Сиберт.У.М том1 (Сиберт У.М. Цепи, сигналы, системы), страница 6

Выбор «лучшей» процедуры не наука, а искусство, и зависит от особенностей конкретной цепи и целей проводимого анализа. Как узловой метод, так и метод уравнений состояния можно распространить на цепи произвольной сложности, включающие нелинейные и изменяющиеся во времени элементы.

Для каждого из методов существуют формальные алгоритмы анализа цепей, которые по заданной топологии цепи и основным соотношениям для элементов автоматически реализуют динамические уравнения. Более того, по крайней мере для ЛИВ-цепей сложность получения точных аналитических решений динамических уравнений в первом приближении не зависит от метода составления уравнений — как мы увидим впоследствии, она определяется в основном порядком системы.

1 4 Структурные схемы После того как для какой-либо системы — не обязательно электрической цепи — записаны динамические уравнения в форме уравнений состояния, нетрудно составить структурную схему, а из нее получить аналогичную по поведению электронную схему. Под «аналогичной» мы понимаем, что если на входы электронной схемы поданы такие же по форме сигналы, что и на входы исследуемой системы, то переменные состояния (или любые комбинации переменных состояния и входных сигналов, для которых могут быть выбраны выходы) в исследуемой системе будут иметь такую же форму, что и в электронном аналоге.

Естественно, в процессе перехода от реальной системы к электронному аналогу мы вправе выбирать любые, удобные для нас единицы переменных электронной схемы, соответствующие единицам переменных реальной системы. Мы вправе также выбирать масштаб времени для аналога с тем, чтобы ускорить представление некоторых медлен- 1.4. Структурные схемы 27 (1.4.3) у(о) к!!) у[!) l у(!): /к(т)от+у(О) к Иитетратор у(') ' «)(') кг(') Сумматор у(!) - !(')«г(!) 26 1. Динамические уравнение дли простых Неие6 ных явлений (таких, как геологический процесс) или замедлить быстрые (как, например, процессы взрыва).

В течение многих лет подобные электронные аналоговые кол[лоютеры широко использовались для разработки сложных, дорогостоящих и трудных в модификации систем, таких, например, как системы управления самолетами или ракетами. Сегодня динамический анализ подобных систем делается обычно цифровым способом, однако, несомненно, структурные схемы все еще остаются полезными, а электронные схемы, полученные на их основе, все еще имеют множество при- к(!) у(!) Усилитель Л у(!) = лк(!) у(!) + кг(!) «,(!) у(!) Перемиомитель )«', «„[!) Рнс. 1.)2. Простые елементы структурных схем.

менений в ситуациях, возникающих в реальном масштабе времени, например при обработке звуковых сигналов. Некоторые наиболее распространенные элементы, встречающиеся в простых структурных схемах, показаны на рис. 1.12, Каждый элемент (блок) определяет соотношение между одним или несколькими выходами (помечены выходящими стрелками) и одним или несколькими входами (помечены входящими стрелками).

Когда блоки соединяются друг с другом, выход одного из них становится входом другого. Следующий пример показывает, как соединение таких блоков может описывать заданную систему уравнений состояния. Пример 1.4.1 Цепь, изображенная на рис. 1.10, привела к трем уравнениям состояния — = — 1' 1 (1) — — о,(1)+ — ~- и, (1), (1.41) — = — у 1т (1) — 1 те(1) — 1 оо(1) + 1* !', (1), (1.4.2) Моделью этих уравнений может быть структурная схема, приведенная на рис. 1.13, состоящая из интеграторов, сумматоров и усилителей. Поскольку это система 3-го порядка, необходимы три интегратора, выходы которых соответствуют переменным состояния !', (1), 1а (1) и о, (1).

Ключом к построению или анализу подобных схем являются входы интеграторов, т. е. производные пере- Рнс. 1.13. Структурная схема, моделирующая уравнения (!.4.1, 1.4.2, 1,4,3). менных состояния. Каждая производная в соответствии со своим уравнением состояния представляет собой сумму взвешенных входных сигналов и переменных состояния.

Схема, изображенная на рис. 1.13, выполнена таким образом, чтобы облегчить понимание этой структуры. Если, скажем, в качестве интересующей нас выходной величины применительно к схеме рис. 1.10 мы выберем напряжение о, (1) на сопротивлении )т„то для реализации уравнения о, (1) = Ь)г ([, (1) — [, (1)) к структурной схеме требуется добавить лишь несколько блоков. Пример 1.4.2 Для синтеза электронной схемы, аналогичной структурной, приведенной на рис.

1.13, можно соединить между собой схемы операционных усилителей, изображенных на рис. 1,14, установив 1. Дииамяческне уравнения дла простых цепей в них элементы с соответствующими значениями '). Каждая из схем на рис. 1.14 объединяет фактически несколько функций, соответствующих основным блокам рис.

1.12. Соответствующее соединение усилителей показано на рис. 1.15. Заметим, что все переменные вне зависимости от обозначений являются по существу напряжениями. Обозначения, стоящие рядом с резистол, с и( ло л2 ° "о Иаоольчмй ио * я~а "«ало ' лоальагго ег лс лс Рнс, 1 14. Выполнение интеграторов н сумматороа на операционных усилителях "о «о еа ч ма Рис.

1,15. Реализация уравнений (1.4.1 — 1,4.3) с помощью злектронной схемы. рами, — сопротивления, однако, поскольку на поведение схемы влияет лишь отношение сопротивлений, их можно одинаково отмасштабировать до любого удобного диапазона величин. Значение емкостей интеграторов С, определяет временной масштаб электронного аналога и выбирается в соответствии с потребностями. 1.6.

Решения дииамичесних уравнений Как бы ни были получены динамические уравнения для сосредоточенных цепей — методами узловых напряжений или уравнений состояния, описанными в равд. 1.3, либо с помощью какой-то дру- т) Эти устройства названы «операционный усилитееьь потому, что вначале оии использовались в аналоговых компьютерах для реализации таких операций, как интегрирование и суммирование.

1.й. Рещеияя орн пулевых входных воздействиях 29 гой процедуры, — они, как правило, представляют собой систему дифференциальных уравнений нескольких переменных '). Такие уравнения описывают неизвестные реакции на известные стимулирующие воздействия лишь неявным образом и имеют форму: (операции над реакциями) = (операции над стимулами). С другой стороны, часто требуется описание в явном виде (или операционное): реакция = (операции над стимулами). Для получения операционного описания динамические уравнения должны быть решены (проинтегрированы), а не просто оценены.

Более того, может оказаться, что решение не является единственным (поскольку результаты обработки двух различных реакций могут совпасть таким образом, что оба удовлетворят динамическим уравнениям). Для получения единственного решения необходимо дополнительно иметь вспомогательную информацию, такую как начальные условия или начальное состояние.

Если цепь линейна и инвариантна во времени, то явное решение динамического уравнения в замкнутой форме практически всегда можно получить (по крайней мере принципиально и для широкого класса входных функций). Простейшие такие решения получаются комбинацией решений для двух специальных случаев: а) задающие или входные воздействия равны нулю; б) задающие или входные воздействия экспоненциальны во времени. Рассмотрению решений для этих двух специальных случаев для ЛИВ-цепей посвящена остальная часть настоящей главы. Одна же из задач последующих глав состоит фактически в том, чтобы показать, что эти случаи не так «специальны», как кажутся.

1.6. Решения динамических уравнений при нулевых входных воздействиях Если все независимые источники равны нулю на некотором конечном ((о ( 1 ( (,) или полубесконечном (1) (о) интервале времени, то в течение этого интервала напряжения и токи в ветвях могут быть равными нулю, однако это не обязательно, так как может оказаться не равной нулю энергия, запасенная в цепи от входных воздействий в течение времени ( ( (о.

В этом случае отклик цепи называется реакцией лри нулевом воздействии (РНВ), а также собственной или гомогенной реакцией. Легко показать, 1 ) зловые уравнения для цепей содержащих индуктнвности будут тькже включать интегралы узловых напряжений (см, пример 1.3.1). Но такие инте. гралы легко «устраняются» путем дифференцирования уравнений. Сз+— 1 1 О О Св +— 1 1 (ЯСз)з + 2 ЯС»)з + 2ЦС» пз — О. — Св Св+— 1 р (1.6.8) — ! ~!УЗ ! 3 =. йС ' (1,6.9) 2йС ВО 1, Динамические уравнения для простых цепей что токи и напряжения в сосредоточенных ЛИВ-цепях в течение интервала времени с нулевым входным воздействием могут иметь ненулевые значения тогда и только тогда, когда они являются суммой определенных экспоненциальных функций времени (называемых всобстввнные моды») с характерными постоянными времени (в общем случае, комплексными), обратнымн значениями которых являются собственные частоты цепи. Эти основные положения лучше всего поясняются на примере.

Пример 1.6.1 Схема с повторителями напряжения из примера 1.3.2 привела к эквивалентной схеме, изображенной на рис. 1.16. Для этой Рис. !.!6. Эквивалентная схема цепи, изображенной на рнс. 1хь схемы с помощью метода узловых напряжений мы получили следующие динамические уравнения: (1.6.1) С 11 [оз(1) — оз(1)1+ — [оз(!) — ос(1)) = О, (1.6.2) С с + ~ [из(!) — св(1)) = О.

(1.6.3) Предположим, что вз (1) = О в течение интервала 1, (1( 1,. В качестве решения для этого интервала выберем выражения вида оз(1) = У,е*' сз(1) = У,е'в Ра(1) = 1',в" (1.6.4) и„подставляя их, получим ( 1 ~ Сз+ — ) У,в" Дl = О, (1.6.5) — — У,в" + (Сз+ — ) У,е" — СвУ,е*' = О, (1.6.6) — У»в»в -[- (Св + — ) У»в»в = О, (1.6.7) Общий множитель в" можно сократить, поскольку он не равен нулю при любых конечных з и 1.