Газодинанамика в одно- и двухфазных течений в реактивных двигателях (562026), страница 4
Текст из файла (страница 4)
сированной плоскости, например ХОУ, причем во всех плоскос- тях, параллельных этой плоскости, течение одинаково. Пара- метры жидкости не изменяются вдоль оси ОЯ: аи ди ди и = и (х, у) — = и — + о —; дх ду (2.38) сЬ д0 до о = о (х, у) — = и — + о — . дх ду Одномерное стационарное течение — это течение, которое зависит только от одной пространственной координаты х: ~Ъ и = и(х) — = и — . дй ах ~2.39) ди до до ди~ ди ди~ ду дх ' дг ду ' дз дх (2.40) Бсли движение жидкости задано в переменных Лагранжа, геометрическое представление потока дается траекториями.
Траектория — геометрическое место положений одной и той же частицы. В переменных Эйлера для геометрической интерпретации потока используются линии тока. Линия тока — это линия, в каждой точке которой в данное мгновение вектор скорости совпадает с касательной к этой линии. Совпадение линий тока и траекторий имеет место только в случае установившегося течения. 2.5.3. Элементарная струйка. Выберем в жидкости замкнутый контур Г (рис.
2.5). Через все точки контура проведем линии тока. Поверхность, образованная линиями тока, проходящими через все точки замкнутого контура, называется трубкой тока, а жидкость, движущаяся внутри трубки тока, струйкой. Уменьшая поперечное сечение струйки, можно добиться того, что параметры будут изменяться только вдоль оси Потенциальное течение соответствует отсутствию вращения жидких частиц вокруг собственных осей. Такое движение называется еще безвихревъсм, и математически ему соответствует условие а„= о = а) = О или с учетом (2.29) Рис.
3.5. Трубка тока ди 1 дно ди — — +— дх дз 1 ди де +— ду дз дй~ дз ди дх ди ди ~ху ~хх 1 у уы ~гу 2 (2.41) '~ДХ '6х ду 1 д д — — +— 2 дз ду дх ду ди ди + д или в более короткой записи струйки и не будут изменяться поперек струйки. Такая струйка называется элементарной [91. 2.5.4. Теорема Коши-Гельмгольца. Виды движения жидкой част ииы определяются теоремой Коши-Гельмгольца Д. Скорость и движения любой точки жидкой частицы в данное мгновение можно рассматривать как результат сложения векторов простых движений: поступательноео движения частицы как твердого тела вдоль некоторой траектории; вращательного движения относительно собственных осей, проходящих через частицу; деформационноза движения, изменяющего форму и размеры частицы (деформация сдвига и объемная деформаций).
Ясли два первых вида движения определяют движение твердого тела, то третий вид (деформационное движение) характерен только для жидкости. Деформационное движение определяется девятью компонентами: тремя скоростями линейной деформации (2.10) — (2.12) и шестью скоростями сдвиговой деформации (2.28). Они образуют тензор скоростей деформации, который обычно записывают в виде з ди~,. ди~ Х Ху ~=1 где ~ = 1, 2, 3; у = 1, 2, 3 хт = ~ ~2 у хз — з и'1 — и иг — " юз=ю.
2.6. Вязкость 2.6.1. Закон Ньютона о трении в жидкости. Вязкостью называется свойство всех реальных жидкостей оказывать сопротивление сдвигу, т. е. движению одного слоя жидкости относительно другого. Сила сопротивления относительному сдвигу может быть определена по закону Ньютона о трении в жидкостях. Этот закон был установлен Ньютоном экспериментально (1687), а затем получен на основании кинетической теории газов ~61. Формула за.кона Ньютона имеет вид ИУ Т =~А д~ (2.42) р зависит от природы жидкости, ее температуры и практически не зависит от давления. На практике используется также коэффициент кинематической вязкости ч: — м /с. Р 2 Р (2.43) где т = —, Н/м — напряжение трения, или касательное на- Р 2 пряжение; Р, Н вЂ” сила трения; Г, м — площадь, на которую 2 действует сила Р; ~, Н сУм — коэффициент динамической вязкости, или вязкость жидкости — сила, действующая на 1 м2 поверхности слоев жидкости при градиенте скорости ди ди — = 1; —, 1/с, — поперечный градиент скорости; характеризуду ду ет скорость деформации сдвига (см.
(2.24)). Величина р является физической характеристикой каждой жидкости. Чем больше р, тем больше вязкость. КоэфФициент На рис. 2.6 показаны графики зависимости коэффициентов динамической вязкости различных жидкостей и газов от температуры. Вязкость жидкостей уменьшается, а вязкость газов увеличивается с увеличением температуры. Разница в поведении жидкостей и газов объясняется различием в механизмах молекулярного трения ~2). И.1оэ И-с4иэ 10э с/иэ 10 о,оза 8 о Ъ $ б ~с 4 а.огб оюо 4 0,010 о,ооб 1С О 40 бо Рис.
2.6. Зависимость вязкости от температуры: 1 — масло; 2 — воздух; 3 — керосин„. 4 — водород; 5 — вода Трение в капельных жидкостях реализуется в преодолении сил взаимодействия между молекулами смещающихся слоев. С увеличением температуры у капельных жидкостей увеличивается частота колебаний молекул, и силы взаимодействия между ними уменьшаются, при этом уменьшается и вязкость. Трение в газах обусловлено переносом направленного количества движения молекул при тепловом хаотическом движении. С ростом температуры скорость молекул увеличивается, растет перенос количества движения и вязкость газа.
В частности, на основе кинетической теории газов ~б] получено следующее выражение для коэффициента вязкости газов: р=0 4991 . и~ .р, (2.44) где 1 — длина свободного пробега молекул; и> — скорость теплового движения молекул. Для практических расчетов зависимости вязкости от температуры пользуются следующей эмпирической формулой: у л Р.=Но у о т (2.45) ои 2.6.2, Гипотеза прилипания Прандтля.
При — =О, т. е. при оу равномерном поле скоростей, трение в жидкости не проявляется и напряжение трения равно нулю. Немецкий ученый Л. Прандтль ~101 установил, что при взаимодействии жидкости с поверхностью обтекаемого тела всегда нарушается равномерность поля скоростей и возникает градиент скорости, отличный аи от нуля — ~ 0 . Этот факт был сформулирован в виде чежверду той гипотезы: При обтекании жидкостью тел молекулы жидкости, непосредственно прилегающие к поверхности, всегда движутся со скоростью этой поверхности, т. е. как бы прилипают к ней. Эта гипотеза хорошо подтверждается на практике, а факт прилипания объясняется действием сил притяжения между молекулами жидкости и твердого тела.
Гипотеза прилипания объясняет возникновение на поверхности обтекаемых жидкостью тел очень тонкой области с градиентом скорости, отличным от нуля. Эта область называется пограничным слоем. В пограничном слое проявляется действие вязких напряжений, совершается работа трения и происходит диссипация энергии. 2.6.3. Невязкая, или идеальная жидкость. В ряде случаев касательные напряжения существенно меньше нормальных или где У, = 273 К; Р.
— значение коэффициента при Т, и р„= 105 Па. Показатель и слабо зависит от температуры и для воздуха составляет и = 0,76. не проявляюгся совсем (отсутствуют деформации сдвига). Жид- кость или газ, не обладающие вязкостью, будем называть соот- ветственно невязкой жидкостью или невязким газом, условно полагая (2.46) В гидрогазодинамике невязкая жидкость или газ носят название идеальной жидкости, или газа. 2.7.
Напряженное состояние жидкой частицы. Гидростатическое давление ху хг Ду Дл 8д гг (2.47) ух $=х»д г»~=х»д»з. Девять скалярных величин„определяющих напряженное состояние жидкой частицы, составляют тензор напряжений. Из условия равновесия параллелепипеда (равенство моментов сил относительно произвольной оси) следует равенство касательных напряжений с одинаковыми индексами, т. е. (2.48) ху цх хг ях» у/г 2$ При отсутствии трения в невязкой жидкости касательные напряжения обращаются в нуль: 2.7,1. Напряжения и давление. Пусть жидкая частица имеет форму параллелепипеда (см.
рис. 2.2,а). На грани параллелепипеда действуют нормальные и касательные напряжения. Для их обозначения используются, как правило, два индекса. Первый индекс обозначает ось» перпендикулярную грани, в которой действует напряжение; второй индекс — ось» на которую проецируется напряжение. На рис. 2.2,6 показаны нормальные напряжения а и о и касательные 'с и т . Для ЯЯ хх ях хг нормальных напряжений иногда используется один индекс, т. е.
а = а . Всего на гранях жидкой частицы действует дехх х вять напряжений„которые можно записать в виде матрицы: (2.49) В этом случае напряжения не зависят от ориентации площадки, а напряжение, взятое с обратным знаком„называют гидростатическим или статическим давлением: (2.50) хх уу гг Для задач, рассматриваемых в курсе, предполагается, что нормальное напряжение слабо зависит от скорости объемной деформации е = Жч и~, что соответствует гипотезе Стокса (1845) о равенстве нулю так называемой объемной вязкости р' 17~.
Поэтому общее выражение для тензора напряжений можно записать как ~1Ц о, = — р~,. +о',, ~=х,у,г; у=х,у,а, (2.51) где 5, — символ Кронекера: при ~ = у б,. - = 1; при 1 ~ у Э В, ~ о, =О, а', . — напряжения, зависящие от вязкости. уэ У У 2.7.2. Связь между напряжениями и деформациями. Связь между напряжениями и деформационным состоянием движущейся жидкости устанавливается феноменологически, а именно постулируется обобщенным законом Ньютона. В основе этого закона лежат следующие основные допущения 113]. 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
