы г от- носительно частицы ! полностью определяется уравне- нием (10.30).

Непосредственно видно, что величина г„м, расстояние наибольшего сближения, получается, когда в уравнении (10.30) г=О. Следовательно, 'Р (гана) = 2 гп8 [ 1 ( ) ~ и г,„ы легко определяется из уравнения (10.32) при ус- ловии, что ср(г) известно. Кроме того, как видно из рис. 10.1, угол отклоне- ния т определяется, как только определено Омы, соот« ветствующее величине О, при г=г ьн О ы определяется путем объединения уравнений (10.28) и (!0,30) следую- щим образом: из (!0.28) О= — = —,, (10.28) 382 Гж Ш Коэффициенты переноса разреженных гаэоеп1х смесей следовательно, (10.33) где знак минус взят потому, что г уменьшается, когда 0 увеличивается на входящей ветви траектории (г)~гамп) (рис.

10,1), Таким образом, из (10.33) т1п п1! п 0, 1,(О 1 йз,(г о сс 'ы1п 0.„= — Ь ~' дг гэ 11 — (Ь/г)е — (218(туе))1/г Так как из геометрических соображений )(+20 1п=н, то угол отклонения будет даваться формулой Х(Ь, д)=я — 2Ь ~, „,, (10.34) г' 11 — (/з/г ) е — (21 р(т кэ) ! 1/э См1П И КОГда Ч1(Г) ОнрвдЕЛЕНО, Гп1, ОПрЕдЕЛяЕтСя ПутЕМ рЕШЕ- ния уравнения (!0.32).

Уравнение (10.34) для угла отклонения )( может быть решено, как только будут заданы относительная начальная скорость д, параметр столкновения Ь, приведенная масса т и потенциал взаимодействия частиц ср(г). В теории Чепмена — Энскога переносные свойства выражаются через эти интегралы для углов отклонения. Соответствующие соотношения Чепмена — Энскога будут (118 Л=~ ~~ ) ~ о у"+ (Г('1(д)г(у, (10.33) где 1 и э появляются как показатели степени в соотношениях (10.37) и (10.35) соответственно, (10.36) Я (у)= 2п ~ (1 — созе)()Ьг(Ь (10.37) о 383 10.4, ИнтегралЫ столкновений и Х(д, Ь) определяется уравнением (10.34). Выражения для коэффициентов переноса через интегралы столкновений уже были даны в п. !0.2.

Интеграл 14ю(йс) называется эффективным сечением, а интеграл 118 и — интегралом столкновений. Видно, что эффективное сечение Рис. 10.1. Ланатение частицы г' относвтельио частицы 1 в поле сил взаимодействия частиц с потенциалом, изобраткенным в верхней час~и рисунка. включает в себя интегрирование по интервалу изменения параметров столкновения от Ь=О до Ь=оо для каждого значения относительной начальной скорости л и что интеграл столкновений включает в себя интегрирование по каждой относительной начальной скорости от й'=О до й= оо, Будет показано, что во многих интересных случаях приходится прибегать к численному интегрированию. 384 Лл. уц Коэффилненгы переноса раареженныл гиепеыл смесей В задачу настоящей книги не входит вывод соотношений (10.35) и (1037). Описание вывода этих соотношений с помощью теории Чепмена — Энскога можно найти в гл, 7 книги Гиршфельдера, Кертисса и Берла '), к которой и отсылаются интересующиеся читатели.

Наша цель в этой главе заключается в представлении тех частей кинетической теории неоднородных газов, которые необходимы для понимания и вычисления коэффициентов переноса, для понимания накладываемых на них ограничений и понимания того, как условия в гиперзвуковых и (или) реагирующих газовых потоках могут влиять на переносные свойства. 10.5. Физика межмолекулярных сил. В зависимости от структуры сталкивающихся частиц возможны несколько видов потенциалов межмолекулярных сил— функции гр(г).

Известно, что для электрически нейтральных молекул потенциал взаимодействия частиц обычно берется в том виде, который показан на рис. 10,1, т. е. на болыпих расстояниях действуют притягивающие силы, а на малых — отталкивающие. Притягивающие (дальнодействующие) силы обычно уменьшаются по величине, как г т с увеличением г, а отталкивающие (короткодействующие) силы обычно уменьшаются по величине, как гьп с увеличением г, где п много больше 7.

Дальнодействующие притягивающие силы относятся к силам, получающимся, когда за счет несимметричного распределения электронного облака относительно ядра каждой частицы образуются индуцированные диполи. Большая часть компонент дальнодействующих сил электростатического происхождения и их можно объяснить путем использования законов электростатикн и квантовой механики. Короткодействующие силы являются более сложными и могут быть описаны только с использованием квантовой теории. Некоторое представление о возможных составляющих дальнодействующих компонент потенциалов взаимодействия частиц может быть получено из '1 Си. Г и р ш ф с л ь д е р Лж., К е р т и с с Ч., Б е р д Р., Молекулярная теория газов и жидкостей, ИЛ, М., 196!.

10.5. Физика .иежиалекуллркыл сил 385 табл. 1О.1, где перечислены различные типы межмоле- кулярных снл. Табг)ица 10,1 Вклад некоторых возможных типов сил взаимодействия в зависимости от расстояния между частицами г. (Только для дальиодействуюпйих сил)') Зевпсн- месгь ет г тнп силы Описание 1/г 1/г' 1/).в 1/ге !/ге 1/г' 1/ге Индукционные Лисперсиоииые Лисперсиониые 1/г' 1/гв ') см. «нпгу спегерв 191е)ег 3. с., ьигпапсиеп )в сьемгсе) рьуе)се, р. 992-376, Ием тегй. 1939), тле прнвепнгсп превесхпхнпе еппсеппе снл взаимохей«гвн» чесгпп. При комнатной температуре большая часть молекул в рассматриваемых здесь газовых смесях будут электрически нейтральными. При более высоких температурах начнется ионизация, но мы ограничимся температурами ниже порога, при котором происходит заметная ионизация. Величина индукционных сил, когда они присутствуют, меньше величины основной дисперсиоиной силы индуцированный диполь — индуцированныйдиполь, которая меняется пропорционально гз и является основной дальнодействующей притягивающей силой, представляющей для нас здесь интерес.

Электростатические (кулоновы) Электростатические Электростатические Электростатические Электростатические Индукционные Заряд — зарпд (поп — иои) Заряд — диполь Заряд — пнллруполь — д о диполь — квадруполь Заряд — иидуцировпниый диполь Липоль — видуцированиый диполь Иидуцироваииый диполь— индуцироваиный диполь Иидуцироваииый диполь— нндуцироваииый квадру- поль 386 Гь !О. Коэ4фаииентьс неуеноса раэрвхсвнных газовых смесей При тех высоких температурах, которые рассматриваются в этой книге, будет происходить диссоциация молекул и в результате возникает значительная концентрация радикалов'). На больших расстояниях сила взаимодействия радикалов в основном состоит из дисперсионных компонент, которые, как мы видели, изменяются пропорционально г '.