Сиберт.У.М том1 (Сиберт У.М. Цепи, сигналы, системы), страница 8

(1,7.18) Используя результаты примера 1.6.1, запишем полные решения о (1),, ! / Ан-/~ЯС (1.7.19) о (!) --! + /«с-//зясс/3 3 //2яс ! и с-//2ясс-/3'3 //зяс (! 7 26) О (!) . ! ! АБ — Г/НС ! ДС вЂ” /и/ЭЕ--С,2ЯСЕ/УЗ //2ЯС « «. 8'6/Н/Зе--//злое-/ УЗ Г/2ИС (1.7.21) Учитывая значение переменных при 1 = О . получим А =- — 1, — /п/Б /и/6 —,В о (!) = !1-- е-"Яс) и(/), (1.7.22) ЬН=-[! — — ' ч~ ~ (СС- —,')«(С, С.7.23) Уз о (!) = ! . е-//яс е-//знс Мп / — 1 и(1) (1 7 24) Графики этих напряжений изображены на рис.

1.19. б) Устаисвиви/аяся синцсоидальяая реакция цепи, когда входное воздействие имеет вид Ое (!) 16 СОБ О/! (1.7.26) Этот входной сигнал не похож на !',е", однако он тесно связан с сигналами такой формы, поскольку функция косинуса может быть записана одним из следующих способов; /н/ 1 — /н/ 1. созе =.

(1.7,26) 2. СОЗШ/ = ГСЕ(Е/е/) (1.7.27) (где символ «Ке» означает «действительная часть от»). Поскольку цепь линейна. инвариантна во времени и состоит из реальных 1.7. Решеппн прв експовенцнвльпнз вкопана возпеаствпвк 37 элементов, мы можем определить ее реакцию. найдя сначала ее реакцию на ое(!) =- У е/"', — (/ ~ (1.7.28) и затем проделав одно из следующих действий: 1) сложить реакцию для положительной ог с реакцией для отрицательной ш и поделить на 2 или 2) выделить действительную часть реакции. Обычно вторая процедура проще. Поскольку нас интересует установившееся состояние при синусоидальном воздействии, требуемыми полными реакциями являются как раз компоненты, пропорциональные экспоненциальному множителю входного воздействия с/н/.

Лю- ьг ,о о,а 0,6 о,е о,г о //яс 1 2 3 Е 5 6 Рнс. 1.19. Прпнерн резкпнн на ступенчатое возаейегвне ФНЧ Батгераорта третьего порвана бые конечные члены собственной реакции цепи, которые могли бы возникнуть при подаче синусоидального возбуждающего сигнала в «момент» времени ! =- — оо, предположительно давно уже упали до нуля.

Считая о, (!) типичной, запишем установившуюся реакцию на воздействие пе (!) = Усе/"" и /и/ оз(!) —, „,, „.:= Н(!ш) Узс/~', (1.7.29) где 1 (г ) 1 (/ )1 (!нЯС)з+20нЯС)2 «-20нЯС)+1 (1.7.30) называется частотной характеристикой цепи. Следовательно, установившейся реакцией на ое(!) -.-" !', соз ш1 — — Г«е (У,С/ '! является оз(!) = Ве (Н (/ш) Уее/"/) == У, [Н ()62) '1соз(621 + аги Н (//о)), — оо С„/~ сю. (1.7,31) !.8.

Выводы 39 1. динамические уравнении для простых пеней 38 Таким образом, установившуюся реакцию на синусоидальное возд ействие произвольной частоты можно описать с помощью изображения на оси частот амплитудной и фазовой компонент ч- астатной характеристики, как показано на рис. 1.20.

Из выражения (1.7.30) легко получить„что 1Н(/Га)) = Н(/Ф)Н( — /Ф) = 1 е, (1.7.32) 1 Для Ф (( 1//7С значение частотной характеристики ж1, а для гв )) 1/ЯС значительно меньше 1. Таким образом, даннаи цепь ьо о,в о,в 0,4 0,2 еле .90 ° пныю Рис. 1.20. Частотная характеристика ФНЧ Баттерворта третьего порядка. при входном воздействии о, (1) и выходном сигнале о, (1) пропускает низкие частоты и (до какой-то степени) задерживает или подавляет высокие частоты. Поэтому она называется фильтром нижних частот. Поскольку граница между полосами пропускания и подавления проходит вблизи о» =- 1//7С, эта точка пазывается граничной частотой или частотой среза фильтра. Как мы увидим далее, существует много различных видов фильтров нижних частот (ФНЧ); фильтры, для которых ) Н (/о») )е = (1.7.33) 1+ (га/гле) ' называются фильтрами Баттерворта и-го порядка с частотой среза гоь.

1.8. Выводы Используя метод уравнений состояния или метод узловых напряжений, можно непосредственно получить систему динамических дифференциальных уравнений для любой цепи с сосредото- ченными параметрами. Если цепь линейна и инвариантна во времени, то решение этих уравнений, состоящее в нахождении либо реакции на нулевое входное воздействие, либо частной реакции на экспоненциальный сигнал, начинается предположением о наличии экспоненциальных решений вида Аеа. В результате дифференциальные уравнения преобразуются в систему алгебраических уравнений относительно амплитуд экспонент. В случае отыскания реакции на нулевое входное воздействие эти уравнения однородны, что обусловливает возможность ненулевых амплитуд только для определенных характеристических частот. Таким образом, в общем виде реакция на нулевое входное воздействие представляет собой сумму экспоненциальных членов на характеристических частотах, причем амплитуды этих членов получаются из данных о состоянии цепи в начале интервала нулевого воздействия (или эквивалентной информации).

В случае экспоненциального входного сигнала, пропорционального е", алгебраические уравнения, получаемые из предположений о наличии решений вида Аеи не являются однородными, что в общем случае обусловливает свое значение амплитуд для каждого частного решения задачи. Полное решение получается путем суммирования этого частного решения с членами, соответствующими реакции на нулевое входное воздействие. При этом амплитуды выбираются такими, чтобы полное решение удовлетворяло известному состоянию системы в некоторый момент времени (или эквивалентной информации). Эти «класснческие» методы анализа поведения цепи могут модифицироваться в различных направлениях. Например, алгебраические уравнения, получаемые в результате подстановки решений вида Ае" в динамические дифференциальные уравнения, могут быть записаны непосредственно из схемы (т.

е, без предварительного составления дифференциальных уравнений) с помощью импедансных методов. Читатели, по всей вероятности, уже накопили некоторый опыт использования импедансных методов в более ранних курсах. Разработка импедансных методов с помощью нового средства — преобразования Лапласа — будет одной из целей следующей главы. Преобразование Лапласа позволяет также получить формальную процедуру для нахождения реакции линейной инвариантной во времени цепи на произвольный входной сигнал, имеющий форму не только экспоненты или совокупности экспонент, анализом которых, как может показаться, ограничиваются «классические» методы данной главы.

В конечном итоге, однако, станет ясно, что значительные возможности преобразования Лапласа обусловлены тем, что функция практически любой формы может бьггь представлена как сумма экспонент. В этом заключается основа метода фурье-анализа. Таким образом, полезность частотных методов для изучения поведения ЛИВ-систем, включая импедансные методы и их обобщение до Упражнения к главе ! 4! )ее го()) с + я я (3) (г) Рнс. 1.21. Ответы: — г (!) + с УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ ! б (от (!) — о, (Г)) о, (Г) С „,4.

0 я !а) Упражнение 1. ! и(() О нос (П ое (Г) + оо (Г) бг гб) Рис. (,22. 1) -+ и(!) = Г(Г). "о(') 2) о(П = ( (à — 1), 3) ((Г) = ) о(т)соз(! — т) кт, еэ о,,(() 4) Г (!) =. ~ о(т) бт+ Г (О). о ое (Г) +,— --, 3(г (Г) Гс (!) г(! 1 им —— и Упражнение 1.2 Рис. 1.24 1. Динамические уравнения длн простых цепей понятия системной функции, не ограничивается экспоненциальными воздействиями, а простирается значительно шире. Область применения методов ЛИВ-анализа чрезвычайно разнообразна и богата.

Это делает язык ЛИВ-моделей исключительно ценным инструментом как для понимания, так и для разработки сложных динамических структур, подобных тем, которые используются при обработке сигналов, в измерительных системах, а также в системах связи и управления. Помочь вам научиться не только «решать» задачи, но и «говорить» на этом языке — вот истинная цель данной книги. Предполагается, что все сигналы определены в интервале — со ( Г ( со. а) Покажите, что каждое из нижеприведенных основных соотношений описывает двухполюсный элемент, который является линейным и ннвариантным во времени.

б) Покажите, что каждое нз нижеприведенных основных соотношений опи- сывает элемент, который не лниееи и/нли не ннвариантен во времени. 1) о (Г) ! (Г) = !, с 2) ! (!) = ~ о (т) г(т, о 3) о(!) .= Г (!) соз !, 4) о(!)=-Г(!)+ 1. а) Задайтесь исходным узлом и соответствующими узловымн напряжениями для каждой из приведенных на рис. !.21 цепей; запишите соответствующие динамические уравнения в узловой форме.

б) Задайтесь соответствующими переменными состояния для каждой из нижеприведенных цепей и запишите соответствуюшие динамические уравнения в форме уравнений состояния. Рнс. !.23. ( Г 2а) -~-~ о,(т) от+ !а(0) .(.. ' ' — а„(оэ(Г) — ое(Г)] =О. о Упражнении к гаазе 1 43 За) Зб) ,,(П о ог( г тс(Ю пг Рис. 1,26. Рнс.

1.25. Упражнение 1.3 „(о) У Рис. 1.27. Упражнение 1.б 42 1, Дниамичеснне уравнения для простмх цепей т [ "()а +Е.(0)+ Л = — !.(1). 1 о ио (!) 6 — = — [1о(!)+!Ь(Г)) Ю б!с (г) Упражнение 1.3 а) Примем в качестве опорного (рис. 1.25) заземленный узел (такой выбор не обязательно является лучшим для данной схемы). Покажите, что узловые уравнения, записанные через переменные и, (!) и и, (!), имеют аид с 1 г 1 — [ит (т) — ио (т) [ бт + !ь (О) + — [ио (Ф) — ио (Г) + ио (1)) = Ео (1), Дт о Ф 1 1 1 г — ио(1)+ — [ио(Г) — ио(!) — ио (!Ц+ о [ [ио(т) — ио(т)) Нт — о!.

(О) + )то ~о Й + С вЂ” „[и, (1) — ио (!) [ = О. о(г б) Покажите, что уравнения состояния, выраженные через переменные состояния ис (!) и !С (г), имеют внд лис (г) 1 С вЂ” = — — ис(Г) — — ио (!) + !о (1)ю бг Но Ла Йс (!) = — )т !ь(1) — ио(!)+)!о!о(г) в) Докажите, что уравнения, полученные в (а) и (б), совместимы. Упражнение 1.4 а) Покажите, что для приведенной цепи на рис. 1.2б узловые уравнения через переменные ит (Г) и ио (1) записываются в виде — + Со д [ио(0 — ио(1)[=оу ио (!) Н 1 С.