Э.Д. Сергиевский, Н.В. Хомченко, И.В. Яковлев. Расчет нестационарных параметров одиночного ребра численными методами (методичка), страница 6

рСРЬУЬ ) Л*' ° =О 1 2 3 4 Рне. 3.7. Шаблон узтоаых точек ребра Теперь в виде трехдиагональной матрицы А Т = Р: о адг Т + — — Т, 2 То 2 То 3 То 4 То 5 вектор столбец 23 будет больше на величину — — Те. Если исходное ребро имеет переменные свойства (например цПЛг рСрдуд а нсопзг нли Хн сопзг), то каждый член квадратной матрицы А имел бы индекс соответствующего контрольного объема. Например лля 1=3 дискретный аналог был бы записан как: аедт иЗЬГ аЗПДГ агЛГ О 2 Т4+ 2 — 2+ +1 ТЗ- — Тг-ТЗ рЗСРЗДудл ~ д Как решить полученные уравнения? Самая простая альтернатива Гауссово преобразование (тл е манипуляция уравнением, с целью приведения коэффициентов к виду матрицы, а затем обратное преобразование).

Этот метод работает очень хорошо для линейных уравнений (задачи, с постоянными свойствами). Фактически, для задач, где используются трехдиагональные матрицы (1-(З задачи), общая методика Гауссового преобразования гораздо более эффективна. Например, 1-О задача теплопередачи приводит к генерации матрицы вида: Используя уравнения в строке (1), можем выразить Т~ через Т;. Т1 = — + — Тг ий ))Тг. А1 (3.56) а1 и1 Используя строку (2) можно связать Ть Т, и Т,, но предыдущие уравнения имеют отношение к Т, и Тт, следовательно, Тт и Т, могут быть связаны друг с другом: иг "'2 Ь2 А2 с2 А1 Ь1 Ь2 тг= — + — Т1+ — ТЗ= — + — — + — Тг + — ТЗ= иг аг аг аг аг ~и1 а1 аг 6~2 сгА1 Ьг — + — + — ТЗ и2 и2а1 и2 ~2 + с2й Ь2 с2Ь1 аг — с2Р1 а2 — с2Р1 ага1 или в основном виде; (3.58) (3. 59) а; — с;Р; 1 а,— ср; 1 Уравнения (3.58) и (3.59) полностью совпадают с уравнениями (3.32) н (3.34). Рекуррентные соотношения (3.59) определяют Р; и й через Р; 1 и й Однако, если Р~ и й решены, все Р, и й могут быть получены для 1< тУ.

Из уравнения (3.59) (при заданной температуре основания — граничное условие 1-го рода) после подстановки с1 = 0 следует: -31- /! =Ь!/о!! Я =с!1/а!. (3.60) Рассмотрим различные типы граничных условий на правом конце ребра (рис. 3.7). Пусть задана температура ребра Т = Т// — граничное условие /-го рода, тогда на другом конце последовательности Рь Ц имеем Ьу =О.

Это дает Рл/ = О, и из (3.58) получаем 0л =Тл (3.6!) С этого момента осуществляется обратная подстановка с помощью уравнения (3.58), которая даст все Т/. Пусть справа задан тепловой поток 9 — граничное условие 2-го Родо, тогда 9 =- — (Т!/ — Т// !) ~ Т/ч ! =Т//+Оп —. (3.62) ).,у Ах/ч Ал )./ч Из решения канонического уравнения знаем, что Т; = ь)/ + Р;Т„1, или (3.63) Приравняем правые части уравнений (3.62) и (3.63); Тэ/+ о = Рл/ !Тл/ + Ду Ах/Ч 7Ф /~*ч О/ч-! 9ы Выразим температуру на торце ребра: Т/ч = ьг/ (3.64) 1 — Рл/ ! Если торец ребра теплоизолирован, т.

е. дп = О, то Т„= ~и-! . (3.65) 1-Р// ! Если задано граничное условие третьего Рода (конвективный отвод тепла от поверхности торца), то 9„= — м(Т// — Ть/ 1)= а(Т// — Т ). 7./ч (3.66) Аху Выразим температуру на торце ребра: )" /ч' )ь/!' — — Т//+ Тн ! =аТи — аТ, Ахл А"л' )" /т' ~М Ть/ — + а = аТ„е Тл/ ! —, ~д„, ! " — А, аТ Ахал.//Тн ! (3.67) аАт+ ).у Подставим в уравнение (3.67) выражение (3.63): аТ дхч)г/(Ри 1Т~+Д// !) Тл/ = аАх+ 7,// г,у = .Т.~~).Ь ! (3.68) алх+).Л!(1 — Ри 2) Если принять температуру окружающейсреды Т = 0'С то Тг/ = ~ л ! или Ти = ~ — —. (3.69) ЛЛ + аАх -).МРИ ! а'!х 1+ — — Рц ! л Для определения значений С и К в уравнении (3.21) и значений М и Л/ в уравнениях (3.29) необходимо вспомннтзн что в разделе "метод конечных х разностей" (стр.

15) вуравнении(3.11) х-+с, где Ь,= —. Т, Если на правой границе задано граничное условие 2-го рода т.е С = 0 в уравнении (3.21), из уравнений (3.29) получим М = 1, Ф = — КАт. Подставив полученньш коэффициенты в(3.35) получим Т/ч = — —. (3.70) Д,у ! — КАх 1 — Рн ! Если на правой границе задано граничное условие 3-го рода т.е К = 0 в уравнении(3.21),тоМ=, %=О и ТЛ = ~ ! -- (371) йл -! 1+ Сдх (ей — РЛ/ ! Сравнивая выражения (3.70) и (3.64) получаем К = —. Сравнивая Оп/ )ь а2 выражения (3.7!) и (3.69) получаем С = — = В!. 7. Можно сделать вывод, что при равномерной сетке и испохюовонии в мепюде конечных разностей граничного условия первого родо, методы контрольного обьгма и конечных разностей совладают. 4.

ПРИМЕРЫ Ч!(!СЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ОХЛАЖДЕНИЯ ОДИНОЧНОГО РЕБРА Пример 2Гв/. Дано: длина ребра /.=0,1 м; толщина Ау=0,002 м; ширина Ах=1м; теплоемкость Ср =500 Дж/(кг.К); теплопроводность 7.=400 Вт/(м К); з плотность р=10000 кг/м; температура окружающей среды Т =0 'С; коэффициент теплоотдачи а=5000 Вт/(м К). 2 А) Анагитическое Реьчение. Дифференциальное уравнение; /7 Р сс -33- -32 Р;= а; — с;Р! ! Ар — Аигр/ ! с/Я ! АиЯ ! й! а! — сР; ! Ар — АнР; 6/ Π— -В „О=О.

ре Граничные условия: при с = О, црн "=1, 0=1; О=О. 0(8) = сй((В!роб У (! ъ)) ОЛ(В „б)'62 Решение дифференциального уравнения: Табл. ! 0,6 0,7 0,8 0,9 1 ,0012 0,004 !,Э 1О' 4,7 1О' 2,7 1О с 0 О,! 0,2 0 1 ОЭ27 010 КПД ребра: Чроол Чнхоао гле Чидоок =аШ(Т000 — Тоо)! 08 оо Оо ецо 06 Оо 04 02 02 о о Безразмерный вид дифференциального уравнения: П=2(Лго-Л»)=2(1+0,002)=2,004 м; Р = ЛуЛ2=0,002!-Ч!,002 м; В1 = — =1,25; аб й В1 б = — — = — ' — ' — — — — '=125 25.

а/ Пй 5000 О,! 2,004.0,! 7. Р 400 0,002 Результаты аналитического решения дифференциального ураененил представлены в таблице ! и на рис. 4.1. Ад )„р О((В]тб)02(1-~)1 сц Во,б гй(в]роб/ 06(125,25) Тогда т! =- (Во б)! (125,25)!/2 Б) Численное решение методом кантрагьиага объема. Разделим ребро на 20 контрольных объемов, тогда: Ат=Е/ О, Лх=бх, =Ьх„=0,005 (м], Гг К ! 400 -З 1 Ак = — г-ЛуЛг= — Лубг — = — 2 1О 1 — -=0,32 (кг/с], (Ьх)г Ср (бх), 500 0,005 Г„, 2. 1 400 Э 1 Ан = "' ЛуЛг= — ЛуЛг — = — 2 1О 1 — =0,32 [кг/с].

(бх)оо Ср (Ьх)„500 0,005 Для расчета стационарного охлаждения ребра: аПАт 5.10 2,004 0,02 А»=Ад+ Ал +.— =0,32+0,32+ — -- — ' ' =0,74 (кг/с]. Ср 500 Прямая прогонка — нахождение Р, и Ьг; нз уравнения (3.59): Т, где /] = О, Я = 1, Т! = 1 (здесь Т! = — 1- = 0). 7 оси Обратная прогонка — нахождение Т; из уравнения (3.58), где прн граничном условии 2-го рода на правой границе: То! =, Т// ! = Р// 1Тр + ь)/ч 1. ь)/у-! 1-Ри-! ' Для расчета иестациоиарного охлаждения ребра: В =, при Лг = 1 [сек] В=0,1 [кг/с], рАхЛубг Л/ АР=Ай+А/р+ +В=2 0,32+ ' ' 40,1=0,84 [кг/с], аПЛх 5 1О 2,004. 0,02 Ср 500 /й !+А/ Аий 1+ВТР А О Р~ ЛУЛ тО О где г/= ВТ» = Р.

и; — с;Р; ! Ар — А/рр/ ! Лг Результаты численного решения представлены для стационарного режима на рис. 4.1, а лля нестацнонарного на рис. 4.2 с шагом по времени 1 сек. ОО 06 ОО 1 о 5 оо 55 20 Рнс. 4.1. Станнонарное охлаждение ребра Рис. 4.2. Нестациоиарное охлаждение ребра Пример г)в 2. Дано: длина ребра Е=О,! м; толщина Л 0,002 м; ширина Лг=1м; Э теплоемкость Ср =500 Дж/(кг.К); плотность р=10000 кг/м; температура окружшощей среды Т, =0 'С; коэффициент 2 теплоотдачи а=500 Вт/(м К); теплопроводность Х=!000 Вт/(м К). паа о '" зо 'п(г.

г )=а а'о — -б,а=а — о=а а)в „а)'г) -О)! и гп а ) гп понг) "он( о=а а:-а,он,а г оп( «:о аг,ои а,( гн(во , ~ ' ,а(з,о ()' -' :Р'~~" " г' ага(()аззз)на(В()озган)о, зг)аг(агаг(( а ( а)но~~ а'а) ~о,зг ) ) Т ' — аг~ — наг — - = -г ( о ), с„(а., са г, а д,=( г,-(( В= ' -а) г „ о зоп пао, н, .гп'*.. (иана'оаг а(,г,(„ -3б- ЛИТЕРАТУРА 1. Крейт Ф., Блэк У. Основы теплопередачи: Пер. с англ.

Мл Мир, 1983. 2. Мотулевнч В.П., Жубрнн С:В. Численные методы расчета теплообменного оборудования.Мл Издательство МЭИ,1989. 3. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. Мс Энергоатомнздат, 1984. 4. Самарский А.А. Введение в численные методы. Мх Наука, 1997. 5. Сергневеннй ЭДч Хомченко Н.В., Овчннннков Е.В. Расчет локальных параметров течения и теплообмена в каналах. Мл Издательство МЭИ, 2001. СОДЕРЖАНИЕ 1.

ПРИНЦИПЫ ТЕПЛОПЕРЕДАЧИ . 2. ПЕРЕНОС ТЕПЛА В РЕБРАХ 3. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ . 3.1. Метод конечных разностей 14 22 3.2. Метод контрольного объема . 4. ПРИМЕРЫ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ОХЛАЖДЕНИЯ ОДИНОЧНОГО РЕБРА.. 31 ЛИТЕРАТУРА. . 36 .