Э.Д. Сергиевский, Н.В. Хомченко, И.В. Яковлев. Расчет нестационарных параметров одиночного ребра численными методами (методичка), страница 4

Выбор большого шага 2 Лг связан с большой погрешностью вычислений, и наоборот, маленький шаг по времени приводит к нарастанию ошибки округления результатов счета. Этого недостатка лишены неявные схемы, в которых параметр | выбирается как О < | <!. Неявная схема: ? =1. Т .— 2+Ь (Ат) + — — Т +Т. 1 = — — Т.. 2 (' ) 1 ( ) ! — ? Л| ) ' " Л| (3.! 6) где 1=1,2,...?!|-1, ?ы!,2,,М. Коэффициенты уравнения (3.13) в каноническом виде: Ьй=с;;= — 1 а; = — 2+ 6 (Ат) е — — =>)а; !>)Ь; )+!С; !.

(3.17) Т; 1 — 2 1+Ь (Ат) + Т; +Т;„! 2 2 (Ат) Л )д ! (Ат) =-(Т, ! . 1+?;..1 1) — 2 — 1 Т, ~ Л (3.19) где 1=1,2,...|ч'-1, ?г1. (Лх) ты ! Л| Система уравнений (3.16) может быть записана в матричном виде А Т=?3 . (3.18) При неявной схеме необходим более сложный алгоритм вычисления сеточной функции Т,, по сравнению с явной схемой. А именно, на каждом временном шаге приходится решать систему алгебраических уравнений (3,16), матрица коэффициентов которой имеет трехдиагональный вид с преобладанием элементов главной диагонали (что отвечает условию (3.!7)). Соблюдения этого условия можно добиться варьируя |'.

Последнее условие важно для дальнейшего шага — решения системы уравнений. Например, для устойчивости прогонки — эффективного метода решения систем уравнений с трехдиагональной матрицей, необходимо соблюдение условия (3.17). Неявная схема: Т=й,б. Из уравнения (3,14) следует: Вес вторых производных аппроксимируемых на текущем (|) и предыдущем ( | — Лг ) временном слое будет одинаков. Коэффициенты уравнения (3.13) в каноническом виде: Ь. =с.= — 1 Ь и| а, = — 2!+Ь (Лт) 2 2 (Лт) к Лг ~)а; )>/Ьб'+!сй) . (3.20) д; 1=-(Т 1 1+Т ! 1) — 2 — — ! ТЬ? ((А )' Лг Матрица — столбец в правой части (3.18) вычисляется в отличие от случая неявной схемы (~'=1) по трем значениям функции Т в соседних узлах в предыдущий моментвремени(| — л|) ( т, ! 1,т; 1, и т, ! .

1'1. Следует заметить, что записанные выше уравнения, как конечно- разностные аналоги уравнения в частных производных, справедливы только во внутренних точках пространства, т. е. для значений Т;., с индексами 1=1,2,..гт'-1 и ?ы1,2,...М. Для построения алгоритма численного расчета Т; необходимо учесть граничные и начальное условия. Дальнейшим шагом должны быть конечно-разностная аппроксимация граничных условий и дискретизация начального условия. Начальное и граничные условия задаются на граничных отрезках расчетной сетки, но могут включать в себя и значения сеточной функции 70 в прилежащих точках сетки.

Рассмотрил| аппроксимацию граничных условий вида — = -(СТ+ К), дТ (3.21) дт задаваемых на правой границе расчетной области (х=!). В частности при С вЂ” О, условие (3.21) в задаче теплопроводности означает поддержание на конце ребра (или на стенке) постоянной плотности потока, равной К (граничное условие 11 рода). Если К=О, то условие (3.21) соответствует граничному условию третьего рода (задан закон изменения теплового потока, коэффициент С в этом случае равен безразмерному коэффициенту теплообмена Вз). Производную в левой части (3.21) можно представить, как правую разностную производную, т.е.

Т?т -Т|у 1, ' " =-(СТ„+К), (3.22) 1 КАт или Тр = — — Т„, (3.23) 1+САт '| 1+СЛт -20- -21- Конечно-разностный аналог условия (3.21) имеет первый порядок точности, в то время как основное уравнение ранее представленное в дискретном виде, имеет втором порядок точности па координате х. Актуально представить граничное условие в дискретном виде со вторым порядком точности. Рассмотрим дополнительный полуцелый узел с номером /=Л' — ! /2, отстоящий от узла Лг на расстоянии Ат/2 (рис.3.4).

/=лиг Ль/ Рис. 3.4. К аппроксимации граничного условия (дт1 (дт') (дгт) л дзт( /г)' Тогда для любого /: ~ — 11 = ~ — ~ — — — +— +.... (дх~„1/2 '(д /„~дхг! (3.24) Отсюда Из основного уравнения (3.11) следует, что д Т 2 ТУ/ — Т///' 1 2 — =Ь Т/у + д 2 / (3.25) Приравняв правые части (3.24) н (3.25), получим (дТ') Т/у/ — Тм 1/ производную по х в узле /=лг — 1/2, т.е. ~д 1,, „„2(л /г) Производная ~ — ) = — (СТи + К), это следует из граничного условия. (дТ) д ~у/ Подставив выражения для первых производных в соотношение (3.26), выразим Т// в явном виде — (3.27); 2( 2КЛ/ 1 (л ) ~ т, Тн, =— Т„,/ ,2Ь2 „2 ') / ( )2Ь2 ) / ( ) +(,СА„1 2Л,( ...., +СЛх+1 2 2Лг 2 2Л/ — ) — ~ — ~ = — Ь Т// + — (Т// — Т/о / 1).

(3.26) (-),-(-) дТЗ (дТ'1 Лх 2 Ах дх)э/ 'хдх/у 1/2 2 '/ глг (дТ1 Производную ~ — 1/ аппраксимируем, как центральную разностную д ~/у 1/2,/ Уравнения (3.23) и (3.27) полезно переписать в виде Тя/ =МТу 1 +Ф, (3.28) где Ми Лг — коэффициенты, зависящие от параметров уравнения, граничных условий н параметров Лх н Лг разностной схемы.

Их значения будут: Разностная аппроксимация с первым порядком точности М=, Ф= 1 — КАт (3.29) 1+ СЛх 1+ Слх Разностная аппроксимация со вторым порядком точности гКЛ/) (Лх) 1т 1,— — — ~~ В том случае если на границах заданы значения функции, то на каждом временном шаге известны То и Т// Независимо от численного значения параметра ( (О< (<1) значения функции Т; на каждом временном шагегы1,2, Мполучаются в результате решения системы алгебраических уравнений с трехциагональной матрнцей коэффициентов А Т = /3. Эффективным методом решения систем с диагональной матрицей является метод прогонки.

Суть метода заключается в преобразовании системы (3.18) к системе с верхней (или нижней) треугольной матрицей, т.е. А Т = 23 =э Р Т = Д. (3.31) Размерность матрицы системы (3.18) равна (/У-1). Размерность матрицы новой системы — (%+1), так как включает два уравнения для граничных условий. Коэффициенты Р/ и Я (1=1,2,...%-1) могут быть найдены по следующей схеме. Пусть функция Т в узлах с номером 1 рассчитывается, как 7; =РТ/„.1 +Я, (3.32) Тогда, учитывая что (3.31) справедливо для всех 1, Т, =Р, 1Тг+О/1, (3.3 2а) После подстановки последнего соотношения в уравнение (3.13) и алгебраических преобразований получим (3.33) а; — ср/1 а; — ср; 1 Сравнив (3.33) с (3.32), получим формулы для вычисления коэффициентов Р; и й/ (1=1,2,...лг-1) преобразованной системы стреугольной матрицей.

Ь; д/+с/Я 1 (3.34) а; — с;Р; 1 а; — с;Р; 1 условий. — !ги=о. 3.2. Метод контрольного объема (3.37) В' ~ Р ! Е гул Р !в Коэффициенты вычисляются последовательно, начиная с 1=1 (прямой ход прогонки). Значения РО и )'уо определяются видом граничною условия на левой границе, а Д! — на правой.

Например, пусть на левой границе задано значение функции то =сопя!=ДО, тогда РО=О. коэффициент Ди=ть! ! для граничного условия (3.21) может быть найден нз уравнений (3.28) и (3.32а): Ти ! =Рк! !Тр ьДр 1 и Т!! =МТы ! ъ У. Решив систему из этих двух уравнений относительно ТИ, получим МДч !+)у' (3.35) 1-МР„, ' Коэффициенты М и !у! вычисляются в зависимости от вида граничного условия. В случае задания на правой границе условия Тр . =сопя!=Де, коэффициенты принимают значения; М=О, й!=Ду. Коэффициенты Р!у 1 и Дн ! вычисляются в прямом ходе прогонки. Таким образом, может быть вычислен !'Уи = ТИ. Обратный ход прогонки представляет собой собственно решение преобразованной системы с треугольной матрицей. В узле У функция рассчитывается по (3.35) а в остальных, начиная с г=й!-1, последовательно (1=%-1, )11-2...1) по формуле (3.32а).

Описанная процедура и представляет собой алгоритм численного расчета в случае применения неявной разностной схемы. Эта процедура применяется на каждом временном шаге. При переходе на новый временной слой, изменяется только вектор-столбец 2) правой части системы (3.15), который вычисляется по значениям Т; !, Т; ! 1, Т;, ! 1 на предыдущем временном шаге.

На первом временном шаге вектор 23 формируется из значений Тю — начальных Часто в элементарных учебниках по теплообмену приводят вывод конечно-разностного уравнения с помощью рядов Тейлора, а затем показывают, что результирующее уравнение соответствует условию теплового баланса в небольшой области, содержащей узловую точку Я. Основная идея метода контрольного объема легко понятна и поддается прямой физической интерпретации. Расчетную область разбивают на некоторое число непересекающихся контрольных объемов таким образом, что каждая узловая точка содержится в одном контрольном объеме.

Дифференциальное уравнение интегрируют по каждому контрольному объему. Для вычисления интегралов используют кусочные профили, которые описывают изменение Т между узловыми точками. В результате находят дискретный аналог дифференциального уравнения, в который входят значения Т в нескольких узловых точках. Полученный подобным образом дискретный аналог выражает закон сохранения Т для конечного контрольного объема точно так же, ка« дифференциальное уравнение выражает закон сохранения для бесконечно малого контрольного объема. Одним из важных свойств метода контрольного объема является то, что в нем заложено точное интегральное сохранение таких величин, как масса, количество движения и энергия на любой зруппе контрольных объемов и, следовательно, на всей расчетной области.

Это свойство проявляется при любом числе узловых точек, а не только в предельном случае очень большого их числа. Таким образом, даже решение на грубой сетке удовлетворяет точным интегральным балансам. Для большей ясности применим метод контрольного объема к простой задаче. Рассмотрим стационарную одномерную задачу теплопроводности„ описываемую уравнением д Л1 'г.— ъ5=0, (3.36) ~й ~й/ ) где к — коэффициент теплопроводности, Т вЂ” температура, Я вЂ” скорость выделения теплоты в единице объема.