Нелинейная теория крыла и ее приложения (Аубакиров Т.О., Белоцерковский С.М., Желанников А.И., 1997 - Нелинейная теория крыла и ее приложения), страница 10

Дискретные вихри на профиле и контрольные точки, в которых выполняется граничное условие о непротеканин, размещатотся следующим образом. Хорда профиля делится на л частей 1участков). Суммар- ные вихри Гх~д располагаются на линиях 1г, отстоящих на расстоянии 1/4 длины каждого участка ог его начала, а контрольные точки — на раааа а уравнвявя дяя ллосявх ждая линиях ь', па расстоянии 114 длины каждого участка от его конца.

Такое разбиение обеспечивает условие на кромках: при увеличении числа разбиений циркуляции присоединенных вихрей на передней кромке сгремятся к бесконечности, а на задней — к нулю. И соответствии с гипотезой с1аплыгина — Жуковского первый (ближайп~ий к задней кромке) своболный дискретный вихрь располагается па линии 11 = и+1 в плоскости, касательной к профилю в точке, расположенной на задней кромке, на таком расстоянии от нес, чтобы паследняя контрольная точка (у = л) находилвеь подерелинс между последним суммарным и первым свобо1й1ым вихряз1и. В результате такого разбиения профиля все контрольные точки оказьпипотся расположенными посередине между соседними дискретными вихрями, В соответствии с принципом размещения дискретных вихрей и контрольных точек на профиле определим координаты характерных точек для плоской пластины. Безразмерные координаты вихрей равны 3 Н х у О, 1ь1з<п 4 (3.1) л Аналогично определяются координаты контрольных точек: 1 ч-— х „= —, у „=О, 1<чьи.

4 (3.2) П Другой, практически эквивалентный атому способ положений вихрей н контрольных точек будет изложен в п. 3.2. Введем следующие обозначения для размерных и безразмерных циркуляций. Для напряженности суммарных вихрей на профиле в момспт времени ~ примем Г"„„=и,ЬГ~„, 1~Н< (3.3) Напряженности свободных вихрей зависят только от расчетного момента времени з, в который онн сходят с профиля, поэтому Раалап второй.

ПЛОСКИЕ И ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ЗАДАЧИ Г""=иойбо", ~<.~ . (3,4) Вычислим компоненты относительных скоростей в любой точке на профиле или нне его в момент времени г: г г Иу„, „=и,„у,+И«х„. (3.3) г г Здесь Ур(„у) и И'(х 1 — компонс)пы сося ветствепно невозмущенной и возмущенной скоростей. Компоненты невозмущенпой скорости вычисляиутся в соответствии с законом движения профиля. Определим составляющие возмущенной скорости, вызванной в рассматриваемой топке всей вихревой системой профиля: (3. ) г г 1УОЬуе 1~ Х(а,у) + ®Ха,ум ,г ! т' ом,а 2к ю=~ (3.8) Здесь И'хд» > и иг," „, — составлЯющие возмУщенной скоРости, ипдуцируемые суммарными вихрями профиля и свободными вихрями системы 1, Ззи составляющие вычисляются с использованием безразмерных функций у(, у) (см.

прилож., и. 1.1), опредсляемых для вихревых нитей, моделирующих вихревую систему профиля и кормовой пелены. Для этого по формулам (см. прилож., и. 1.1) вычисляются функции 1 гх у) для вихрей профиля или его следа. Затем эти функции согласно (1.22) умножа1отся па соагветствующие безразмерные циркуляции и проводится суммирование по всем вихрям данной системы.

В соответствии с этим в расчетный момент с для системы суммарных вихрей на профиле получаем в безразмерном виде л 1 и'т(х ) — — — г Г~„и1„. 1Р. (3.7) 2к д-а Для безразмерной скорости, вызванной системой свободных кормовых вихрей, имеем Глава Я УРавнвяяя для плоскик задач Если известны циркуляции вихрей па профиле и вне сго, то с помона,к1 соотношений (3.6)-(3.8) можно найти возмущенные скорости в любой точке плоскости течения. Уравнения для определения циркуляций суммарных вихрей на про- фплс Гг~„и свободных кормовых вихрей 5 иьшодятся из слеяуюпл щпх условий, Везде на поверхности профили должно выполняться условие о пепрпгекании, которое требует обращения и нуль нормальной сос.швляющсй относительной скорости среды.

Это условие выполняется и к<яп ролыпах точках и может быть записано и ниде (3.9) ИР„„~ =О, у =1,2,...,п. ! 1л кромках в соогветствин с гипотезой Чаплыгина — Жуковского скорости должны быть конечны, Это обеспечивается тангспцпальным сходом потока с задних кромок. Кроме того, для системь1 присоединенных и свободных вихрей на профиле и ипе его во все моменты времени должна выполняться теорема о посгоянствс циркуляции. Если 1, — жидкий контур, охиатыва|ощий профиль и его след, то (3.10) г =с, где С вЂ” - постоянная„опрелсляемая из начальных условий задачи. Если прп т< 0 профиль находился впокое,тоС= О.

В каждый расчетный момент г необходимо заново опреяелпть все л суммарнкяе циркуляции на профиле Гуп(1<р<л), а в системе своболпых вихрей внс крыла неизвестной является лишь циркуляция того вихря. который образовался в отрезок времени, предшесгвовавшпй лпнному расчетному моменту, т, е, циркуляция о"" . Следовательно, и любой расчетный момент времени число неизвестных циркуляций равно (л+1). Составим сишему уравнений для определения згих циркуляций. Выражение для нормальной составляющей относительной скорости в контрольной точке х в момент времспи г имеет вщ1 Раааел втОРой, ПЛОСКИЕ И ОСЕСИМУЕТРИЧНЫЕ ЗРЯЧИ т' т' Г )ЧОттЧ = 1'ОттО + ~юП (3.11) Г Здесь Его„х, — нормальная составлягощая скорости невозмущсшю- го потока.

Возмущенная скорость И'тт„индуцнруется суммарными вихрями профиля и свобоггггыми внхрямп его следа. В соответствии с (З.б) — (3.8) ее безразмерные компоненты вычггслтгготся следующим образом: в т 1 1 гпа х т"гх,у)т, = — Х Гцгт г'(х,уггти + тт О иггх,>1» (3.12) 2п гт=г ' 2п х=г Определим нормальную составляющую безразмерной возмущенной скорости: те = и' . соз(и,х) +те,х соз(л,у)ч ° (3,13) Здесь (тг х)я н (и У)о — углы, которые сосгавляют нормаль к поверхности профиля в контрольных точках с осями координат. Г1одставляя (3.11) в граничное условие (3.9) н учитывая (3.12) и (3.13), получаем систему из и уравнений: т'-г гт=г х=г гт =1,2,...,п. Эту систему замыкает условие (3.10), которое в даггиом случае может быть переписано в виде г-г Х Г", +о'и" =с- Хо"".

~гт + гг=г х=г Коэффициенты а с раиными индексами в уравггепнях (3.14) в соогветствии с (3.13) равны а = их соя(тг,х)+ гу сов(гг, у), (3.1б) Б5 Глава 3, Фаалаляя Лля ллагхлг заЛач где безразмерныс функции г(г ) вычисляются но формулам нз н. 1.1 приложения. Для онре!!елення положения сошедших с профиля снободных вихрей в каждый расчетный момент провоя!ггся интегрирование уравнений, которые получены нз условия движения свой!одных вихрей вне профиля по траекториям жидких частиц =и .(л'! уз) у и (уз 1~') (317) 1т ' ' ' .1т Относительные скорости вычисля!отса в точках пространства, в которых свободные вихри находятся в рассматриваемый миме!гг времени г.

Интегрирование уравнений (3.17) может проводиться различ!и,!ми численными методами (Эйлера, Рунге — Ку !та и т. н.). Системы уравнений (3.14), (3.15), (3,17) решаются совместно в последовательные моменты времени г. Б первый момент (г = 1) положение всех лискретцых вихрей, в том числе и свободного б~ ', известно. (!н Это позволяет нычислить безразмерныс функции г(!, > для суммарных н свободного вихря, составить и решить систему уравнений (3.14) и (3.15). По найденным циркуляциям вихрей вычисляются огносительные скорости, и интегрированием уравнений (3.17) определяется лгноженно свободного вихря к следующему расчегному моме!ггу (!.

= 2). При агом циркуляция свобонных вихрей, сошедших с профиля, остается неизменной во времени. По известным циркуляциям и положению вихрей для моме!гга г = 2 заново состтнигяезся и решается система уравнений (3.14) и (3.15) и находятся циркуляции вихрей на следующем шаге н т. Л. 3.2, Стационарные безотрывиые течении Прн стационарном безогрывном обтекании поток плавно огибает носок, нри этом на перслнсй! кромке бесконечно тонкого профиля возможны бссконечныс скорости н разрежения. В дальнейшем поток движется вдоль поверхности профиля и сходит с его задней кромки но касательной к плоскости, Гннотеза Чаплыгина — Жуковского вы- Рйаовл второй.

ПЛОСКИЕ И ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ЗАДАЧИ полняется только на задней кромке профиля, причем с нее в этом случае вихревая поверхность не сходит. Профиль заменяется системой присоединенных вихрей с безразмерной циркуляцией Г, (1 < р ь л). Используется принцип разбиения профиля, описанный в п.3.1. Выполняя граничнос условие о непротекании профиля в ряде контрольных точек и гипотезу Чаплыгина — Жуковского на задней кромке профиля, получаем систему линейных алгебраических уравнений для определения циркуляций присоединенных вихрей: л Х, Гнанч =2Фп(хоч Уоч)* "= 1,2,...,л. (3.18) Н =.

~ Здесь коэффициенты а вычисляются по формуле (3.16). Рассмотрим простейший случай — стационарное безогрывное обтекание пластины бесконечного размаха потоком со скоростью Ето под углом атаки гх. В агом случае система уравнений (3.18) принимает вид л 1 Н Х Г вЂ” =-2п, Г „= — ", ч=1,2„,л. (3.19) Н=! хН хоч В!п а Для пластины бесконечного размаха можно получить точное решение нелинейной стационарной задачи. Крыло заменим присоединенным вихревым слоем с безразмерной интенсивностью 1(х) (в рассматриваемом случае слой свободных вихрей на крыле и вне его отсутствует).

В произвольной точке с координатой хо этот слой индуцирует безразмерную скорость 1 (3.20) 2л х -х о Условие о непрогеканин крыла в этом случае запишется в виде и, = — х1П1Х. у (3.21) Глава а урааиаиия Лля ляосяих залая 67 Представим безразмерную интенсивность присоединенного вихревого слоя в виде Т(х) = уп (х) япа. (3.22) Используя граничное условие (321), с учетом (3.22) получаем интегральное уравнение — — Ж=2к. (3.23) О х — Х !'ешеписм этого уравнения является функция у,„(х) = 2 (3.24) Заметим, что функция (3.24) удовлетворяет постулату Ч1аплыгна — Жуковского на задней кромке крыла: 1нпу (х) — >О.

у — и Одним из способов предотвращения отрыва потока с острой передней кромки профиля при угле атаки а ~ О, когда возможны бескоиечпыс скорости и разрежения, является агклопение носка профиля па углы, обеспечивающие при данном угле атаки безударный вызод потока па переднюю кромку [2.71, В отличие от работы [2.7] изложим метод определения потребныхуглов отклонения носковдля обеспечения безударного входа потока, используемый в нелинейной задаче. Пусть профиль обтекается стационарным потоком со скоростью 14 под углом атаки и. Заменим профиль системой присоединенных дискретных вихрей аналогично обычной стационарной задаче. Для на~ожления циркуляций этих вихрей воспользуемся граничным условием о иепротекании профиля и гипотезой т1аплыгина — Жуковского о конечности скоростей на задней кромке профиля, Кроме того, иеизвесгиы параметры отклонения носка — относительная хорда Ь н угол н отклонения Ь , обеспечивающий безударный вход потока на перед- Н' нюю кромку.

Раздел второй. ПЛОСКИЕ И ОСЕСИУМЕТРИЧИЫЕ ЗАДАЧИ Пусть относительная хорда тз задана. '1огда остается неизвестным в угол отклонения носка о Для его определения потребуем выполнен ния постулата Чапльп ива — Жуковского о конечности скорости на передней кромке н разместим па пей контрольную точку. В отлично от задачи об отрывном обтекании передней кромки здесь вихревая поверхность с пес не сходит. Конечность скорости обеспечивается деформацией передней части профиля или отклонением носка.