Э.Д. Сергиевский, Н.В. Хомченко, И.В. Яковлев. Расчет нестационарных параметров одиночного ребра численными методами (методичка), страница 3

3.1 показана внутренняя область типичного двумерного твердого тела. Каждый элементарный прямоугольник имеет длину Ак в направлении х и длину йу в направлении у. Узел, обозначенный символом О, окружен четырьмя соседними узлами. Представим, что каждый узел связан с соседними узлами тонкими теплопроводными стержнями. Тепло может передаваться только по этим воображаемым стержням. Другими словами, кондуктивный перенос тепла между узлами 0 и 1, который в действительности происходит в непрерывном материале через поверхность раздела высотой Ьу, мысленно заменяется переносом тепла через воображаемый стержень, соединяюший узлы 0 и 1.

В установившихся условиях баланс энергии для узла 0 при отсутствии внутреннего тепловыделения записывается в форме -13- 4 К„О=О (3 1) ш! Затем, применяя зпюи Фурье для каждого члена, выражаем это уравнение через температуры в узлах. Например, первый член принимает вид дт т — т 41-+О = )сР = )с(Ьусс ) дх Ьх где градиент темперпгуры определяется посередине между двумя узлами, а Ы вЂ” толщина двумервпю тела по нормали к плоскости чертежа. Аналогичные выражения можно записать для остальных трех членов: Т2 — !4 Т3 — Т11 Т4 — ТО ц2-40 ~'Ьхгс ц3-+О )"Ьу~ ° ц4 ьо Ьу Ах Ьу Окруииюии» среда т Рис. 3,2.

Расположение узлов в двумерном твердом теле, омываемом жидкостьЮ Рис. 3.1. Расположение!зппп внутри лвуисрного твсрпьгьтсла Т! + Т2 + ТЗ + Т4 — 4ТО = О (3.2) Если ячейки сеткп имеют квадратную форму, то Ах=Ау, и каждое из уравнений для теплспсго потока становится независимым от формы тела. Однако пагрешнастс юмены градиента температуры конечной разностью двух температур заисит ат размера каждой ячейки. Чем меньше ячейка, тем точнее аппроксиинруется градиент температуры. Подставляя четы)х конечно-разностных соотношения в уравнение (3.1), можно видеть, что ыя сетки с квадратными ячейками при постоянном коэффициенте теплопроподности баланс энергии для узла О сводится просто к соотношению межяу температурой в этом узле и температурами в четырех соседних узлах Соотношение вида (3.2) применимо ко всем внутренним узлам, т.е.

ко всем узлам, не лежащим на границе твердого тела и окруженным со всех сторон равноотстоящими квадратными ячейками сетки. Иначе выражается баланс энергии для узлов, расположенных на границе твердого тела. Рассмотрим, например, узел О, расположенный на границе твердого тела, которая находится в контакте с окружающей средой. Температура среды равна Т, коэффициент конвективной теплоотдачи от окружающей среды к твердому телу равен а. Соответствующая схема представлена на рис.

3.2. Каждый граничный узел расположен в центре соответствующего элементарного прямоугольника. Отметим, что масса, соответствующая каждому граничному узлу, равна половине массы, соответствующей каждому внутреннему узлу, Узел О, расположенный на границе, может обмениваться кондуктивным потоком тепла с тремя соседними узлами в твердом теле и, кроме того, конвективным тепловым потоком с окружающей средой. Следовательно, баланс энергии для узла О записывается следующим образом: ц!-ьо + ц2-ьО + цз-+О + ц о-ьо = О Первые три члена выражают кою!уктивный тепловой поток в твердом теле, а последний — конвективный тепловой поток к узлу О от окружающей среды, параметры которой обозначены индексом ьп.

Подставляя конечноразностные аппроксимации закона Фурье для первых трех членов и закона Ньютона для последнего члена, получаем )сЬусс + 3.— с( + ). — ас — — + иЬусу(т — ТО) = О. (33) т! -то ь т2-то А т3-то Ь 2 Ьу 2 Ьу Соотношение (З.З) можно упростить, если выбрать сетку с квадратными ячейками, Ьх = Ьу. В этом случае оно сводится к виду 1 (аЬх) ( ( аАт 11 — (Т2 +Т3)+ Т! 4~ — ~т — 2+~ — )~ТО =О. (3.4) 2 Температуры в граничных узлах зависят от температур в соседних узлах и от параметра ГХЛХ А.

Этот безразмерный комплекс имеет форму числа Био, Если для повышения точности или при больших размерах тела требуется решить систему большого числа разностных уравнений, желательно применять ЭВМ. При расчете на ЭВМ распределения температуры в двумерном или трехмерном твердом теле удобно использовать метод обрангения матрицы. Этот метод основан на представлении системы уравнений баланса энергии для узлов в форме матрицы. Итак, в качестве основных неизвестных в численном методе рассматриваются значения зависимой переменной в конечном числе точек (называемых сеточными узлами или узловыми точками) расчетной области.

Метод включает в себя получение системы алгебраических уравнений для этих неизвестных и алгоритм решения этих уравнений. 14- -15- 3,1. Метод конечных разностей Обычная процедура получения конечно-разностных уравнений заключается в аппроксимации производных в дифференциальном уравнении рядами Тейлора, содержащими несколько первых членов (4). Разложение функции Т(х,!) в ряд Тейлора: Т(х+ Ьк,!) = Т(к,!) ч Тх!х,!)Ьх+ Т (х,!) — + ...

(Ь )' (3.5) Т(к — Ьк!) = Т(х, !) — Тк (х з)Ьх + Тк» (х !)— (Ьх) Если оборвать ряд на втором члене, то получим Т(х ь Ьх,!) — Т(х !) дТ Т (х,!)= —- и — †прав разностная производная; Ьх дх Т(х, !) — Т(х — Ьх, !) Т (х,!) = — левая разностная производная. к Вычитая из (3.5) уравнение (3.6) получим Т(х ь Ьх,!) — Т(х — Ьк„!) =Т (х,!)Ьх+ Т. (к,!)Ьх; Т(к+Ьх,!)-Т( -г,!) Т (х,!) = — центральная разностная производная по х. к 2Ьх Складывая уравнения (3.5) и (3.6) получим Т(к+ Ьк!)+ Т(х — ок!) = 2Т(х!)+(Ьк) Т (х !); Т(хеЬх,!) — 2Т(х !)+ Т(х — Ьх,!) д Т Ткк(х !) = вторая центральная (Ь )' дх разностная производная по х.

(3.6) Дискретный аналог представляет собой алгебраическое уравнение, связывающее значение Т в некоторой группе узловых точек. Это уравнение получается из дифференциального уравнения, описывающего изменение Т, и, следовательно, оно несет ту же физическую информацию, что и дифференциальное уравнение.

То, что в дискретный аналог входят значения только в нескольких узловых точках, является следствием кусочного характера выбранных профилей. При этом значение Т в некоторой узловой точке оказывает влияние только на распределение Т в ее ближайшей окрестности. Предполагается, что при очень большом числе узловых точек решение дискретных уравнений сближается с точным решением соответствующего дифференциального уравнения. Это следует из следующего соображения; при сближении узловых точек изменение Т между соседними точками становится малым, и тогда конкретный характер предполагаемого профиля становится несущественным. будет иметь вид (3.10) Аналогично можно получить выражения для разностных производных по второй переменной, например: Т(х,!+ Ь!) — Т(к,!) Т,(к,!) = — правая разностная производная по г; Ь! Т(х,!-~- Ь!) — 2Т(к !)+ Т(х,! — Ь!) 2 — вторая центральная (Ь!) разностная производная по !.

Таким образом, производная может быль локально заменена тем, что называется выражением конечной разности. Для этого требуется, чтобы функция была разделена на очень маленькие отрезки. На каждом отрезке производная может быть аппроксимирована эквивалентом конечной разности. Например, допустим, мы имеем нестационарную теплопередачу в одном направлении с внутренним тепловыделением. Тогда уравнение переноса рср — =). +й „. дТ дТ (3.7) дх Рассмотрим решение данного уравнения методом конечных разностей на примере охлаждения одиночного ребра. Уравнение (3.7) примет вид дТ д Т аП(Т(к) — Т ~) ~ д! ах2 Преобразуем данное уравнение к безразмерному виду; рСРЬ~ дО д20 2 аПОЬ~ ). д! ах 2 Ь7. рСРЬ Л 1 аПЬ .ПЬ .

х где 2.! а! Го' Л. Р' "" Ь оО дО Следовательно: — В!реп О. оРо дг2 Ре Далее используется следующая система обозначений: О-+Т; Го-+г; г,-ьх; В)рео-эЬ 2 Т(х,!) = Т Т(х+ Ьк,!) = Тя! Т(х,!+ Ь!) =Т; 411 Т(х — Ьх, !) = 7; ! 7,' Т(» ! Ь!) — Т' !' ! где ! — номер узла сетки по координате, а у — номер узла сетки по времени. Перепишем уравнение (3.10) в общем виде: ат а'т — = — — Ь Т, при г>0, 0<х<1. (3.1 1) д! дк2 что связано с соблюдением определенного соотношения шагов по времени и координате, т.е. Лг/(Лт) < 0,5 (критерий Куранта).