Сборник задач: Линейная алгебра и математический анализ

**№1. Системы линейных уравнений**
Решить системы уравнений тремя методами: по теореме Кронекера-Капелли, методом Крамера, методом обратной матрицы (или методом Гаусса):

1)
```
2x + y + 3z = -9
-x + 5y + z = 20
-3x + 4y + 2z = 15
```

2)
```
3x + 4y - 2z = 11
2x - y - z = 4
3x - 2y + 4z = 11
```

3)
```
2x - y - 3z = 0
3x + 4y + 2z = 1
x + 5y + z = -3
```

**Задача 1.** Действия с комплексными числами:
Z₁ = 3 + 5,1i; Z₂ = 3 + 7i

**Задача 2.** Найти дискриминант D.

**Задача 3.** Привести уравнения прямых к виду y = kx + b:
1) 4x − 2y + 3 = 0
2) 5x + 3y − 9 = 0
3) x + 3y = 0
4) 2y − 8 = 0

**Задача 4.** Привести уравнения к общему виду:
1) y = 2x + 3/2 → ?
2) y = x − 1 → ?

**Задача 5.** Геометрическая задача:
Дано: AO = OC = 3; BO = OD = 6.
Найти уравнения сторон четырёхугольника ABCD, если AB || CD и BC || AD.

**Задача 6.** Найти уравнение прямой, проходящей через точку (−2; 0) параллельно прямой, проходящей через точки (−1; −2) и (4; 3).

**Задача 7.** Найти уравнение прямой, проходящей через точку (−2; 3) параллельно прямой, проходящей через точки (−1; −5) и (1; −1).

**Задача 8.** Найти точку пересечения диагоналей, если:
AC: y = 0,5x; BD: y = −2x + 5.

**Задача 9.** Найти углы треугольника по координатам вершин.

**Дополнительные задания (интегралы и площади):**
- №1–№6: Вычисление неопределённых и определённых интегралов, нахождение площади фигуры, ограниченной линиями y = x² и y = 2 − x².

*Примечание: содержимое файла частично повреждено/нечитаемо. Доступные для извлечения задания:*

**№3.** Векторная алгебра:
Даны точки A₁(3;0;2), A₂(2;0;6), A₃(1;1;2), A₄(3;2;4). Найти:
1) Длины рёбер A₁A₂, A₁A₃;
2) Угол между рёбрами A₁A₂ и A₁A₃;
3) Площадь грани A₁A₂A₃;
4) Объём пирамиды;
5) Вектор нормали к грани;
6) Уравнение плоскости A₁A₂A₃;
7) Векторное произведение.

**№4.** Действия с векторами:
Даны векторы a(1;7;3), b(3;4;2), c(4;8;5). Найти:
1) Угол между векторами a+b и b;
2) Смешанное произведение a·(b×c);
3) Скалярное произведение (a−b)·b и его проекцию.

**№5.** Вычисление пределов:
1) lim(x→∞) (3x² − x + 6) / (2x² + x + 2)
2) lim(x→0) (√(3x+1) − 1) / x
3) lim(x→0) tg(5x) / x

**№6.** Нахождение производных:
1) y = sin x / (1 + tg x)
2) y = arctg(e^(3√x)) − 4√x
3) y = log₂(1 + 3x)

**№7.** Исследование функции и построение графика:
y = 8x / (x − 2)²

**№8.** Вычисление интегралов:
1) ∫ 2x dx / (x² + 4)²
2) ∫ 3x·e^(−3x) dx
3) ∫ (3x + 1) dx / ((x − 2)(x + 4))

**№9.** Вычисление определённых интегралов и площадей:
1) ∫ e^(1/x) / x² dx
2) ∫ x·ln x dx (от 1 до 2)

**№10.** Нахождение площади фигуры, ограниченной линиями:
xy = 6; x + y − 7 = 0Показать/скрыть дополнительное описание