Сиберт.У.М том1 (Сиберт У.М. Цепи, сигналы, системы), страница 12

Методика нахождения обратного преобразования, которую мы собираемся изложить, работает всегда, когда Х (в) является рациональной функцией, а также в некоторых других случаях. Идея состоит в том, что любую рациональную функцию можно разложить на элементарные дроби. В частности, если рациональная функция является правильной (степень числителя меньше степени знаменателя — это ограничение мы снимем в гл. 11) и если корни знаменателя (полюса Х (в)) являются простыми или т] Естественно, из Х (з) ничего нельзя узнать относительно х (/) для /~ О Выражение «почти всюдуэ означает, что хх (/) и хз (/) могут отличаться в изоли- 1'1, при /Ф11 рованных точках, например хх (О = 1, хз (/) = ~ (; однако в силу О, при /=1 причин, которые мы рассмотрим в тл.

11, на практике эти отличия не играют роли, Доказательство теоремы единственности приведено, например, в работе О. 'й. Ж'/ййеп Тпе 1.ар!асе Ттаппопп (Рппсе1оп, 14й: Рппсе1оп !/п1ч. Ргезз, 1946) р. 66. Единственность тесно связана с тем, что Х (з) является анилилеической функцией во всей ее области сходимости, т.

е. Х !з) можно разложить в сходящийся ряд Тейлора относительно любой точки в этой области. где А+ = [Х (5) (5+ 1)], '+ 1 ~ й =- [Х(5) (5 — ))], — '+1 [ з+) 15=/ — = =Е)п/4, 1 — 1 1 — 21 ]т2 1+) 1 21 ]т2 — е — /лм Пример 2.3.3 з — (5-,'-а) т Х(5) = где з — ат Х()= — — е — ' . з+а в+а +3 ~ йо = [Х (5) 5], о = — ~ з+ 1 15=о 5+3 й,=[Х(5)(5+[)]5= ) = —, -е е и))-т) Х (5) =,, =,, +, .

Рис. 2,7, 2. Одностороннее преобразование Лапласа различными (это ограничение будет вскоре снято), то всегда можно записать п„з" +о„м" ) + + ое п„з" +пи 55" ) +... -1-ое Х (5)— з +э зз + ° ° ° +бе ( Р)( Р) ( Рт) (2.3.2) з — з 3 — 3 Р, Ре 'Р где й,, А„..., А — соответствующий набор констант, называемых вычетами '). Как только будут найдены йо сразу же можно записать выражение для соответствующей х (1) в виде х(4)=йтер -[ йзере + ...

+й ер5, 1)0. (233) Это выражение или его обобщение, включающее случай кратных полюсов, часто называют теоремой разложения Хееисийда Из выражения (2.3,2) должно быть очевидным, что для Х (5) с простыми полюсами вычеты легко находятся по формуле йг = [ Х (5) (5 — 5р )] (2.3.4) Следующие примеры иллюстрируют использование метода разложения на элементарные дроби при нахождении обратного преобразования Лапласа для Х (5) с простыми полюсами.

Пример 2.3.1 513 з+3 яе Таким образом, Х(5) = — — — =р.х(1) = 3 — 2е-', 1) О. з 5+1 Поскольку операция разложения на элементарные дроби является алгебраическим тождеством, ее можно и дблжно всегда проверять путем обратного преобразования разложения в рациональную дробь 5) Обратите внимание, что нормировка Х (з) в (2.3.2) осуществляется таким образом, чтобы в знаменателе коэффициент при максимальной степени з был равен единице. Невыполнение этого условия является распространенным нсточйнком ошибок в оценке вычетов.

2.3. Обратное преобразование Лапласа 63 Пример 2.3.2 Х (5)— з+ 1 з'1 + й й "+ 1 (з+!) (з — Л Таким образом, — + =,е '""е)' = )т 2 соз (1 — п)4), 1) О, Заметим, что поскольку полиномы числителя и знаменателя имеют действительные коэффициенты, полюсы, равно как и вычеты, по- лучаются в виде комплексно сопряженных пар. Это выражение пе является рациональной функцией, но оно может быть записано как сумма произведений рациональных функций и множителей е — 'т: Следовательно, на основании теоремы задержки Х(1)=Е ат Е ат[Š— а<5 — т)и(т — 7)]=Е а' — Š— 'и(1 — Т), 1)0. Это — импульсообразный сигнал, причем мы видим, что факти чески Х (5) не имеет полюсов ни в точке 5 = — а, ни в какой- либо другой точке конечной 5-плоскости; область сходимости занимает целиком всю плоскость.

3 Сиберт у. м. 66 2. Оаностороннее преоаразованне Лапласа 2.4. [4ратные полюсы Процедура разложения на элементарные дроби несколько усложняется, если полипом знаменателя содержит повторяющиеся или кратные корни. Тогда к результату разложения должны быть добавлены дополнительные члены, соответствующие степеням повторяющегося члена вплоть до порядка самого полюса.

Это положение поясняется следующим примером. Пример 2.4.1 1 й1 й1 й1 йв (»+1)в(»+2) (1+1)в + (в-!11)в + в+1 + 1+2 ' Вычет й, и коэффициент й1 можно легко найти с помощью очевидной модификации приведенного выше метода разложения' йв= [И(в)(з+2))» з= ~ = — 1, 1 1 [Х (з) (в + 1) [, 1 ~ 1. Одних лишь этих двух членов недостаточно для представления Х (з) (для доказательства достаточно свернуть разложение в исходное выражение Х (в), положив й! = й1 = О).

Для нахождения йв и й1 можно применить несколько методов: а) Обращение разложения в исходную рациональную функцию и сравнение коэффициентов при соответствующих степенях: 1 й; й, 1 1 (в -1- 1)в + (в + 1)' + в + 1 в + 2 (в + 1)в (в + 2) (в -1- 2) + й; (в -1- 1) (в + 2) + й, (в + 1)в (в -1- 2) — (в + 1)' (в+1)'(в+2) Сравнивая коэффициенты при максимальных степенях, имеем й,в' — У = 0 или й, = 1. Сравнение коэффициентов при следующей по величине степени дает йввв -[- й1 (2з' + 2з') — Зв' = О или йв= = — 1.

б) Разложение Х (з) (в -[- 1)' в степенной ряд относительно (з + 1)! Х(в)(в+1)'-,1, — 1,, — 1 (3+1)+(в+1)'- " 1 (где мы' воспользовались разложением — = 1 — х -[- хе— 1+з — х' -[- ..., которое справедливо при [ х [ < 1, т. е. при в вблизи — 1). Тогда 1 — (в + 1) -1- (в + 1)» — ... 1 1 1 Х (в) — ( , , ( + 2.4. Кратные полюсы 67 И (в) й' . 1 ! 1 — (в + 2) (в + 1)» (в + 1)" (в + 2] (в -1- 1)" (з .1 1)в(в 1 2) — 1 й; й, 1 (+1) (+2) (+1) + +1 +2 ° Тогда — 1 ~(+1)в(.+2) ('+1) ~,= 1= — ' и т.д. Для оценки временных функций, соответствующих Ы-преобразованиям с кратными полюсами, необходимо знать временную функцию, преобразованием которой является 1/(з ! а)".

Решить эту задачу можно путем повторного применения следующей теоремы. ТЕОРЕМА УМНОЖЕНИЯ НА й Пусть Ю [х (1) [ = Х (з). Тогда Ю [1х(1)) = — — ' пХ (1) Й Доказательство следует непосредственно из дифференцирования основной определяющей формулы (2.4.1) Ю Х(в) = ) х(1) е-»вв(1 в Таким образом, мы получаем, что Ы [1е "') = — — — =, (2.4.2) »)в в+а (в+ а)' ' в общем случае Я' [1ле — а») (2.4.3) (»+а)л Ы Искомыми являются коэффициенты при отрицательных степенях, т. е.

й1 — — 1, й1 = — 1 и й1 =- 1, (Поскольку коэффициенты разложения функции Х (в) (з + 1)' в ряд Тейлора связаны с ее производными, формулы для й1 и й1, приводимые в математических книгах, часто записаны через производные, однако это не самый лучший способ вычисления указанных коэффициентов.) в) Вычитание члена й11(в -[- 1)', при этом функция будет содержать полюс лишь второго порядка. Повторение указанной процедуры устраняет кратные полюсы, и такая функция может быть разложена обычным способом: вв 2.

Одностороннее преобрааованне Лапласа В частности, возвращаясь к примеру 2.4.1, если 1 1 1 1 1 (а+1)»(«+2) (а+1)' (а+!)' + «+1 а+2 ' то х(1) = — 1'а-' — (е — '+ е-' — е —" 1) О. 1 В приложении к настоящей главе содержится краткая таблица изображений по Лапласу некоторых функций, а также перечень наиболее важных свойств Ы'-преобразовання. Более полные таблицы приведены в многочисленной литературе по этому вопросу. 2,б, Применение преобразования Лапласа для аналнза цепей В предыдущей главе мы показали, каким образом дннамнческне уравнения, характеризующие поведение цепи, получаются на основе двух видов нпформацнн: основных соотношений между напряжениями н токами в ветвях, описывающих элементы, н ограничений, определяемых нх взаимным соединением н законами Кнрхгофа. Поскольку в общем случае основные соотношения выражаются через пронзводные н/нлн интегралы, динамические уравнения, вообще говоря, являются дифференциальными уравненнямн.

С другой стороны, как указывалось в равд. 2.1, как элементы цепи, так н ограничения, обусловленные нх межсоедннепнямн, можно было бы описывать через соотношения между односторонними преобразованиями Лапласа для напряжений н токов в ветвях, В результате для ЛИВ-цепей получается система алгебраических уравнений, которые в решении н интерпретации значительно проще дифференциальных уравнений.

Начнем с замены основных соотношений для простых двухполюсных электрических элементов с сосредоточенными параметрами, изображенных на рнс. 1.1, эквнвалептнымн соотношениями в частотной области. Так, линейный резистор адекватно опнсывается как законом Ома для мгновенных значений о (1) = И (1), так н соотношением )'(з) = Ы(з) (2.5.1) междуна-преобразованнямн напряжения н тока, которое вытекает нз теоремы линейности. Математически (2.5,1) имеет тот же внд, что н закон Ома для «напряження» [г (з) на <резнсторе> Д, по которому протекает «ток» 1 (з). Естественно, )г (з) н 1 (з) не напряженке н ток, а нх изображения по Лапласу.

Тем не менее иногда очень удобно рисовать схему в «частотной области», где переменными являются изображения по Лапласу функций времени, действующнх в ветвях, а элементы описываются основнымн соотношениями между этими изображениями. 2.З. Прямененне преобразование Лапласа 99 (2.5.2) Зта теорема доказывается следующим образом. По определению '! о Интегрируя по частям, т. е.

используя формулу ~ иНр = ио— — и йи прн и = е — ", ди = — ж '" г(1, йо = — г(1, р = х (1) бх (1) получим —,— >~=,~е.— ~-;- [*н.— е= — *<о>-, .х<.>, бх00 в, о а где мы положнлнх(1) е — *'[' = О, как это н должно быть, если з находится в области сходнмостн Х (з) = 2'[х (1)). Таково дока- зательство этой теоремы. Применение ее для преобразования уравнения ( (1) = С о(о (1)/с(1, характеризующего емкость С, дает 1 (з) = Сз)г (з) — Со (О) (2.5.3) У() ! 1()+ Математически выражение (2.5.4) имеет ту же форму, что закон Ома для «напряження» У (з) на «резнсторе> 1/Сз, по которому протекает «ток» 1 (з) н последовательно с которым включен «нсточннк напряжения» о (0)/з, Таким образом, в схеме, соответствующей частотной области, емкость представляется в виде импеданса 2 (з) = 1/Сз, последовательно с которым включен источник «напряження» о (0)/а отражающий ее начальное состоянне.