Газодинанамика в одно- и двухфазных течений в реактивных двигателях (562026), страница 6
Текст из файла (страница 6)
В соответствии со вторым законом термодинамики энтропия в изолированной системе не изменяется в случае обратимого процесса и возрастает в необратимом процессе. Тогда потери эксергии (работоспособности) от необратимости можно записать как '7 ~ ~-1 =То('а (2.91) 2.12. Распространение слабых возмущений. Скорость звука. Число Маха. Граничные условия по давлению Изменение давления в сплошной среде (возмущение) распространяется в виде волны с некоторой скоростью.
Рассмотрим формула (2.91) выражает закон Гюи-Стодолы Я для потери эксергии, или работоспособности. Эти потери характеризуют диссипацию энергии, т. е. показывают, какая доля энергии, которая в целом сохраняется, теряет способность к совершению работы. Следует отметить, что эта потеря работоспособности системы соответствует только данным конкретным граничным условиям для системы, задаваемым параметрами окружающей среды. слабые возмущения, соответст- 5~7 вующие условию — << 1, где ор Р— возмущение давления.
Подобные возмущения соответствуют акустическому приближению, поэтому скорость распространения таких волн называется ско- ростью звука. Рассмотрим движение плоской звуковой волны в трубе постоянного сечения (рис. 2.7). Пусть в момент ~ = ~ звуковая волна занимает сечение 1-1. За время д~ фронт волны переместится в положение 8-2 на расстояние г1х. Очевидно, скорость распространения будет Рис.
2.7. Распространение слабых возмущений в канале возмущений д~ а. = —. сй (2.92) (2.93) Отсюда с учетом (2.92) (2.94) Рассмотрим объем 1-1 — 2-2, ограниченный стенками канала и положением фронта волны в два момента времени 1 и 1+ дй. Под действием перепада давления др = р — р внутрь этого объема втекает жидкость со скоростью дв. В сечении 2-2 движение пока отсутствует„так как возмущение не распространилось на это сечение Тогда изменение количества движения в рассматриваемом объеме равно тпйш, где т = рГс~х — масса; р — плотность; Р— площадь сечения.
В соответствии со вторым законом Ньютона изменение количества движения равно импульсу силы, которая создается благодаря разности давления др, т. е. Втекание жидкости в объем увеличивает ее плотность на ве- личину Ит. рГ йе сй ь р ь (2.95) Подставляя из (2.95) выражение для йо в (2.94), получаем В соответствии с гипотезой Лапласа процесс распространения слабого возмущения можно считать изоэнтропийным, т.
е. удовлетворяющим уравнению изоэнтропы р/р = сопвС. й (2.97) Используя (2.97), получаем, что Ир = Йр сопИ др = Йр/р - с1р. (2.98) Для газа, подчиняющегося уравнению (2.63) состояния совершенного газа (р = рЛТ), окончательно имеем (2.99) Таким образом, скорость распространения слабых возмущений в газе зависит от теплофизических свойств рабочего тела Й и Л и абсолютной температуры Т.
Отношение скорости потока к скорости звука определяет исключительно важную для газовой динамики величину — число Маха М: 10 М= —. а (2.100) Число Маха является критерием скоростного режима, которыи: ° разделяет всю область течения на две качественно различающиеся поведением области: дозвуковую — М < 1 и сверхзвуковую — М > 1„' ° позволяет определить область течения газа„в которой сжимаемостью газа можно пренебрегать, полагая газ не- сжимаемой жидкостью.
Эта область лежит в диапазоне 0 < М < 0,3. Такое допущение существенно упрощает рас- четы течения газа; ° позволяет устанавливать граничные условия по давлению для системы. Если течение на границе системы дозвуковое, т. е. М: 1, то все возмущения давления из окружающей среды (разница между давлением на границе системы р и давлением окружающей среды р ) будут проникать в систему и так перестраивать режим течения„ чтобы ликвидировать это возмущение„т. е. реализовать течение при условии (2.101) рс рз Ясли течение на границе системы звуковое или сверхзвуковое, т. е. М > 1, то возмущения из внешней среды не смогут (2.102) 2.13. Гидродипамические режимы течения: ламинарный и турбулентный.
Число Рейнольдса Соотношение между инерционными и вязкими силами в потоке жидкости (газа) определяет гидродинамические режимы течения. Английским физиком О. Рейнольдсом в 1883 году впервые было установлено существование двух качественно различных гидродинамических режимов течения — паминарнохо и турбулентного. Опыт Рейнольдса заключался в следующем. Исследуя течение жидкости в прозрачном канале, он изменял такие параметры жидкости, как скорость и~, плотность р, диаметр канала д, коэффициент вязкости р за счет использования различных жидкостей. Течение визуализировалось подачей вдоль оси канала тонкой подкрашенной струйки жидкости. При этом наблюдались два качественно различных режима.
первый соответствовал практическому отсутствию перемешивания подкрашенной струйки с потоком в канале. Этот режим проникнуть в систему, так как они распространяются со ско- ростью звука, и возможно существование данного режима на границах системы при условии получил название слоистого, или паминарного Второй режим отличался размыванием подкрашенной струйки и интенсивным беспорядочным перемешиванием и был назван турбулентным. Обработка опытов показала, что переход от ламинарного режима к турбулентному и обратно не определялся значением какого-либо одного параметра, а изменению гидродинамического режима соответствовало некоторое значение безразмерного числа, названного числом Рейнольдса: ршУ Й,е =— ~Л (2.103) Численное значение числа Рейнольдса, соответствующее переходу от одного режима к другому, получило название критического.
Для круглых труб Ве = 2300. Число Рейнольдса представляет собой отношение сил инерции к силам вязкости. Ламинарный режим течения обусловливается преобладанием вязких сил, которые гасят все случайные возмущения, возникающие в жидкости, например„от тряски трубопровода, шероховатости трубы и т. д. Турбулентный режим наступает, когда силы инерции преобладают над силами вязкости и любое случайное возмущение усиливается потоком. В области Ве имеется узкая область, в которой течение явля- кР ется переходным, а режим называется перемежающимся.
В этой области ламинарный и турбулентный режим хаотически сменяют друг друга. На практике обычно принимают, что ламинарный режим сразу сменяется турбулентным, а область перемежаемости не учитывают. 3. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГИДРОГАЗОДИНАМИКИ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ СТРУЙКИ. МОДЕЛИ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ СТРУЙКИ 43 Для решения гидрогазодинамических задач необходимо построить модель течения жидкости. С этой целью будем следовать алгоритму, изложенному в разд.
1.8. Рассмотрим упрощенную модель, описывающую поведение вязкой сжимаемой жид- кости, называемую моделью элементарной струйки. Она характеризуется следующими основными допущениями: 1) течение жидкости реализуется в системе элементарной струйки (разд. 2.4.4)„ 2) движение жидкости — установившееся (разд. 2.4.4); 3) параметры потока постоянны в поперечных сечениях и изменяются только вдоль оси; 4) жидкость — сжимаемая, вязкая (разд. 2.8„2.6); б) диффузионным переносом массы, количества движения и энергии (разд.2.10) пренебрегаем и учитываем только конвективный перенос; 6) учитываются внутренняя и кинетическая энергия, потенциальная энергия давления и потенциальная гравитационная энергия положения, а также обмен массой количеством движения и энергией между системой и окружающей средой. Получим уравнения, выражающие законы сохранения массы, количества движения и энергии применительно к элементарной струйке жидкости.
При выводе уравнений будем следовать работе ~9~. 3.1. Уравнения неразрывности и расхода Уравнение неразрывности выражает закон сохранения массы вещества и является скалярным уравнением. В декартовых координатах ОХАЯ определим систему элементарной струйки (рис. 3.1). Она ограничена цилиндрической боковой поверхностью трубки тока А элементарной струйки и сечениями Р и 2 Рассмотрим изменение массы в выбранной системе за время дй. Так как течение установившееся, система переместится вдоль трубки тока А из положения 1-Л в положение 1' — 2'(пунктирные сечения).
Выделим три объема, образовавшихся в результате смещения системы: (3.1) (3.2) и У, образованный поверхностью трубки тока А и сечениями 1' и 2. Объемы сБ'» и оУ на рис. 3.1 заштрихованы. Так как 44 Рйс. 3.1. Система элементарной струйки параметры в поперечном сечении струйки не изменяются, то элементарные объемы жидкости сЛ~ и сЛ~ можно считать рав- а1 ы1 Ий и Ц2 2 й (3.3) 45 и овескыми подсистемами и значения каждого из параметров состояния в них можно характеризовать одной величиной.
В объеме сЛ~ это скорость ш и плотность р,, в обьеме сЛ' скорость ~и и плотность р . Благодаря стационарности течения в объеме 1~ никаких изменений за время д» не произошло (объем остался на прежнем месте), поэтому изменения в объеме Ъ» можно не учитывать, а ограничиться только изменениями в объемах сП~ и сЛ~ . Вычислим массу жидкости, содержащуюся в обьемах дЪ'1 и сЛ'. Очевидно, Тогда (3.4) ИШ1 = р1 ЙЮ1 = Р1Р1 11 = о1Р1и»1 «Й; 2 Р2 2 Р2 2 2 Р2 2 2 (3.5) Если поверхность трубки тока непроницаема для массы, т. е. масса вещества не подводится между сечениями 1-2, то в соответствии с законом сохранения массы вещества можно записать: 1 2 (3Я) Тогда из (3.6) с учетом (3.4) и (3.5) получаем, сокращая на «й и учитывая„что сечения 1 и 2 выбраны произвольно: Р1««»1Р1 = Р2и»2Р2 = Ри»Р = сопЯС» кг/с.
(3.7) Уравнение (3.7) выражает условие неразрывности течения для элементарной струйки и называется уравнением неразр«»ыности. Величина (3.8) ~ = РиР, кг/с (3.9) — уравнением массовозо расхода, или просто расхода, и выражает массу жидкости„протекающую через сечение Р с параметрами р и ««» в единицу времени Величина д =ри =С/Р, кг/м с 2 (3.10) называется плотностью тока. Для несжимаемой жидкости р = сопя«, и уравнение неразрывности упрощается: и»1Р1 — — и» Р = шР = сопят. (3.11) называется массовым секундным расходом, или просто массо- вым расходом; уравнение Величина Ч = ~оР„м /с (3.12) называется объемным расходом. Уравнение (3.11) показывает„ что в несжимаемой жидкости сохраняется и объемный расход.
Вследствие этого, чтобы изменить скорость несжимаемой жидкости, достаточно изменить площадь сечения. Дифференцируя уравнение расхода (3.9), можно получить дифференциальную форму уравнения расхода дС = рго ВР+ рР йи + Рв др (3.13) (3.14) Для случая постоянства массы в системе (3.14) имеет вид (3.15) Итак, масса в гидрогазодинамике измеряется в единицу времени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
