Сиберт.У.М том1 (Сиберт У.М. Цепи, сигналы, системы), страница 13

Аналогично, преобразуя уравнение и (1) = Ы( (1)/Ж, характернзующее индуктивность Е, получим У (з) = 1.з1 (з) — 1л (0) (2.5,5) (2.5.4) > ) Мы полагаем, что бх(1)/б! не имеет особенностей. Интересно отметить, однако, что правая часть выражения (2.5.2), несомненно, имеет смысл даже при наличии разрывов в х (1). Это говорит о том, что даже в подобных случаях (как мы убедимся далее в гл.

1!) Ых (1)/б! может быть придан определенный смысл. Для получения аналогичных основных соотношений в частотной области для линейных емкостей н нндуктнвностей нам потребуется ТЕОРЕМА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ: Пусть Ы [х (1) ] = Х (з). Тогда та или 1(з) = — „)у(з)+ —, 1 1(0) (2.5.6) Сопротивление Щ.) = Н((5) т(5) и и(5) 5(т) Емкость ) о(а) )т(5) = — 1(5) и-— Сл 5 ) ты .(о) (охм Индуктивность (а) )(5) = — ) (5) .).— 1.5 5 (2.5.7) 2.

Одностороннее преобразование Лапласа Следовательно, индуктивность в схеме, соответствующей частотной области, представляется импедансом Я (х) =- 1з с параллельно вклкгченным «источннком тока» 1 (0)1з, отражающим ее начальное состояние.

Полученные выше описания элементов в частотной области изображены на рис. 2.8. Заметим, что «переменными в ветвях» )т ( 5 ) Рис. 2.Ь*. Изображение простых ЛИВ-элементов з частотной области. для этих элементов являются изображения по Лапласу реально действу)ощих напряжений и токов. «Значениями элементов» в частотной области являются импедансы, соответствующие физическим элементам, а «источникн» появляются только при переходе в частотную область. Заметим также, что импеданс аналогичен сопротивлению, т. е.

он представляет собой отношение напряжения (изображения) к току (изображению); величина, обратная импедансу н аналогичная проводимости, называется полной проводимостью. В общем случае символ 2 (з) используется для обозначения импеданса произвольного элемента, а У (з) — для обозначения его полной проводимости. В силу теоремы линейности ограничения, наложенные во временной области законами Кирхгофа на токи и напряжения в ветвях, переносятся без всякого изменения в частотную область: временная область частотиаи область ~ 11(1) =0 <=~- ~~ 1)(з) =О, в сечении в сечении Е ру(1) = О о=:- ~ )У, (з) = О.

по хонтуру по контуру 2.6. Применение преобразования Лапласа т! При изображении цепи в частотной области эти ограничения представляются схематически путем соединения элементов точно таким же образом, как это делается при изображении цепи во временной области. Совместное применение импедансных методов и Я'-преобразования для эффективного решения задач, связанных с ЛИВ-цепями, лучше всего поясняется следующими примерами. Пример 2.5.1 В примере 1.7.1, пользуясь «классическими» методами, мы вы- числили отклик простой цепи первого порядка, изображенной на рис. 2.9, на постоянный входной сигнал. Результирующее Рис. 2.9.

Схема и примеру 2.0.1. Рис, 2.10. Реакция на постоянное входное воздействие. выражение с учетом произвольной начальной величины напряжения о (0) на емкости получилось в виде о(1) = 1р! ( (р(0) 111)е-пяс 1»0. (2.5.8) График этого выражения приведен на рис. 2.10, а изображение рассматриваемой цепи в частотной области — на рис. 2.11.

Со- Рис. 2.11. Иэображение в частотной области цепи на рис. 2,9. противление и емкость представлены здесь своими импедансами соответственно 1« и 11Сз, Для учета начального состояния последовательно с емкостью включен источник р (0)/з. Источник постоянного тока 1, присутствующий на схеме, соответствующей временной области, в частотной области заменен своим изображением 11х. Нам требуется определить )т (з) — изображение по Лапласу напряжения о (1). Рассматривая 15 (х) как узловое напряжение, Р*( + Рс+ !.с) У (5)— 5 +5 Ео (5) + („1 +Ф)+Й( +Ф ЕСР5 Уо(5) + Рв 5— Е ос(0) + 5 ..(ю).= з, с >о юю)Ю) = 4е"', Ю >О ~Рю+ Р,С 4 (О) Рю ,Ш ю;(О) = -1 ю(О) = 2 Я,=050м, Ят=)ом, 5=1ги, С=05Ф 1'ю(ю) = 2)ю !ю(ю) = 4)(ю 4 1) ам о(О) = — 1 ,(о) = 2 72 2. Одностороннее преобразование Лапласа можно, пользуясь теорией элементарных резистивных цепей, получить узловое уравненве ( ) + (У (5) — — ") ) Сз — — = О.

(2.5.9) Решая (2.5.9) относительно У (5) и пользуясь разложением на элементарные дроби, получим выражение р () П)С)+о(0)5 Р! ) О(0) — Р! 5 (5)- (1)РС)) 5 5+ (1/РС) которое с помощью примеров 2.2.1 и 2.2.2 можно сразу же опознать как изображение выражения и(!) =. К1+ (с(О) — )юю!) е — бале !)О (2 5 11) тождественного результату, полученному в примере 1 7.1. Естественно, данная задача настолько проста, что решается без всяких вычислений, а это лучше, чем использование преобразований. Пример 2.5.2 Случай, когда преобразование Лапласа оказывается наиболее полезным, иллюстрируется задачей, схема которой приведена на рис. 2.12.

Для решения составим уравнения в узлах для час- б Рис. 2.12. Изображение цепи к примеру 2.5.2; а — во временной области; б— в частотной области. тотного представления этой схемы, как будто это резистивная цепь с сопротивлениями в ветвях, равными импедансам. Выби- 2.б. Примевенне преобразовании Лапласа 73 рая напряжения Ус (5) и 1, (5) в качестве узловых переменных и учитывая, что сумма токов в узлах равна нулю, получим )2с (5) "о О) +(1'с(5) — — ) Сз -, '' -, '— =-О, ос(0) Х ус(5) р (5) 45(0) Рт 5 Ез 5 (2.5.12) 4 ОΠ— с ОО '( ) ~ То (5) = О. (2.5.13) Е5 Рв 5 Решая (2.5.12 — 2.5.13) относительно У, (5), после некоторых ал- гебраических преобразований получим Для обнаружения алгебраических ошибок анализ цепей при соста влении уравнений целесообразно вести в общем виде, пользуясь буквенными обозначени ями, так чтобы легко можно было проверить на состоятельность размерности суммируемых членов ( пр и этом надо учитывать, что з имеет размерность ( 1, Я С и Е/Р— размерность (, а ЕС вЂ” размер ность 15) .

Однако дл я дальнейшего продвижения полезно подставить в эту формулу значения элементов, заданные н а рис. 2 . 1 2 . Тогда получим "с (О) 5 (5 + 4) 1! (О) + 55+55+0 5 + ~+55+5 5 (2.5.15) Заменив изображения источников и начальных условий соответствующими функциями, заданными на рис.

2.12, и разложив на (1/2).(2/з) 2 (1/2) + (2/з) з + 4 ' ?о(з) (я) параллельное включение импедансов или 74 2. Одностороннее преобразование Лапласа множители выражение з' -+ 5з + 5 = (з -(- 2) (я + 3) получим 4 (зз + 4з + 2) 12 1 ~т(~) (з ( 1)(з„' 2)(в+3) +з(з-(-2)(з+3) (в+2) (я+3) 2(з-1-4) бзв ) 26зо+2?в+12 2 2 + (я(-2) (в+ 3) я(я+ 1)(в+ 2)(з+ 3) з в+1 (2.5.!5) Обратное преобразование дает с (1) = 2 — 2с — /+. бс — тг.+ з — з) 1 О что и является окончательным искомым ответом. Ясно, что Я-преобразование является мощным и эффективным средством для решения задач типа рассмотренной в примере 2.5.2. Однако алгебраические преобразования, которые были опущены, можно значительно упростить, используя тот или иной метод упрощения линейных резистивных цепей, рассмотренных в более ранних курсах, — эквивалентное параллельное и последовательное включение сопротивлений, формулы делителей тока и напряжения, метод суперпозиции, теоремы Тевенина и Нортона, методы преобразования многозвенных цепей и т.

д. Как видно из следующего примера, эти методы можно с тем же успехом применить к импедансам при изображении цепей в частотной области. Пример 2.5.3 Заменим левую часть схемы, изображенной на рис. 2.12, на эквивалентную ей по теореме Тевенина, как показано на рис.

2.13. ! 2 ?ь(я) ?() Рис. 2.13. Тевениновский оквиевлент для части цепи на рис. 2,12. Если считать цепь разомкнутой (т. е. /ь(з) = О), то используя метод суперпозиции и формулу делителя напряжения, получим 2/з 1/2 ос (О) с ( ) = (1/2), (2/з) о ( ) + (1/2) + (2/з) ' + — =У(з), 4Уо (в) ос (О) в+4 з+4 2.6.

Применение преобразования Лапласа 76 где У (я)-теве~иновский источник напряжения. Для нахождения тевениновского импеданса 2 (з) следует закоротить (приравнять нулю) источники )/о (з) и сс (О)/я и вычислить результат параллельного включения двух импедансов 1/2 и 2/зп Теперь эквивалентная схема становится такой, как изображена на рис. 2.14.

Рис. 2.14, Эквивалентная схема после замены левой части тевениновским акви- валентом. Снова пользуясь методом суперпозиции, формулами делителей и т. д.о можем сразу же записать выражение для Ут (з) з+4 з+4 делитель делитель напряжения тока (+ —.' ) 1+з -(-— в+4 зз+бз+6 ()+ зз+бз-( б о()+ з "с (О) з (з -(- 4) (ь (О) зз -)- бз + б з + зз 4- бз + 6 з что полностью соответствует полученному ранее результату. Упражненяя к главе 2 77 Продолжение табл.

2.! х(С) = Я 1[Х (вЦ Х (в) = Ы [х (С)) ыо в' -[- ю' в2+ ы« в+а (в + а) ' + юб определяется выражением Ы'-1 [Х (вЦ З1П Е)«С сов во! Е СОЗ «В«С Примечание: к (С) только для С ~ О. Линейности Задержки Умножения иа С Умножения иа е"ав Масштабирования пк« (С) + Ьхв (С) к (С вЂ” Т) и (С вЂ” Т) иХ«(в) + ФХ» (в) Х (в) е ', Т) 0 «СХ (в) сх (с] ч=). е а к (С) Ф=Ф- Х (в+ и) йх (с) бс с ~ х(т) «(т и х (0) Дифференцирования Ч=Ф- вХ (в) — х (0) Х (в) Интегрирования О начальном значении О конечном значении з1 1!ш вХ (в) в Ф 1пп ФХ (в) 2-О х (оо) Х (в) = Ы [х (С) [ х(С)=2 1[Х(вЦ с хс ( г) хв (С вЂ” ч) «Ст «=Ф- Хт (в) Хв (в) о Свертки Н 6 (С) 21 и (с) = 1 ! в+и и! Вло! е -ас УПРА)ННЕННЯ Н ГЛАВЕ 2 и! Упражнение 2.