Нелинейная теория крыла и ее приложения (Аубакиров Т.О., Белоцерковский С.М., Желанников А.И., 1997 - Нелинейная теория крыла и ее приложения), страница 11

Выполняя условие о непротекании и гипотезу '1аплыгнна — Жуковского па передней н задней кромках профиля, пспучаем систему трансцендентных уравнений опюсительно искомых циркуляций дискретных вихрей и потребных углов отклонения носка: Х Гнан~ — — — 2ха1п(гх+5„), ч=0,1,...,л. (326) н=~ Здесь Ьо — углы местной деформации поверхности профиля с отклоненным носком, а коэффициенты ад, вычисляются по формуле (3.16). Поскольку неизвестные углы отклонения носка входят как в правые части уравнений (через углы Ь „), так и н левые (через коэффициенты пр.у ) под знаком тригонометрических функций, то задача должна решаться методом последовательных приближений.

Однако в плоском случае возможно ее прямое решение. Для этого задачу сформулируем следующим образом. Пусть задан профиль с отклоненным носком или нообще деформированный по произвольному закону профиль. Найдем угол атаки, прп ютором обеспечивается безударный вход потока на переднюю кромку профиля Для этого систему уравнений (3.26) преобразуем так, чтобы все неизвестные 1цнркуляцня вихрей и угол атаки и ) находились в левой части уравнений. Глава я МРз~~~~ ~" ллеспн ~~" Перенесем в левую часзь (3.26) члены, содержащие угол атаки, и, предполагая, что а Ф 90', разделим левые и правые части уравнений на сох а.

В результате получим Х вЂ” а„„+2нсозб„вайа= — 2кх1пб„, (3.27) р=~ соха ~'=0,!,...,в. Эта система уравнений является линейной опюсительно величин Г, ') — и 1да, так как козффицненты и левых, и правых частей извесоза стны. Из решения системы (3.27) наязлятся угол атаки гх, обеспечивающий безуларпый вход потока при заданной деформации профиля, и циркуляции присоединенных вихрей, а по пим — аэродинамические нагрузки и безразмерные козффициенты сил и моментов.

гешая задачу для ряда деформаций носка, можно получить нелинейные зависимости углов его отклонения, обеспечивающих безударный вход потока, от угла атаки. ЗЗ. Нестационариые отрывные течении Формулировку нелинейной пестационарной задачи рассмотрим на примере отрьпщого обтекания топкого профиля потоком идеальной несжимаемой жидкосги (рис. 3.1, а). За т = 0 возьмем начало движения профиля, тогда задача может быть сформулирована следующим образом.

При т < О все параметры жидкости известны, например, профиль н жидкость находится в покое. При т = 0 профиль начинаст двигаться (деформироваться), причем при т > 0 движение его известно. Па поверхности профиля выполняется условие о непротекании, везде в жидкости скорости и давлсния конечны, в том числе и на острых кромках. Рааявп в)рай. ППОью)ИЕ И ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ЗЯДЯЧИ 70 (ю ю) о-ю к-з гли. 3./.

КФру ю нс ! ттциою орной о !рыбной )влачи и ни!!оком спу мс: (.— с)нниаримс вихри; 2 — сиоГ!одн!,1с; 3 —. - контроаьиьюс тонки У т Гхи с н, ( 5)ю (з)х х' и — ~ с„— — 7' О с х 6 1аКИЛ! ОбрсПОМс КЗК На !ИщиСП, таК И Нс1 1)ерсдНСЙ К(Х)МКСХ ВЬ)ЮЮСу)Настоя гииотсза '1аилыгииа -- - Жуковского. Это н общем случае возможио только ирн условюию схода вихрей с огих кромок. Г1озюх!ыу допускается образование иовсрхиостсй таигсициальиого разрьша (щюхрсвых ислен ! .

3), исирсрывио сбсгаюощих с острых кромок. В частных ел у и!Нх оии ьки ут и агсутствоююать (иитсиси!и щсть вихров обращается и ююуль). 110скольку 1Юиюжулющю!я скОросзи 1ьо лн)бОму звмкиутОыу жююдкоыу коюггуру ирн т < О бь!лв рани!1 нулк! (сели ирофьчюь и жюЮ)акость покои)!всю,), то оиа останется равной иулюо ио лому коитуру и ири 'Г ~ О. В час гиости. Ол о Относится к жид!о !к! ко! и урам, Охватьщаюощил! гюрофиль.

Изисиеюи!с циркуляции ирисоедюиюсииых вихрей на профиле соююровсзкдастся сходом свободных вихрей, движущихся вмссге с жидкой средой. Траекторююи свободных вихрей совиадаки с траекториями соогвстству!Ощих жидких частиц, За!и!и!ем сформулироваииыс условия задачи. Введем безразмериыс величины (1.7), (1.10), (1.12), юраиичиое условие иа поверхности профиля заиииюсм следу!Ощим образом.' и!л = ~и(х,у,т).

(3.28) 1)еююрерьювю)о сбегак!щий вихревой слой замолим системой ююююскрстиых вихрей. На рис. 3.1, б иривсдсиа схема расиоложсиия дискрстиых вихрей, заьюсююяюоиюююх ирофю! чь и его след, и коюггролыюых точек, в которых выиолияюотся граиичиые условия заююачи. рва!!а 3. Уравнения двя в!!осияв задач !!улез! различать скорости, вызванные сумыарпьзыз! вихрями, распоззыжснпыми !ьз п1зофплс (зУЕ! шЕ!. зиЕа) свобОднз!ми Вих1зями, сх!з!!яп1з!ыи с залпсй кромки (!оп»в!з„зип ), п свободными вихрями, которые образуются у персйпсй кромки (зва!; ьчл!!" зошс).

Интенсив- ность вихревого слоя па профиле !'+Е представим в безразмерном вине УЕ' Пусть го Уо — лк>бая точка, в которой вычисляется скорость. Нс буззсм ставить ии!зекс (т, Е и) у скорости, если формула справсплпва для л!сбой компоненты, то! зв! имеем "(ло*уо) = зое(хо йо)+ и!("о У!!) ь ив("и*Уо) 1 г зоЕ(хо'Уо) ) УЕ(! т)!'Е(ло Уо !)г(! 2к- Ь ! (3.29) ом з — — — з — я 1 и!(хо .Ув) Х Г ! (Ео У т У ) 2к — — ! !3!з ъ — — в я 1 и'и!( о ро)'= — 2.' ' '!'я!(то Уо ° .тз! Уз).

2п.!=:! гадес!, г — число дискретных вихрей, которыми заменяются кормов;ш и носовая вихревые пслспы. з.'у !етох! (3.29) граничное условие (23) можно записать и впле ~уе(1,т)зея(ло,уо,!)г!! !УГ' Яуь,(7о,уо,.т,',у,')+ ! +Г ' зши~ло ° Зчо, з! 'У! ) = 2Ф!(зо'Уо'т) ( '30) ! — ! в-! 'ь(го Уц*х! У! ) ~- ' 'л!и(то -зо'з! Уз /.

!'=! з=-! Рввлвл второй. ПЛОСКИЕ И ОСЕСИММЕ)РИЧНЫЕ ВЫДАЧИ В левой части (3.30) содержатся неизвестные фулкцин У~(1 т) Г и Г, причем равенство (3.30) должно выполняться на всем (пт „(зтт контуре 1. Кроме того, должны выполняться начальные условия (задача Коши) у (1,т) =О, Г'и' =О, Г""О, т к 0 (3 31) иусловиядля Уу,~~1 т~~, Г'' и Г Г у им (зм г Г ~ уф, г)т11 + Х Г"" + Р, Г"" = О, 5=( в=! (ЗЗ2) Г (т) = сопят, Г' ~ (т) = сопвд в =1,2,...,т-1. Нз кромках профиля ставится требование о конечности скоростей (гипотеза т1аплыгина — Жуковского), поэтому ближайшие к кромкам свободные вихри располагактгся на линиях, касательных к поверхности профиля по кромкам.

Для определения координат х,у остальных свободных вихрей имеем уравнения (3.17). Отметим, что аналогично может быть сформулирована просгранственпая нелинейная задача об отрывном нестационарном обтекании крыла конечного размаха. Вихрсвую схему при обтекании плоской пластины целесообразно строить следующим образом. Хорда пластины делится на и участков. Суммарные вихри помещаются па линиях )(, расположенных на сере- динах учапгков, а контрольные точки — на линиях ч, совпадающих с их концами.

Такая схема логически вытекает из равноценности кромок при отрывном обтекании. Ближайшие к кромкам свободпыс вихри в системах 1и 1П располагаются в касательных к профилю плоскостях на расстояниях от кромок, равных половине длины расчетного участка. В результате такого разбиения вес контрольные точки оказываются по- Глава 3. уравиаиив дпл плоских задач 7З середине между соседними дискретными вихрями, а первая (у = О) и последняя Ь = и) из них — непосредственно на передней и задней кромках. Безразмерные координаты дискретных вихрей и контрольных точек для плоской пластины будут равны 1 Р—— хН =, У =О, 1~)(ьл, л Н (3.33) ч х, = —, у =О, 0<м<п. П Возмущенные скорости индуцируются суммарными вихрями профиля и свободными вихрями систем 1 и 111: г г г (3.3~.) и(х,у) ~ Е(х.у) + и ~(х.у) + и я)(х,у)' Скорости от вихревой системы П1 вычисляются аналогично скоростям от вихрей системы 1: г г 1 <ив х жя[( г,у) ~.

" ~'$п(х,у) г 2к х=~ (3.35) пеизвестньж циркуляций суммарных вихрей ГЕ„(1 < 1( < л), а также свободных вихрей в системе 1 — о и в системе 1П вЂ” о ())г (Э)г где циркуляции вихрей системы 111 представлены в безразмерном виде Гпм =(),ЬЬ"', 1~з~г. ' (33б) Выполняя в каждый расчетный момент г граничное условие (3.9), гипотезу Чаплыгина — Жуковского на обеих кромках профиля н начальное условие (3.10), получаем систему уравнений для определения Раздал второй. ПЛОСКИЕ И ОСЕСИр!р!ЕТРИЧНЫЕ ЗАДАЧИ г-1 ю=~ л Х !'~~р лЬ +Ь' =с- Х(Ь' "+Ь' ' ).

(3.38) л=а хю Опрелелсиис положения систем свободпгих вихрей ! и П! во времени проволится интегрированием уравнений (3.17). 3,4. !'асчст нагрузок, сил н моментов Гаючст азроцииалгических нагрузок иа профиле вьшолиястся в стациоиариглх задачах с помощью тсорсл!ы Н. Г. Жуковского „и малол1", а в исстациоиариых по интегралу Коши — Лагранжа. Из решения систем уравнений для стационарных заяач находятся безразмерюае циркуляции присоедиисииых дискретных вихрей Ге (1 < в < и), которые связаны с безразмерной интенсивностью вих- ревого слоя соотношением уе е (ЗЗ9) Здесы! — число расчетиь1х участков и соответственно дискретных вихрей иа профиле. Касательная составляющая безразмерной относительной скорости среды в точке, принадлежащей вихревому слою, вычислив'гся по формуле жр!р = гяр1е глп(н,х) . +1ур е гил(л. у)е. (3.40) Здесь сосшвляющис гхр1х,г)р пире!1еляются форл~улой, аналогичной (35). Окон ~ательпо Лля вы о!слсши! безразмерной арро!1ииамичсской нагрузки ла профиле ио тсорсл~с Н.

Г. Жуковского „в малом" имеем Ь!3 =21грггуе, 1<г.<п. (3.41) глава .з ураенения лля ллссхш аалдч Исиользуя точное решение йля стационарной задачи (324) н теорему 11 Е, ЖУковского „в малом", можно полУчить точное значение безразмерной азройзшамнчсской нагрузки на пластине: 1 — х Лр(х) =2 ~ — гйи га. (3.42) '.йто решенно нснользустся для контроля результатов численных расчетов. Прg решении систем уравнений для нестационариглх безсп рывных и отрывпгих задач находятся суммарные циркуляции п1шсоединенных и свой1йных вихрей на профиле Г~~- в расчстнглс момен.ол г = 1, 2, ..., х. г г г г дГа Лр,'=г у,',.сте- —, (3.43) Р Бс ьразмерная интенсивность суммарного вихревого слоя у~- вы- г ражастся через безразмерную напряженность йискретного вихря Г х формулой (3.39).

Изменение суммарной циркуляции по контуру Е можно рассматривать как нронсхояящсе за счет изменения циркуляции суммарных вихрей профиля и схода свобойных вихрей, поэтому лг",, = Х(г' -Г',,')--Ьо". и=в Это изменение циркуляции ио контуру 2 происходит за расчетный отрезок безразмерного времени Лт ири малом шаге Лт: аг,'ь ЛГ,'~ (3.44) 1(ля расчета нествционарных азродинамнческих нагрузок нсвьзьзустся интеграл Коши — Лагранжа (1„33). В обозначениях ланлой главы он примет внд Раздал внйхя ПЛОСКИЕ И ОСЕСИММЕТРИчНЫЕ ЗАД4ЧИ л сл = — Х Ьр сох(л,у)с, с=! (3.45) л л!~ = — — Е Ьре1!хе сох(л, у)е — уе сох(н, х)е ~, е=! Безразмерная координата центра давления вычисляется по формуле (1.19).

Получим точные значения коэффициентов сл, т, хи для пластины бесконечного размаха. Имеем Г = ~Ьр(х)лх, л! =~~ Ьр(х)хтГх. (3.46) Подставив в (3.46) Ьр(Х) из (3.42) и произведя интегрирование, получим к, ! с„= к з1п 2а, т, = --х1п 2а, хи - — -. 4 4 (3.47) Как видно нз (3.47), наибольшие значения сил и моментов на плас- тине получаются нри с! = 45 .