Газодинанамика в одно- и двухфазных течений в реактивных двигателях (562026), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Действие окружающей среды 2 на площадку ЛЕ системы 1 --Ъ представляется равнодействующей поверхностных сил ЬР, Ори~г ентация площадки ЛГ определяется единичным вектором внеш— + ней нормали и, в общем случае нс совпадающим с направлением вектора ЬФ~,. Поэтому рассматривают нормальную составляющую ЬР, поверхностной силы ЬФ~.
и тангенцнальную ЬР„,. 14 Нормальная составляющая ЬР~, действует по нормали к поверхности ЛР противоположно и. Гангенциальная составляющая ЬР действует по касательной к поверхности ЛР и представляет собой силу трения. Напряжение поверхностной сипы в точке А(х, у, з) есть предел отношения соответствующей силы к площадке Л7 при стягивании ее в точку. Различают следующие напряжения. Напряжение равнодействующей поверхностной сил Рис.
2.1. Поверхностные силы ЬР„. У = 11п1 —, Н/м . ЛГ (2.5) Напряжение нормальной поверхностной силы, или нормапьн,ое напряжение, Н/м2. (2.6) Знак "—" показывает, что за положительное принято рагтя- вливающее напряжение. Напряжение трения, или касательное напряжение, (2.7) 2.4. Деформация и вращение жидкой частицы Причиной деформации;кидкой частицы являются напряжения. Нормальные и касательные няпряжения вызывают деформации различного вида. Различают деформацию объема, или объемную деформацию, и деформацию формы, или сдвиговую деформа иию. При объемной деформации изменяется только объем, а форма частицы сохраняется. Например, если частица имела форму шара, то после объемной деформации, например, сжатия, она останется шаром, но меньшего диаметра.
При сдвиговой деформации изменяется только форма частицы, но объем ее сохраняется. 2.4.1. Объемная деформация. Рассмотрим объемную деформацию на примере жидкой частицы, имеющей форму параллелепипеда (рис. 2.2), ребра которого равны соответственно дх, ау, аг. На рис. 2.2,а показана гидрогазодинамическая система в форме параллелепипеда, на рис. 2.2,6 показаны напряжения, действующие на выделенную систему. Рнс. 2.2.
Жидкал частица Объем частицы дК= дхдудг. Обозначим деформацию объема жидкой частицы как Я~. Мерой объемной деформации за единицу времени является скорость деформации. Поэтому нас будет интересовать скорость относительной объемной деформа- ции Я' где — — относительная объемная деформация; Ж вЂ” интервал времени, за который объем изменился на Я~. Решая задачу поэтапно, рассмотрим деформацию грани жидкой частицы (параллелепипеда) в плоскости ХОУ. На рис. 2.3,а показаны две проекции параллелепипеда на плоскость ХОУ: АЗС — до деформации и АВ'С'В' — после деформации.
Деформация произошла в результате действия нормальных напряжений. На рис. 2 З,б показаны проекции скорости на оси координат У(У) и Х(У), действующие в различных точках системы. ! Р' Рис. 2.3. К вычислению скоростей относительных сдвиговых и объемных деформаций жидкой частицы ВВ' — =Е ИХ Ий (2.9) скорость относительной Определим величину частицы в точке А. на ди и + —. Тогда ВВ' = и + д~ линейной деформации вдоль оси ОХ. е. Пусть проекция скорости жидкой ось ОХ равна и, а в точке В равна ди — — ~Й и д~ Величина ВВ' представляет линейную деформацию вдоль ВВ' ВВ' оси ОХ. Величина — = — — отпноситеяьная линейная де- АВ аХ формация, а величина (2.10) Аналогично скорость относительной линейной деформации .'дол~. оси ОУ онределяется как (2.11) (2.12) где ' и г — -..оатветственно щюекции вектора скорости жид- кой частицы 6' на оси ОУ и ОЯ.
Величина Ш)' дусь = й"„ (2.13) дает изменение объема частицы за счет линейной деформации вдаль ос ~ ОХ. г с учеточ (2.Щ у~:ф ди оР„=- — сЬ, Иу сЬ Ит =- — сй" сЮ. дх дх (2.14) Атылоги .~о деформация З" объема вдоль оси ОУ У ди Бт у~ р 1~ -, ''У (2.15) и деформация О» объема вдоль оси (М бУ =.=, сЛ~ сй. ди) д" (2.16) Тогда деформация объема ОГ жидкой частицы бу.~е, равна ~ди дв Зи~; Я~ = Б~ + О~, + ЬУ' = 1 — + — -': — ~ (Л' ис.. ~ дх ду дз~ (2 17ъ ди и+ — Нх — и 1 Л1У ! )х д~ и+ оу — ь1 ВВ' ду Е ди Е 2 д ди ~Й =— дх дю Й= —; ду Из (2Я) и (2.17) окончательно получаем выражение для скорости относительной объемной деформации жидкой частицы ди Зо дно Е=Е +Е, +Е = — + — + —,=01ч И.
дх Г)Ц д2 (2.18) Условие неизменности объема жидкой частицы пли отсутствия объемной деформации записывается как дг~ Ф= О. (2.19) 2.4.2. Деформация сдвига. Деформация сдвига возникает при действии тангенц~альных или касательных напряжений т,. Действуя поэтапно, рассмотрим деформацию сдвига жидкой частицы, показанной на рис.
2.4, в плоскости ХОУ. На рис. 2.4,а показаны совмещенные в точке А две проекции:кидкой частицы: до (АЛСВ) и после деформации (АВ"С".О"). В результате действия касательных напряжений ребра сечения (например, АВ н АО) поворачиваются за время й;. в плоскости ХОУ, перпендикулярной оси ОЯ, на некоторые углы а и р соответственно.
На рис. 2.4,б показаны проекции скорости на оси координат Ъ'(У) и У(Х), действующие в различных точках системы. В силу малости о*в а = $д и и Р: — 1р ~3. г~~ ~у Ю йу В" Рис. 2.4, К вычислению скоростей относительных сдвиговых деформаций жидкой частицы ВВ" Фд а а ду «й «Й Ий (2.20) Общая скорость д или д„, относительной деформации сдвига или скорость изменения угла ВА0 а+Р = Д (2 2Ц Индекс з означает ось, относительно которой происходит поворот ребер, ху — плоскость в которой осуществляется вращение.
Очевидно, величина ВВ будет определяться разностью проекций скорости на ось ОХ в точках А и В, умноженной на время (рис. 2.4), то есть ди ВВ" = — ~у ~~. ду (2.22) Аналогично ди Х?Б" = — Их «й. дх (2.23) Тогда ди дю Я' =Д = + г ху Используя для двух других плоскостей аналогичные рассуждения, получим до ди« Д =Д = + х ««г (2.25) ди ди Ч =Ч = + ° дг дх (2.26) 20 Мерой деформации сдвига за единицу времени является ско- рость изменения прямого угла. Позтому нас интересуют ско- рости относительных деформаций сдвига, которые определя- ются как Следует заметить, что касательные напряжения вызывают не только сдвиговые деформации, но и вращение жидкой частицы.
Выделим из выражений (2.25) — (2.27) деформацию чистого сдвига и вращение. Деформация чистого сдвига соответствует условию неподвижности при деформации диагонали элемента частицы, например, диагональ АС на рис. 2.4,а. Это имеет место, когда ребра вращаются с одинаковой скоростью в противоположные стороны, а биссектриса угла ВАЛ не вращается. Средняя скорость деформации определяется полуразностью частот вращения ребер, а так как они вращаются в разные стороны, то скорости суммируются. Таким образом, скорости относительной деформации чистого сдвига относительно каждой оси имеют вид 1 ди) до (2.27) 1 ди ди~ (2.28) 1 до ди 7=7 = + г хУ 2 дх дУ (2-29) и представляют собой компоненты вектора деформации чистого сдвига Т = 1 ~'~ + 1 уу + и 'уг— ф; — ~; — ~ -Ф (2.30) 2.4 3.
Вращение. Чистое вращение жидкой частицы как твердого тела будет соответствовать вращению ребер (АВ и АВ на рис. 2.4,а) в одну сторону, так что угол между ребрами (ВАО) не изменяется. При этом биссектриса угла АС будет поворачиваться. Из простых геометрических соображений следует, что скорость вращения биссектрисы равна полуразности скоростей вращения ребер. Тогда угловые скорости вращения жидкой частицы относительно осей координат 1 ди до 1 ди ди~ 1 до ди О) = — — — — И = — — — — 03 = — — — — (2 31) 2 ду дг У 2 дг дх ' ' 2 д~ ду представляют собой компоненты вектора угловой скорости вра- щения частицы относительно собственных осей: 21 (2.32) 2.5. Движение жидкости 2.5.1. Методы Лагранжа и Эйлера изучения движения жидкости.
Движение жидкости характеризуется прежде всего скоростью. Под скоростью жидкости в данной точке понимается скорость движения центра массы жидкой частицы, проходящей в данный момент через заданную точку пространства [21. Движение твердого тела может быть определено, если в любой момент времени известны векторы скорости его точек, не лежащих на одной прямой. Движение жидкости определяется при задании в любой момент времени вектора скорости всех ее частиц в рассматриваемой системе, т. е.
пространственно-временного поля скоростей. Этим занимается раздел кинематики жидкости ~7]. Для математического описания движения жидкости используется метод Лагранжа или метод Эйлера. В методе Лахранжа изучается движение каждой отдельной частицы, которая помечается ее координатами (х,, у, з,) в начальный момент време- ни 1о, а движение жидкости задается параметрическими урав- нениями траекторий всех частиц жидкости х = х (хо уо» зо» Й)» у = у (хо» уо» зо» 1)» (2.33) ~ (хо* уо ~о При этом скорости частиц (их проекции на координатные «М~ Ж оси) определяются как и = —, «~ = —, и = —, а х, у, з— ,ц ' <р ' ~р о о* о как переменные Лагранжа. В методе Эйлера изучается движение„происходящее во времени в точках х, у, з системы.
Поэтому задается все поле скоростей в движущейся жидкости как функция координат и вре- мени: и = и (х, у„з, й), и = «,«(х, у, з, й), ««« = и (х, у, з, й). (2.34) Для нахождения скорости необходимо только задать координаты точки, т. е. положить х = и, у = Ь, я = с. При этом х, у, з, й — переменные Эйлера. Для нахождения траекторий частиц необходимо проинтегрировать систему уравнений (2.34) и исключить из нее время ~. Составляющие попя ускорений находятся прямым дифференцированием (2.34) по времени. В результате получаем: Ии ди ди ди ди — = — +и — +г — +и —; д1 дх ду дз ау ду дю д0 ду — = — +и — +ю — +и —; д~ дх ду дз (2.35) сто ди дю дв ди — = — +и — +и — +и —.
ди дх ду дз и = и (х, у, з), о = о (х, у, з), и~ = и (х, у, з). (2.36) а локальные составляющие ускорения равны нулю, т. е. д и ди ди> — = — = — = О. д~ д~ дФ (2.37) Стпаиионарное плоское ~двумерное) течение — это течение, в котором частицы движутся параллельно некоторой фик- ди до ди Величины —, —, — являются компонентами месшной, сМ ' й ' дй ипи покапьной, составляющей ускорения, а величины, характеризующие изменение скорости в пространстве в данный момент времени (остальные члены), называются конвектпивными составляющими. В целом ряде случаев для анализа движения жидкостей успешно используются модели частных случаев течения, таких как установившееся, одномерное, двумерное, потенциальное.
2.5.2. Установившееся течение. Установившееся, ипи сшаиионарное, течение — это течение, в котором параметры жидкости в каждой точке поля не изменяются во времени. В этом случае время исключается из числа независимых переменных, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
