Э.Д. Сергиевский, Н.В. Хомченко, И.В. Яковлев. Расчет нестационарных параметров одиночного ребра численными методами (методичка)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (технический университет) ЭД. СЕРГИЕВСКИЙ, Н.В. ХОМЧЕНКО, И.В. ЯКОВЛЕВ РАСЧЕТ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПАРАМЕТРОВ ОДИНОЧНОГО РЕБРА ЧИСЛЕННЫМИ МЕТОДАМИ Методическое пособие по курсу "Математическое моделирование процессов тепломассообмена" для студентов, обучающихся по направлению "Промышленная теплоэнергетика" Издательство МЭИ Москва УДК 621.1 С 323 УДК: 621.1.016.44.001.57(072) Утверждено учебным упраезением )ээЭО Подготовлено на кафедре тепломассообменных процессов и установок Рецензент: канд, гехи, наук Н.В.

Калинин Сергиевский Э.Д., Хомченко Н.В., Яковлев И.В, Расчет нестацнонарных параметров одиночного ребра численными методамн: Методическое пособие по курсу "Математическое моделирование процессов тенломассообмеиа".— Мс Издательство МЭИ, 2002. — 36 с. Данное цособие содер:кит сравнение двух численных методов ла примере охлажлеяяя одиночного ребра. Дается методика чяслеяиого решения системы дифференциальных уравнений методом коитрольиьж объемов и методом конечных разностей. Также цряводятся лримеры сравнения численных решений с решеянем тех же параметров теллообмена с помощью аиялягяческнх выражений предлагаемых в учебной литературе. Результаты расчетов могут быть ясцользованы цри проведении тялових расчетов, лабораторных работ, курсовых и дипломных проектов.

Предназначено лля студентов !У- К курсов ло слециальяости "Промышленная теплоэнергетика" и может быль полезно сэудецтам других слецняльцостей, аспирантам, занимающимся моделированием процессов телломассообмеца в теллообмеияых и теллотехяологяческях установках с использованием вычислительных методов. Учебное издание Сергиевский ЭдуардДмитриевич Хомченко Наталья Владимировна Яковлев Игорь Васильевич Расчет нестационарных параметров одиночного ребра численными методами Методическое пособие цо курсу "Математическое моделирование процессов тепломассосбмена" для студентов, обучающихся по направлению "Промышленная теплоэнергетика*' Редактор Е.А. Улановская ЛР №020528 от 05.06.97 Темплан издания МЭИ 2001 г.,(1), метал.

Подписано к печати 16.04.02 Формат 60х84/16 Печ. л. 2,25 Тираж 300 Изд,№ 26 Заказ 2 Издательство МЭИ. 111250, Москва, Красноказарменная ул., д. 14 Отцечатцио в тяло~рафли ЦНИИ "Электроника",1 174 ! 5,Москва, просп. Вернадского, л.39 © Московский энергетический институт, 2002 1.

ПРИНЦИПЫ ТЕПЛОПЕРЕДАЧИ (о Т д Т д Т ] дТ „2 ау2 „2 ~ вн (!.2) Хотя законы термодинамики относятся к переносу энергии, они применимы лишь для систем, находящихся в равновесии. Законы термодинамики позволяют рассчитать конечную температуру, после того как две системы достигнут равновесия, и количество энергии, перенесенное при переходе от начального равновесного состояния к конечному, но они не дают возможности определить скорость переноса тепла и температуру ребра по истечении заданного промежутка времени или найти, через какое время температура ребра достигнет заданного значения [1].

Теория теплопередачи позволяет вычислить скорость переноса тепла от ребра к окружающей среде, а затем на основании этой информации рассчитать, как изменяются по времени температуры ребра и окружающей среды, Тепхопраеадность является единственным видом теплопередачи в непрозрачной твердой среде. Если в такой среде существует градиент температуры, тепло переносится из высокотемпературной области в низкотемпературную. Скорость переноса тепла вследствие теплоцроводности (кондуктивный тепловой поток) пропорциональна градиенту температуры гуТ)г7х и площади поверхности р, через которую идет поток тепла, или д-Р(гуТ]г7х), где Т вЂ” температура, х — направление теплового потока.

Действительная скорость переноса тепла зависит от коэффициента теплопроводности 7. — тецлофизической характеристики среды. Следовательно, скорость переноса тепла можно выразить количественно соотношением д = -)Г(дт~ Ь). (1.! ) Знак минус обусловлен вторым законом термодинамики, согласно которому тепло должно переноситься в направлении снижения температуры, Градиент гуТ]г7х будет отрицательным, если температура снижается в направлении возрастаниях.

Если считать тепло, переносимое в направлении положительной оси х, положительной величиной, необходимо в правой части соотношения (1.1) поставить знак минус. Уравнение теплапраеадности является математическим выражением закона сохранения энергии в твердом веществе. Оно выводится из рассмотрения баланса энергии для элементарного объема материала, в котором происходит кондуктивный перенос тепла. Кондуктивный тепловой поток связан с распределением температуры в твердом теле законом Фурье.

Общее уравнение тенлопроводности учитывает аккумулирование энергии внутри материала. Трехмерная форма уравнения теплопроводности: Первые трн члена в левой части уравнения выражают результирующую скорость переноса тепла в контрольный объем (КО) вследствие теплопроводностн (на единицу обьема). Последний член в левой части — это скорость внутреннего тепловыделения в единице объема.

Правая часть уравнения (!.2) выражает скорость изменения внутренней энергии материала на единицу объема. Каждый из членов имеет размерность энергии, отнесенной к единице времени и единице объема. Уравнение теплопроводности, записанное в форме (1.2), является размерным. Часто удобнее переписать это уравнение таким образом, чтобы каждый член стал безразмерным. Выполнив это, мы найдем безразмерные параметры, определяющие процесс теплопроводности. Приведем одномерное уравнение теплопроводности к безразмерному виду, вводя: безразмерную температуру О = Т(«Тхар, (1.3) безразмерную пространственную координату ь = х7«Ехар,' (! 4) безразмерное время г«гхар .

(! ~) Величины Т„р, Е„ар и гхар это характерные значения температуры, длины и времени соответственно. Выбор характерных значений произволен, хотя, когда задача полностью определена, следует выбирать значения, имеющие физический смысл. Вместо отношения температур обычно удобнее применять относительную избыточную температуру; выбор безразмерных параметров изменяется от задачи к задаче. Безразмерные параметры часто выбирают таким образом, чтобы их значения изменялись в удобных пределах, например от О до 1.

За Е„р обычно прнннмаетсл максимальная координатах в системе, для которой находится распределение температуры. Подставив определенные таким образом безразмерные величины температуры, линейной координаты и времени, получаем безразмерное одномерное уравнение теплопроводности 2 2 2 д О «)внЕхар Ехар дО + дг,~ " 7хар оГхар дт д2Π— 1 дΠ— +«7= —. (1.6) Го дт l 2 БезРазмеРный паРаметР а!кар) Ехар называетсл числом ФУРье и обозначается символом Го: Бо = аг у~Е„ ! 2 (!.7) Выбор характерных значений времени н длины, входящих в число Фурье, изменяется от задачи к задаче, но функциональный вид соотношения между ними остается неизменным.

Число Фурье представляет собой отношение скорости кондуктивного переноса тепла к скорости аккумулиРования энергии в материале. Число Фурье явлвется безразмерным критерием в задачах нестационарной теплопроводности. Чтобы найти нестационарное распределение температуры и в итоге тепловой поток, необходимо решить общее дифференциальное уравнение теплопроводности в частных производных, н для нахождения его общего решеннв требуются сложные математические методы.

Один из способов упрощенна подхода к решению нестационарных задач теплопроводности состоит в том, чтобы рассмотреть класс задач, в которых поле температур в твердом теле изменлется по времени, но в любой момент времени не изменяется в пространстве. Это означает, что температура во всех точках твердого тела равномерно изменяетсл по времени. Если предположить, что энергия передается от твердого тела к жндкоста путем конвекции, то условие равномерного изменения температуры в твердом теле будет удовлетворяться в том случае, если сопротивление теплопроводности будет намного меньше сопротивления конвекции на поверхности.

Системы, удовлетворяющие этому условию, называются системами с пренебрежимо малым внутренним термическим сопротивлением. Если тело имеет пренебрежимо малое внутреннее термическое сопротивление, то градиенты температуры внутри тела существенно меньше, чем в окружающей среде. Чтобы определить, имеет ли тело, окруженное жидкостью, пренебрежимо малое внутреннее термическое сопротивление, следует прежде всего сравнить величины этих двух соответствующих термических сопротивлений.

Это можно сделать, определив число Био, которое является безразмерным параметром — отношением кондуктианого термического сопротивления к конвективному термическому сопротивлению. Следовательно, если В1= — «1,О, аЕ (1.О) Х то внутреннее термическое сопротивление действительно мало по сравнению с внешним, или конвективным, термическим сопротивлением. Физическими предельными значениями числа Бно являются В! †+ при Як „д -+ О или 7« -+«о н В«-ь«с при Як „ -ь О или а — > «о Когда число Био стремится к нулю, твердое тело практически изотермично и изменение температуры происходит в основном в жидкости. При очень больших числах Био, наоборот, термическое сопротивление твердого тела существенно больше термического сопротивления жидкости, жидкость приблизительно изотермична, а изменение температуры происходит в основном в твердом теле.

2. ПЕРЕНОС ТЕПЛА В РЕБРАХ Кондукгивный тепловой поток через твердое вещество часто отводится от твердого тела посредством конвекции. Поскольку конвективный тепловой поток пропорционален площади поверхности, интенсивность рассеяния тепла с поверхности можно повысить, просто увеличивая эту поверхность. Это достигается при помощи ребер. На рис. 2.1 показано прямое ребро постоянного поперечного сечения Р, Тепло распространяется вдоль твердого материала ребра посредством теплопроводности и отводится от его поверхности окружающей жидкостью посредством конвекции.