Сиберт.У.М том1 (Сиберт У.М. Цепи, сигналы, системы), страница 11

Именно это свойство взаимной однозначности и обусловливает полезность преобразования Лапласа '). Так, предположим, что нам требуется описать оператор у (1) = / [х (1), (Л, (0)) ), характеризующий некоторую систему. Вместо прямого решения этой задачи часто проще и нагляднее оказывается описывать оператор ) Д а оператора зквиво>млтнм, если для каждого состояния и входного воздействия они дают один и тот же отклик при одинаковом состоянии и входном сигнале. ') Как видно из названия, Ы-преобразование является одним из многих вкладов в математику и физику маркиза Пьера Симона де Лапласа (!749 †18), который указал на взаимно однозначное соответствие между двумя функциямн и применил свои результаты для решения дифференциальных уравнений в статье истинная енн с загадочным названием <О том, что следует>, опубликованной в 1779 .

О г. днако я ценностью-преобразования для решения прикладных задач оставалась неизвестной в течение более ста лет, до тех пор, пока его по существу вновь не открыл и не распространил эксцентричный английский инженер Оливер Хевисайд (1850 — 1925), исследования которого оказали серьезное влияние на многие аспекты современной электротехники. который в явном виде устанавливает однозначное соответствие выходного сигнала у (1), 1) 0 каждому входному воздействию х (1), 1) 0 и каждому начальному состоянию, описываемому Л, (0), Л, (О), ... Л„(0). Конкретная система может иметь несколько эквивалентных ') функциональных, равно как и структурных описаний (например, схему цепи, систему уравнений в узлах, систему уравнений состояния). Наша главная задача в настоящей главе состоит в том, чтобы, пользуясь методами преобразования Лапласа, получить так называемое частотное представление функционального описания ЛИВ-системы.

В последующей главе мы будем изучать эквивалентное временнбе представление. 68 2. Одиостороиисс ирсобрззозаиис Лапласа У (в) = г [Х (в), (ь< (0))1, связывающий преобразования Лапласа для входного и выходного сигналов. В силу взаимной однозначности это эквивалентно искомому описанию. По причинам, которые будут описаны ниже, в называется комплексной частотой. Таким образом, оператор У (в) = г 1Х (в), (Х, (0)) 1, как говорят, характеризует систему в частотной области, тогда как у (1) = = 1 [х (1), ()ч (0)) 1 характеризует ее во временнбй области, вход выход временная область — ~ х(1) =з у(1) =1[х(1), (Х,(0))1, [] частотная область-<- Х (в) =з-"г'(в) = г [Х (в), ()<< (0)).

Преобразование Лапласа в качестве математического инструмента для вычисления отклика на конкретные простые воздействия полезно главным образом, для систем, функционально эквивалентных сосредоточенным ЛИВ-цепям умеренной сложности, скажем 3-го порядка. В случае нелинейных илн изменяемых во времени систем описание или оценка г" [. ] обычно ничуть не легче, чем 1 [ ]. Для простейших ЛИВ-систем (1-го порядка) с простыми входными воздействиями наиболее эффективны, как правило, прямые методы (как в примере !.7.1). Очень большие системы во всех случаях требуют технических вспомогательных средств; методы преобразования Лапласа сопряжены с обработкой матриц, содержащих алгебраические элементы (функции в), и включают нахождение корней полиномов высокого порядка, причем обе эти процедуры трудно реализуемы в компьютерах. Однако внутри своей, хотя и ограниченной, но важной области, преобразование Лапласа является удивительно эффективным средством для решения задач теории цепей, и, что еще более важно, оно дает понимание общих свойств и поведения систем.

2.2. Примеры Ы-преобразований и теоремы Пример 2.2.1 х(1) =1, 1~0, Х (в) = ) х (1) е з< й( = с 1е з<й< = — — е —" 3 3 Рис. 2.1. о при условии, что Ке [в[) 0 так, что е — *' - 0 при 1- оо. 2.2. Примири .с -ирсовразоззиий 69 Пример 2.2.2 х(1) =е-"', С)0, Ф Х (в) = ] е ~<е — *< й( = о = — Е <*+о< С 1 зЬи ~ я+а Рис. 2.2. при условии, что Ке [в[ — а так, что е — «.ь 1' - 0 при 1- оо. о о з о Заметим, что значения х (1) для 1к,.

0 не влияют на Х (в) (и поэтому„очевидно, не могут быть восстановлены из Х (в)). Следовательно, а) Я[11=2'[и(1)]= —, Ке[в]-~0; б) Ы' [е- '] = 2' [е- 'и (1)] = Ы [и ( — 1) + е "'и (1)] = —, я+а ' Ке 1в] > — сс хстороннее преобразование Лапласа, определяемое как Дву х (1) е '<й1, зависит от х (1) для 1 с' 0 и обладает к тому же рядом других свойств, которые будут кратко рассмотрены в приложении к гл. 14.) Важно также отметить, что интеграл, определяющий Х (в), часто существует лишь в ограниченной области в-плоскости, называемой областью (абсолютной) сходимости, Должно быть очевидным, что если х (1) не имеет особенностей, а скорость ее роста не превышает е"" для некоторого конечного значения о, о то произведение е-"х (1) будет абсолютно интегрируемым в правой полуплоскости, Ке [в] ) о,.

Минимальное (действительное) число а„при котором выражение е-'"х (1) абсолютно интегрируемо для всех о ) оо, называется абсциссой (абсолютной) сходимости. Область абсолютной сходимости может занимать целиком всю в-плоскость, так что а, = — оо. Это справедливо, например, если х (1) — импульс, т. е. если х (1) не равно нулю лишь на конечном интервале времени, С другой стороны, если х (1) растет быстрее, чем любая экспонента, например х (1) = е<', то области сходимости не существует и методы преобразования Лапласа не могут быть применены. Большинство представляющих для нас интерес Х (в) — оациональные функции (отношения полиномов относительно в). 66 Пример 2.2.4 «Ы) Ь т Рнс. 2лк 1 = — (1 — е 'г), при всех в 5 е — «т ) )пп = Т.

— Прим. ред. в о 2. Одностороннее преобрезоевнне Лапласа Корни полинома-знаменателя являются значениями в, при которых функция Х (в) — оо, они называются полюсами. Корни п линома-чнслителя называются нулями. По определению в обо ласти сходимости не может быть полюсов; для рацион льной а функции Х (в) =- л!' (х (1) ! областью сходимости является зона, лежащая правее самого правого полюса, Однако, как видно из следующих примеров, в наших исследованиях будут часто появляться преобразования, не являющиеся рациональными функциями. Пример 2.2.3 х(1) —.и(1. Т), г)О, Т>О, Х (в) -- ~ х(Ое "сй-- с )е- «Ч г'= - — е" =- — е" ..«« ! , ) †.

т т Рис. 2.3 при условии, что йе !в! ° О, так что егм — 0 прн 1 - оо. Совместно примеры 2.2.3 и 2.2! являются иллюстрацией общей теоремы: ТЕОРЕМА ЗАДЕРЖКИ' >: Пусть м. !х ()) ! -- Х (в). Тогда для Т > О, .к (х(1-- Т) и(1 -- Ти = Х(в)е-'г. (/1оказательство теоремы задержки следует непосредственно из простой замены переменной в (2.1.1). Заметим, что теорема задержки в общем случае не справедлива для Т < О.

Это можно показать с помощью Я'-преобразований х ()) = и (1) и х (1 -)- -1- 1) и (1 -с 1) = и (( + 1). Можете лн вы сформулировать условия, при которых она справедлива для Т < О?) «) В некоторых математических руководствах по преобрезовзиню Лапласа иззывветси теоремой смен«ения: т ее««з-"''(хм — )*«~ "«) с (см., изпример, Г. Лес. «Руководство к практическому применению преобрззо- взиин Лапласах. — М: ГИФ)бЛ. 1960, с.

21. — Прим. ред.). 2.2. Примеры й-преобрезоееннй 61 О <(< Т, О, 1>Т, « г т х<Е=! и м-(и — е=- 1 с а Заметим, что импульс х (() в примере 2.2.4 можно записать в виде разности двух временнйх функций х(1) = ! — и(Š— Т), 1)0, Т)0. Результирующая Х (в) представляет собой разность преобразо- ваний каждой из указанных функций времени. Зто также является примером общей ТЕОРЕМЫ ЛИНЕЙНОСТИ: Пусть Ы(х,(1Я = Х,(в) и Х(хт(1)! = Хе(в), Тогда 2' (ахх (1) + Ьхз (()) = аХх (в) + ЬХе (в), (И опять доказательство теоремы линейности следует непосредственно из (2.!.1).) Ясно, что нн одно из преобразований, полученных в примерах 2.2.3 и 2.2.4, не является рациональной функцией из-за присутствия е 'г.

Однако, вблизи точки в = 0 выражение (1/в) е-'г ведет себя почти также, как 1/в; у него имеется полюс в точке в = — О. Поскольку е-'г не имеет особенностей для всех конечных в, область сходимости в примере 2.2.3 соответствует Ке (в! > О, Несмотря на свою структуру, выражение преобразования Лапласа для импульса из примера 2.2.4 (1/в) (1 — е-'г) и не имеет особенностей для всех в, включая в — -- О. В самомделе, длясуществования 2'- преобразования импульсного сигнала из примера 2.2.4 никаких ограничений на в налагать не требуется„так что область сходи- мости в этом случае занимает целиком всю плоскость.

Теоремы линейности и задержки полезны тем, что позволяют без интегрирования находить 2'-преобразования многих интересных функций. Приведем несколько примеров. 62 2. Одностороннее преобразование Лапласа Пример 2.2.5 «п1 х(/) = е-"' — е-зе, /) О, 1 1 б — а Х(в) з-!-а з-1-6 (а+а) (з+ [1) ' ,-е! Область сходимости ограничивается либо Йе [в) > — а, либо Ке [в) > > — р в зависимости от того, что из них находится правее. е-Ле д-В е Рис. 2.5. Пример 2.2.8 />О, х (/) = вгп в,/ = — [е/"" — е-/"'), е 2/ 1 ! 1 1 Х (в) — —. — — —.

—. 2/ з — /ве 2/ з+ /ве йе [з[ > О. Пример 2.2.7 «1! 61п вА для 0 < / ( и/вс 0 для всех других / = в!и в,/+ ью мо l +В1цво[/ в 1'а(/ в ~» Рнс 26 з. Эта Х (в) не имеет полюсов ни в одной точке конечной в- плоскости. (Очевидные полюса в точках в = ~ /в, компенсируются в этих точках нулями выражения (1 -[- е еи/"").) В дальнейшем мы, как правило, будем опускать указание обла- стей сходимости, подразумевая при этом, что существует некото- рое значение о„такое, что для йе [в) > о, все преобразования, производимые в конкретной задаче, достаточно определены. 2.3. Обратное преобразование Лапласа Схема, предложенная в равд.

2.1 для анализа систем с помощью преобразования Лапласа, требует возможности обращения опи- санного выше процесса и восстановления х (/) по заданной Х (в), 2.3. Обратное преобразование Лапласа 63 Можно показать (это совсем не очевидно), что эта задача решается с помощью обратного преобразования Лапласа х (/) = Ы-'[Х (з)[ = — ~ Х (з) е" е/в, (2.3.1) с где интегрирование ведется вдоль соответствующего контура С в комплексной плоскости. Этот интеграл может оказаться исключительно удобным во многих случаях, однако возможности и эффективность его использования зависят от глубины понимания теории функций комплексного переменного, что выводит эту задачу за рамки наших исследований.

(Тем не менее эти вопросы мы еще затронем после знакомства с преобразованием Фурье в гл. 14.) Для наших целей вполне достаточной будет реализация обратного преобразования путем разложения Х (в) на сумму членов, каждый из которых является прямым преобразованием простой функции времени. Окончательное выражение для искомого преобразования получается с помощью теоремы линейности и теоремы единственности (одна из формулировок которой представлена ниже). ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ Если Х, (в) = Я [хх (/) 1 и Х, (в) = Ы [х, (/) ) существуют и равны в любой малой области в-плоскости, то Х, (в) = = Х, (з) во всей общей для них области сходимости, а х, (/) = х, (/) почти всюду для / > О. Эта теорема означает, что для практических целей обратное преобразование является единственным '1.