Э.Д. Сергиевский, Н.В. Хомченко, И.В. Яковлев. Расчет нестационарных параметров одиночного ребра численными методами (методичка), страница 2

Температура окружающей среды Т,, средний коэффициент теплопередачи равен а, причем обе эти величины считаются постоянными. Окружающая среда Рнс. 2.!. Ребро постоянного ппперечнпгп ссчсипя Чтобы найти распределение температуры в ребре, а затем тепловой поток от его поверхности, необходимо сначала составить тепловой баланс для элементарного объема ребра. В установившихся условиях кондуктивный тепловой поток, подведенный к элементарному объему ребра в сечении х, равен сумме кондуктивного теплового потока, отводимого нз объема в сечении х+ Ат, и конвективного теплового потока, отводимого с поверхности элементарного объема: с/х = с/х~д + и .

Выражая два кондуктивных члена с помощью закона Фурье, а конвективный член с помощью закона Ньютона, получаем с/Т г/Т вЂ” хг — =-)сà — ~-аИЫТ(х)-Т ~1 ся" х /х хчьх (2.2) (2.4) где П вЂ” периметр ребра. Разделив все члены на Ахи перейдя к пределу при Ьх -ь О, получаем дифференциальное уравнение второго порядка относительно температуры: — — — 1Т(х)-Т 1=0. (2.1) с/х2 ) г Уравнение (2А) можно привести к безразмерному виду, вводя Т(х) -Т„ безразмерную температуру 9(х) = и безразмерную линейную Тесн Т с координату Р, = х/Е, где Т „— температура основания ребра (х=О).

В новых переменных уравнение (2.1) записывается следующим образом: ИО аПЕ ,2 ЛГ~ а аПЕ Безразмерный комплекс можно упростить, приведя его к форме, напоминающей число Био. Произведение периметра на длину равно боковой площади поверхностиребра, Р б ПЕ Втакомслучае П/. рсб Г Е (2.3) Р Р где à — площадь поперечного сечения ребра. Комплекс, выраженный формулой (2,3), имеет размерность длины, и, следовательно, его можно рассматривать как характерный линейный размер ребра / = ПЕ /Р. 2 Следовательно, число Био для ребра можно записать как а/ аПЕ ЕП В1 еб= = — В1.

)Г Р Можно было ожидать появления в какой-либо форме числа Био в задаче о переносе тепла в ребре, поскольку в этой задаче совместно действуют теплопроводность и конвекция. Безразмерное уравнение переноса тепла в ребре (2.2) можно теперь записать, используя число Био; ,/29 — -(В,б)9 = 9. г рс (2.5) Решение уравнения (2,5) выражается соотношением 9(ч) = с! ехр( — чч/В(рсб ) + с2 ехр(чти(р б ) . (2.6) Значения двух постоянных интегрирования можно определить, как только будут заданы два граничных условия. Чаще всего известна температура основания ребра Т „; запишем это в виде граничного условия: или др„=-) Р— = — (Т „-Т„)— йТ ХГ аО (2.1 1) х=б 1=0 Теперь определим распределение температуры в ребре и тепловой поток„ >тводящийся от ребра, при задании каждого из трех граничных условий. Граничное условие 1 рода.

Для ребра бесконечной длины распределение емпературы определяется выражением О(б) = = ехР>- с )В>реб ). Т(8)-Т„ Тсс Но длина ребра является неопределенной, поэтому удобнее найти >аспределение температуры по х: О(х) = (х) Т > ех аПх (2.12) Тепловой поток через основание ребра выражается формулой Т(0)=Т „ (2.7) Это соотношение будет служить первым граничным условием. Возможны есколько вариантов второго граничного условия. Рассмотрим три наиболее асто встречающихся граничных условия.

Граничное условие 1 рода. Очень длинное ребро, такое, что температура .а его торце равна температуре окружающей среды: Т(7. — + сс) = Т,, (2.8) или О(1) = О. Граничное условие 2 рода. Ребро с теплоизолированным торцом при а6 с=!,: — =О, или — =О. (2.9) с(х «=2 Граничное условие 3 рода. Ребро с конвективным отводом тепла от юверхности торца. В этом случае граничное условие имеет внд — ).— ~ =а)Т(б) — Т, ], «7Т) (2,10) >'х «=б а6 аХ.

— = — О(1). )с Используя граничное условие (2.7) и одно нз трех граничных условий 2.8) — (2.10), мы получим три различных распределения температуры в ребре >остоянного поперечного сечения. Если распределение температуры в ребре известно, можно найти уммариый тепловой поток, отводящнйся от ребра. Проще всего найти этот епловой поток, рассчитав кондуктивный тепловой поток через основание ебра: а б = >аП).г (Тоси Тс,) = ~В(б (Тоси Т ) (2.13) ).Р 7.

Граничное условие 2 рода. Для ребра с теплоизолированным торцом распределение температуры имеет вид 1/2 ! (2.14) Т и — Тм сЛ( ГВ1 Г) а тепловой поток от ребра определяется соотношением Чрсб = >)В>рсб — (Тоси — Тс)гй( ГВ>рсб). "хг рс 7 оси с (2.15) Граничное условие 3 рода. Для ребра с конвективной теплоотдачей на поверхности торца распределение температуры выражается формулой О(1) = ТД) Т сЛ((!(В(рсб)(1 — Ц)]+и)В(рсб(Р!П()зЛ~.~В(рсб)(1 — ~)] , (2.16) 7осн Тс сЛ(ч В>рсб ) + /В> рсб (р! Пб) зЛ(йВ> б ) а тепловой поток определяется следующим образом.

)р ай( ГВ(раб)+ ГВ(рсб(Р!П()сЛ( ((В(рсб) Описанный выше метод расчета распределения температуры а ребре и теплового потока от ребра применим только для ребра постоянного поперечного сечения. Если ребро суживается к концу, площадь поперечного сечения переменив и распределение температуры определяется более сложным соотношением: Удобным параметром для расчета теплового потока от ребра является коэффициент эффективности ребра. Коэффициент эффективности ребра определяется как отношение теплового потока от ребра к тепловому потоку Ореал (2.18) >)ил«а> Идеальное ребро рассеивает максимальное количество тепла при заданных форме ребра и температуре его основания.

Идеальное ребро имеет бесконечно большой коэффициент теплопроводности, и, следовательно, температура его поверхности по всей длине постоянна и равна температуре основания. Реальное и идеальное ребра имеют одинаковую форму н одинаковую температуру основания. Тепловой поток от идеального ребра Чилам> = агреб(Тоси Тс) где ррсб — площадь поверхности ребра, омываемой жидкостью с температурой Т, . Тепловой поток от реального ребра выражается соотношением с)рсак = т!а>'раб (Тесн Ти>) ° (2.!9) или Теперь можно найти конкретные выражения для коэффициента эффективности ребра. Например, коэффициент эффективности ребра с постоянным поперечным сечением и теплоизолированным торцом определяется следуюшим образом; ,~Вь г (2Р!))(Т вЂ” Т )!]э ГВ! ч ндсвв ипь(Гссн — т ) 1 Ц = ~ !п,]В!Рсб .

(2.20) ч'Выгреб 11 теплоотдачи велик, число Био возрастает и ребра не столь эффективно усиливают теплоотдачу. Если в среде происходит фазовый переход в результате кипения или конденсации, коэффициент теплоотдачи становится очень большим. Следовательно, при фазовом переходе в окружающей среде действительно возможна ситуация, когда ребро будет снижать теплоотдачу от плоской стенки.

3. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ 1,0 Г!ернметр П Площадь сечения 2г сс Пса !с )г о,а О,б Т1 0,4 0,2 20 ш В! Рнс. 2.2. Коэффнцнсвт эффективности ребра постоянного поперечного ссчсввк с тсцвонзовнрсваннмм торцом График зависимости (2.20) представлен на рис. 2.2. Видно, что коэффициент эффективности быстро снижается с ростом числа Био. Ребро с болыцим числом Био рассеивает тепло хуже, чем ребро с меньшим числом Био. Если коэффициент эффективности ребра мал, то может возникнуть ситуация, когда поверхность без ребра отдает тепло интенсивнее, чем поверхность с ребром.

Этого следовало ожидать. Число Био выражает отношение кондуктивного термического сопротивления к конвективному термическому сопротивлению. При большом числе Био кондуктивное термическое сопротивление велико по сравнению с конвективным, и поэтому температура существенно падает вдоль ребра. Если Био велико, площадь, которая могла бы эффективно отдавать тепло посредством конвекции, занята ребром с низкой теплопроводностью, и в итоге наличие ребра вызывает снижение теплоотдачи от стенки. Для ребер нужно выбирать высокотеплопроводные материалы; следовательно, металлические ребра предпочтительнее ребер из теплоизоляционных материалов. Если коэффициент конвективной Одним из методов численного решения многих задач физики и техники, описываемых уравнениями математической физики, является метод конечных разностей.

При использовании численного метода конечных разностей твердое тело представляют в виде совокупности узлов. Для каждого узла записывают баланс энергии, получая в итоге алгебраическое уравнение для температуры в каждом узле, Отдельные уравнения записывают для каждого узла, расположенного на границе твердого тела. В результате применения метода конечных разностей получают л алгебраических уравнений для и узлов в твердом теле. Эти л алгебраических уравнений заменяют одно уравнение в частных производных с соответствующими граничными условиями.

Если узлов в твердом теле сравнительно мало, можно решить полученную систему алгебраических уравнений стандартными математическими методами. При возрастании числа узлов для получения точного решения требуется применение ЭВМ. Чтобы проиллюстрировать метод конечных разностей, рассмотрим двумерную задачу теплопроводности ]1]. Во-первых, разделим твердое тело на равные элементарные прямоугольники. Представим, что масса каждого элементарного прямоугольника сосредоточена в его центре, называемом узлом. На рис.