Газодинанамика в одно- и двухфазных течений в реактивных двигателях, страница 7

3.2. Уравнение количества движения ,,'> Р~сЫ= с~~ тй~. (3.16) Получим уравнение для случая постоянной массы в системе струйки, т. е. при условии С= сопят, ЙО/0= 0. С этой целью рассмотрим изменение количества движения в системе струйки (см.рис. 3.1) за время Н~. Используя условия стационарности течения, аналогично предыдущему выводу уравнения неразрыв- Уравнение количества движения выражает второй закон механики Ньютона применительно к течению жидкости и является векторным уравнением. Теорема об измененпи количества движения (2-й закон Ньютона) формулируется так: "изменение количества движения системы равно импульсу суммы всех сил, действующих на систему", т.

е. ности достаточно рассмотреть изменения количества движения в объемах сб~ и ИУ . Так как уравнение (3.16) — векторное, рассмотрим его проекцию на ось ОХ. Она имеет вид (3.17) Тогда изменение количества движения в системе струйки в проекции на ось ОХ можно подсчитать как а,Г, „= ат — аш ы (3.18) С учетом постоянства массы в системе и выражения (3.8) из (3.18) получаем сЯ ~, т.ш = С сй ти „вЂ” С1 сКй и1 — — С (и — и~1„). (3.19) Подставляя (3.19) в (3.17) и сокращая на сй, окончательно получаем уравнение количества движения в проекции на ось ОХ: ~> Р„= С(~~ — ю ), (3.20) т.е. сумма всех сил, действующих на систему в проекции на ось ОХ, равна проекции на эту ось изменения секундного ко- личества движения.

Аналогично запишутся и проекции на дру- гие оси: ,), Р, = С(и, — ш1,) и „~ Р =С (и~, — юо1,). (3.21) Произведение массового расхода жидкости С (кг/с) на скорость потока и (м/с) в данном сечении, т. е. Сы (кгм/с ), называется секундным количеством движения жидкостпи в данном сечении. Уравнения (3.20), (3.21) показывают, что жидкость в системе струйки движется с ускорением только в том случае, если сумма всех сил, приложенных к системе струйки, отлична от нуля. Особенностью уравнения количества движения является возможность определения суммы всех сил, действующих на систе- му, на основе ее параметров на границах системы в сечениях 1 и 2.

3.3. Уравнение энергии Уравнение энергии выражает закон сохранения и превращения энергии при движении жидкости в системе элементарной струйки и является скалярным уравнением. 3.3.1. Уравнение энергии в тепловой форме. Рассмотрим изменение энергии в системе струйки за время Ю (рис. 3.1). Будем полагать, что масса системы не изменяется, система может обмениваться с окружающей средой энергией в форме тепла Щ и технической работой Н . Под технической ран тех ботой будем понимать работу турбины или компрессора. Энергия Щ в форме тепла считается положительной, если подводится к системе, и отрицательной, если отводится от системы. Техническая работа Ж'. считается положительной, если систех тема (напрпмер, в турбине) совершает ее над окружающей средой, и отрицательной, если окружающая среда совершает работу над системой (например, в компрессоре).

Обмен энергией и совершение работы происходит на участке между сечениями 1' и 2. Так как система струйки, вообще говоря, является неравновесной системой, то на участке 1'-2 могут иметь место неравновесные процессы и проявляться диссипативные эффекты, т. е. в результате действия вязкости (внутреннего трения) может совершаться работа трения НХ ТР ' которая затем реализуется в форме энергии тепла 09, вос- ГР принимаемой газом. Следует отметить, что часть работы трения может пойти на увеличение кинетической энергии сжимаемой жидкости, но остается в системе. Будем полагать, что элементарный объем струйки ИЪ'= РЖ обладает удельной (на единицу массы) внутренней энергией и, кинетической к"У2, потенциальной энергией давления рУр, потенциальной (гравитационной) энергией положения дз.

Здесь д, мыс — ускорение силы тяжести; з — вертикальная коорди- 2 ната положения объема. Тогда полная удельная энергия е элементарного объема будет равна 2 е = и + — + — + дз, Дж/кг, и р 2 (3.22) йЕ= и+ — + — +аз йт Дж„ и 2 у (3.23) Тогда изменение энергии в системе струйки за счет обмена энергией в форме тепла Щ технической работы сП; „и выделения в системе тепла трения Й~ запишется как тр г '01 Р1 — и1+ — + — + ~з1 дт1+ ~И. 2 (3.24) С учетом условия сохранения массы в системе, т.

е. Йт. = Йт = 4т, обозначая 1 ~н ~тр' ~3.25) получим ~~ 2 1)~ тр ' (3.26) Уравнение (3.26) является уравнением энергии в тепловой форме. Однако в гидрогазодинамике более употребительна форма уравнения энергии для удельных параметров. Введем удельные параметры: а полная энергия элементарного объема 2 2 Рг Щ +09 — ИХ. = = и + — + — +да дт н тр 'тех ~ 2 2 Р 2~ 2 2 г 2 1 Р2 И9 — дХ, = (и — и)+ — — — + тех 2 1 О = Щlдт, Джу'кг; = сХ /Ит, Дж/кг, О = ИЯ /дт Дж/кг; (3.28) (3.29) (3.3О) Тогда уравнение энергии примет вид 2 и?2 и?1 Р Р1 д — « =(и — и )+ — — — + — — — + тех 2 1 2 1 (3.31) + д'(я — з. ) + «тр, Дж/кг или с учетом д = « 2 2 и?2 и?1 «?~ Р1 тех (И2 ~1) е ( 2 1) 2 1 Используя выражение для энтальпии (2.65) 1= и+рУр, окончательно получаем и; и? Чя — «тех — (?2 — ?-1) + 2 — — + ф' (э2 — з1), Дж/кг.

(3.32) 2 1 Левая часть уравнения характеризует энергетическое взаимодействие системы струйки с окружак?щей средой, правая часть — изменение энергии в системе (разница энергий на выходе из системы и входе в систему). Дифференциапьное уравнение энергии в тепловой форме для удельных параметров можно получить, например из (3.31), если неограниченно сблизить сечения 1 и Я. Тогда йу — сИте = Йи + И вЂ” + И + аз+ сЦ (3.33) Прибпижение дпя течения газа.

Для газовых течений можно пренебрегать энергий положения дг и использовать уравнение энергии в виде 2 2 и2 и1 ~н 'тех ( 2 1) 3.3.2. Уравнение энергии в механической форме. Обобщенное уравнение Бернулли. Общее количество тепла д (Дж/кг), 51 подводимое к неподвижному газу или газу, движущемуся в системе координат, связанной с системой струйки, определяет- ся первым законом т,ермодинамики: (3.35) (3.36) ~~ = 1/р; рсЬ вЂ” работа деформации газа. Перепишем выражение (3.33) в виде Йу — сйи +рсЬ~+ ийр+ с~ (и I2) + дсЬ+ сУ + сУ (3.37) и вычтем из него (3.35) в виде дд = Ни+ рй~.

В результате получим уравнение (3.38) которое называется дифференчиапьным уравнением энергии в механической форме, ияи обобщеннъим уравнением Бернуял,и. Особенностью полученного уравнения является, во-первых, то, что оно явно не содержит энергии в форме тепла, а во-вторых, для получения интегральной формы этого уравнения необ- ходимо знать связь р и ч или р и р, т. е. знать уравнение проиесса изменения состпояния. Значение интеграла (3.39) дм + р,'р+ ц)~~У2 = дг + р /р + и>~/2 + 1 „+ 1~~, Дж/кг.

(3.40) 52 зависит от процесса изменения состояния системы между состояниями 1 и Л. Однако для несжимаемой жидкости (р = сопзС, (2.58)) уравнение (3.38) легко интегрируется и обычно записывается в виде 3,4. Уравнение качества процесса Три закона сохранения и определяющее уравнение дают нам четыре уравнения для определения как минимум пяти параметров струйки р, р, У, ы, Р. Поэтому для получения замкнутой системы необходимо иметь еще одно уравнение, и таким уравнением может быть уравнение качества процесса. Уравпение качестпва процесса определяет альтернативу между обратимым и необратимым процессом Наиболее просто этот вопрос решается для энергетически изолированной системы. Как было показано в разд. 2.11, необратимость процесса можно характеризовать потерей работоспособности, или эксергпи, с помощью закона Гюи-Стодолы (2.91): юпах а усповие пеобрат,имоспии — в виде П > О или 2 — 1 з — з = ~ > О, где ~ — некоторая функция, которая учиты- 2 1 дис дис вает диссипацию энергии вследствие внутреннего трения И позволяет подсчитать рост энтропии в процессе.

В общем случае альтернатива уравнения качества может быть записана следующим образом: для обратимых процессов аз =О, (3.41) для необратимых процессов (3.42) По второму закону термодинамики [41, по первому закону термодинамики (3.35) сЬу = аи+ рдч Интегрирование (3.43) и (3.35) позволяет получить следующие формулы, связывающие изменение энтропии в процессе изменения состояния совершенного газа: 53 Т. е.

для энергетически изолированного течения условие обтпах ранимости процесса можно записать как И = О или 8 = в, Т~ "г Рв "г з — з =С 1п — +В1п — =С 1п — +С 1п — = Т 1 Р 1 1 1 Т2 рг = С, 1п — — В 1п— Р~ (3.44) Условия (3.41) или (3.42), будучи подставлены в (3.44), дадут необходимое дополнительное соотношение между параметрами состояния и позволят замкнуть систему уравнений для модели струйки. Следует отметить, что вопрос о дополнительном уравнении решается достаточно просто только для обратимых процессов, и то только в изолированной системе. Это связано с определенными отрицательными свойствами энтропии [16~. В первую очередь„это неотличимость роста энтропии при подводе энергии в форме тепла от ее роста вследствие необратимости процесса и подводе тепла за счет работы внутреннего трения.