Э.Д. Сергиевский, Н.В. Хомченко, И.В. Яковлев. Расчет нестационарных параметров одиночного ребра численными методами (методичка), страница 5

Для получения дискретного аналога будет использовано показанное на рис, 3.5 расположение узловых точек. В центре нашего внимания оказывается точка Р, окруженная точками Е и И'(Š— восточная сторона, т.е. направление вдоль осв х, И' — западная сторона, т.е. направление, обратное направлению оси х).

Штрихом показаны границы контрольного объема,. сейчас нас интересует их точное расположение. Эти границы обозначены буквами е и ш. Для рассматриваемой одномерной задачи предположим, что размеры контрольного объема в направлениях у и г равны единице. Таким образом, объем показанного контрольного объема равен Лхк ! к !. Интегрируя (3.36) по контрольному объему, получаем Рис. 3.5. Шаблон узловых точек лля Рнс. 3.6.

Иатераазы, связанные с гранью одномерной задачи контрольного объема е Сделаем теперь предположение о виде профиля или интерполяционной формулы. В простейшем случае предполагается, что значение Т в узловой точке сохраняется для всего окружающего ее контрольною объема. Это предположение приводит к ступенчатому профилю. Для такого профиля производная дТ/хух на границах контрольного объема (т.е. в точках хч и е) не определена, Эта трудность не возникает для кусочно-линейного профиля, у которого изменение Т между узловыми точками описывается линейными интерполяционными функциями.

Использовав для определения х(Т/х(х в уравнении (3.37) кусочно-линейный профиль, получим ). (ТŠ— ТР) ). (Т вЂ” Т (б")е (бх)н где 5 — среднее по контрольному объему значение 5. Полезно записать уравнение (3.38) в следующем виде: аРТР = аЕТЕ + ай Тйз + Ь, (3,39) где аб ке/(бх)е ал =Х /(бх) (3.40) ар =ая+~щ"; Ьм5Ат. Возможность сохранения полного баланса дает метод контрольного объема, но при этом необходшно обеспечить правильный расчет потоков на границах контрольного объема. Для узловых точек, показанных на рис.

3.5, нет необходимости, чтобы отрезки (бх) и (бх) были равны. Действительно, использование неравномерной сетки часто желательно, так как позволяет эффективно загружать вычислительную машину. Точные решения будут получаться только в случае достаточно мелкой сетки. Однако нет необходимости применять сетку с малым шагом в областях, где зависимая переменная Т изменяется достаточно медленно с изменением х, а мелкая сетка необходима там, где зависимость Т от х является крутой. Наиболее простым способом определения коэффициента теплопроводности на грани контрольного объема является предположение о линейном изменении Х между точками Р и Е.

Пусть не=ге" Р" (з Зв)ВЕ (3.41) где Т вЂ” интерполяционный коэффициент, равный отношению отрезков, показанных на рис 3.6: .~е = (бх)~э/(бх) (3.42) Если грань контрольного объема расположить посредине между узловыми точками, то Тв будет равно 0 5 и будет средним арифметическим ХР и Хь-. Основная цель данного рассмотрения — получение хараше~о представления для теплового потока цв на грани контрольного объема: це = Ь.,(ТР— ТВУ(б ), (3.43) которое в сущности используется в дискретном аналоге (3.39). Соотношение, определяющее Х„следует выбрать так, чтобы получить правильное значение цв. -25- Теперь рассмотрим источниковый член 5 уравнения (3.36). Часто источниковый член является функцией самой зависимой переменной Т, н тогда желательно учесть эту зависимость при построении дискретного аналога. Однако формально можем учитывать только линейную зависимость, так как решение дискретных уравнений осуществляется с помощью методов решения систем линейных алгебраических уравнений.

Запишем среднее значение 5 в виде 5 = 5С + 5РТР, (3.44) где 5С представляет собой постоянную составляющую 5, а 5Р— коэффициент (очевидно, что 5Р не есть значение 5в точке Р). Наличие ТР в (3.44) отражает тот факт, что при записи среднего значения 5 мы предполагали, что значение ТР распространяется на весь контрольный объем, другими словами, использовался ступенчатый профиль (следует заметить, что можно использовать ступенчатый профиль для 5 и кусочно- линейный для члена ЫТ/ат). Дискретный аналог уравнения теплопроводносги с линеарнзоаанным источниковым членом будет иметь такой же вид, как и (3.38), но с другими выражениями для коэффициентов: арТР = акТк +ай Тнг +Ь, где ай = ) е/(бх)е ' ал =3.„/(бх); (3.45) ар = об + ай — 5РАт; Ь = 5СЛх, Теперь сформулируем основные правила, которым должны подчиняться дискретные аналоги уравнений для обеспечения физичности решения и сохранения полного баланса.

Правило 1. Соответствие потоков на границах контрольнога объема. Выражение потока через границу, общую для двух прилегающих контрольных объемов, при записи дискретных аналогов уравнения для этих объектов должно быть одним и тем же. Правило 2. Лолахсительность коэффициентов. Увеличение значения в одной узловой точке должно, при прочих равных условиях, привести к увеличению (а не уменьшению) значения в соседней узловой точке. То~да, как видно из уравнения (3.39), из увеличения ТР при увеличении ТВ следует, что коэффициенты ак и ар должны иметь одинаковый знак. Правило 3, Отрицательность коэффициента при линеариэации нсточникового члена. При линеаризации источникового члена в виде 5 = 5г + 5РТР коэффициент 5Р всегда должен быть отрицателен илн равен нулю.

Правило 4. Сумма соседних коэффициентов. Для случаев, когда дифференциальное уравнение удовлетворяет также прн добавлении к зависимой переменной постоянной величины, необходимо, чтобы 2б- Разделив на Ср, получим (Те-Тр) (Тр-Тя)1 (дх), (дх)и (3.50) о о) То о1 +(1 () г, -г„ где Г- весовой коэффициент, изменяющийся от 0 до Тр, Тр, Т!р — соответствуют позднему значению времени, которое сохраняется в течение отрезка времени Лг, Тр,Те,Ти — соответствуют начальному моменту времени в течение О О О промежутка времени Лг, Г = 2./Ср. Будем использовать полность неявную схему -у — --1.

рлх(Тр -'Тр )Дуля Г,(Те — Тр) 1Г (Тр — Т!р) аП Тогда: л! ~ (д ), (а )„~ ср Р=Х' ь. (3 Аб) Эти правила имеют следующий общий математический смысл: правило 1 удовлетворяет условию консервативнссти схемы, правило 2 удовлетворяет условию монотонности, 3 и 4 — удовлетворяют условию диагонального преобладания матрицы. Решение дискретного аналога (3.39) для одномерного случая можно получить с помощью стандартного метода прогонки.

Рассмотрим нестационарную теплопередачу на примере нестанионарного охлаждения ребра Тогда уравнение переноса будет иметь вид; — =Х вЂ” — (Т вЂ” Т ). рСрдТ д Т аП (3.47) д! д„2 ДуДх Для упрощения получения решения примем температуру окружающей среды Тм = 0'С (при таком условии Т в уравнении (3.47) равно 0 в уравнении (3.9)); а = сопят; Х, р, Ср -ь сопзг; П вЂ” периметр ребра. р ~ д аП Т.

(3.4я) 2 д! Ср дх2 Срдудг Дискретный аналог получим путем интегрирования по контрольному объему (рис. 3.5): д(рТ) зь ~ Х с Т !+ аПТ ) С вЂ” — ог2(! — ) / — — ~12(г, (3.49) дг, Ср д,2, СрЛ Л где Л' = Ахдудх, Лх =1, Лу — мало (тонкое ребро). Предположим, что значение температуры в узловой точке распространено на весь контрольный объем (температура меняется линейно). Представим второй интеграл в виде: рдх (Тр — Тро )дуд г, = — ' — Луд:Те- — ' — Луд Тр- (д ), (д )„ г г„ аП Лул Тр + — — ЛулхТ!à — — — Д Т, (д ). (д ).

ср При упрощениях это уравнение имеет вид: рАхЛудх а П ЛхТР Тр — Тр 1= А!ГТ1р + АеТе — АеТр — Ал!Тр — —, (3.52) дт — (- )- Ср рЛ Луд Г, Г„ где — =В, АЕ = дуде, АИ = ' — дуде, Л ' (дх), ' (Ь) Р, И', Š— узловые точки; и, е — границы КО„ЛуЛх — поверхность грани адхП К.О., Я = Вс + Кргр — источник, Яр = — — отрицательно. ср Объединяя коэффициенты перед температурами с одинаковыми индексами аПЛх О получим Ае+ Аи + +В Тр = АеТе+ А!ко +МТр, (3.53) ср а П Ат рдхЛудх где Ар = Ае + А!р + с, дх г при равномерной сетке Ае = Аж = Дуде = — дуде (дх) Ср (Ьх) Или в каноническом виде (3.13): а!Т; =0;Тгь! ь с;Т! !+с!1, й Лул аПЛ рЛ ЛуЛ ) 2.

ЛуЛ )лудя рд Лул 2 — — + — ь Т; = — Т+1+ — Т; 1+ Т! . Ср Л1,) ' Ср Д ' Ср А ' Л! р дедулей Х Разделим все члены уравнения на = В и введем — =а, Лг рср с ад! аПЛ! 1 ад! ад! о 2 — + +1)Т!= Т;,!+ — Т; 1+7; . дх2 рСрлулх ) ! д 2 '+ 5„2 (3.54) получим пдг ( пд! аПЛ! ) — — Т2+ 2 — + ь)~т~ = То -Т С Л г рСрдулх ) Атг для! = 1: Главная трудность состоит в том,что Т! не является прямым решением, мы должны решить систему уравнений.

Решение дискретно~о аналога можно получить с помощью метода прогонки. Для удобства записи алгоритма разделим ребро (прямоугольный профиль) на 5 областей (рис. 3.7), Номера 0 и 5 относятся к точкам на границе. В начальный момент времени, т.е. при 1=О: -29- для1=2: для (= 3: для 1= 4: для(= 5; а, -ь, о о о о т, ТЗ -Ь4 Т4 а5 Т5 А1 Ыг т(3 А4 и5 -ь, о а3 ЬЗ сг иг сЗ 0 О (3.55) с4 а4 0 — с5 0 0 2а Лг аПЛг 1ь — ь рСрДУЬ аде Ьх 0 0 Ьтг 2а ЛГ иПЬГ а ЬГ 1+ — + — 0 Ь*' РС ЬУЬ Л ' а Ьг а Ьг аПдг 0 — — 1+ — + Ь 2, 2 рСрдудз Т, Тг Т= Т, Т4 Т5 Т но'С, то Если адг ( аЛг аПЬг ) адг о — — Тз+~2 — + .1)Т,— Т,=Т,; Ьхг ~ Ь 2 рСРДуда ) Ь 2 адГ ( адз аПЬГ ) аЛà Π— — Т4+ 2 — + — +1 ТЗ вЂ” — Тг =ТЗ ', 2 ~ 1 2 рСРДУЬа ),1 2 адт ( адг аПЬг 1 аЬг о Т5+~2 — + + 1 Т4 ТЗ = Т4 ' ,г с иЛг аПдг ) адг о +1)Т, — — Т4 =Т,.