Математика Витте Ответы на тесты 4-7

Представлены ответы на большинство вопросов из тестов 4-7 по предмету "Математика" для студентов Витте.
Результат сдачи зависит от попавшихся вопросов.
Мой средний набранный балл за тесты 90 из 100 (Скриншот прилагаю).
ВНИМАНИЕ! Перед покупкой убедитесь, что ваши вопросы совпадают с представленными ниже. Для этого рекомендую сначала запустить тест и сверить хотя бы несколько вопросов.

---

---

СПИСОК ВОПРОСОВ:

___ интеграл - это совокупность всех первообразных функции f(x).

y = C₁e²ˣ + C₂e⁻ˣ - общее решение дифференциального уравнения
Выберите один ответ:

• y" – 3y' – 2y = 0
• y" – y' – 2y = 0
• y" + y' – 2y = 0
• y" + 2y' – y = 0

В математическом анализе частная производная — это
Выберите один или несколько ответов:

• предел отношения приращения функции по выбранной переменной к приращению этой переменной, при стремлении этого приращения к бесконечности
• предел отношения приращения функции по выбранной переменной к приращению этой переменной, при стремлении этого приращения к нулю
• одно из обобщений понятия производной на случай функции нескольких переменных
• предел отношения приращения функции по сумме переменных к приращению переменных

В число этапов нахождения наибольшего и наименьшего значений функции нескольких переменных в ограниченной замкнутой области D входят
Выберите один или несколько ответов:

• определение критических точек функции z = f(x, y)
• нахождение области определения функции z = f(x, y)
• Найти неотрицательные значения функции z = f(x, y) на границах области D.
• определение того, что включена ли область D в область определения функции

Выберите верные свойства неопределенного интеграла
Выберите один или несколько ответов:

• ∫ a ∙ f(x)dx = a ∙ ∫ f(x)dx
• (∫ f(x)dx)' = f(x)
• ∫ dF(x) = F(x) + C
• ∫ f(x) ∙ g(x)dx = ∫ f(x)dx ∙ ∫ g(x)dx

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = 1/√(x + 1), x = –3/4, x = 0, y = 1. Ответ записать десятичной дробью через запятую

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = 2 – |x|, y = x² .Ответ записать в виде обыкновенной дроби, например, 16/3.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=3x–x², y=–x. Ответ записать в виде обыкновенной дроби, например, 16/3.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = cosx, y = x + 1, y = 0 Ответ записать десятичной дробью через запятую

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = x² – 2x + 2, y = 2 + 4x – x²:

Вычислить предел функции: lim(x – y)² · sin 1/(x + y) · cos x/(x – y), при x→0, y→0. Ответ записать цифрой.

Вычислить предел функции: lim (tg²3y – sinx)/(√(9 + sinx – tg²3y) – 3), при x→0, y→0. Ответ записать цифрой.

Вычислить предел функции: lim ln(3 + x² + y)/(2 + y + x²), при x→1, y→ –3. Ответ записать цифрой.

Вычислить предел функции: lim sin(x + 2y – 3)/((x + 2y)² – 9), при x→1, y→1. Ответ записать в виде обыкновенной дроби, например, 32/5

Вычислить частные производные первого порядка функции: z = x²y – 4x√y – 6y + 5 в точке M₀(2;1)
Выберите один или несколько ответов:

• zᵧ'(2;1) = –12
• zₓ'(2;1) = 4
• zₓ'(2;1) = 0
• zᵧ'(2;1) = –14

Выяснить, при каком значении параметра α функция y = e^(x² + x⁴/α) является решением уравнения y' = x³y + 2xy. (Ответ записать цифрой)

Геометрическое изображение функции двух переменных может иметь вид
Выберите один или несколько ответов:

• прямой
• окружности
• гиперболоида
• сферы

Градиент функции z = x² + 3y³ – xy в точке A(1;1) равен
Выберите один ответ:

• (13;-2)
• (1;8)
• (8;1)
• (1;1)

Дано дифференциальное уравнение y' = (2k – 2)x³, тогда функция y = x⁴ – 3 является его решением при k равном…

Дано дифференциальное уравнение y' = 5 – y. Его решением является функция…
Выберите один или несколько ответов:

• y = eˣ – 5
• y = e⁻ˣ – 5
• y = e⁻ˣ + 5
• y = 1/eˣ + 5

Дано дифференциальное уравнение y" + 6y' + 5y = 0, удовлетворяющее начальным условиям y(0) = 1, y'(0) = –1. В ответе указать значение у(ln2). (Ответ записать цифрой)

Дифференциальное уравнение вида y' + p(x)y = f(x)yᵃ называется уравнением ___

Дифференциальное уравнение вида y' + p(x)y = f(x) называется ___ дифференциальным уравнением первого порядка

Для каких рядов не выполняется необходимый признак сходимости?
Выберите один или несколько ответов:

• ∑ (n² + 1)/10n
• ∑ 1/n²
• ∑ (n – 1)/(2n² + 1)
• ∑ √((5n + 2)/3)

Для каких рядов не выполняется признак Лейбница?
Выберите один или несколько ответов:

• ∑ (–1)ⁿ/n!
• ∑ (–1)ⁿ/n²
• ∑ (–1)ⁿ ∙ 7n/(9n + 1)
• ∑ (–1)ⁿ⁺¹

Для каких рядов признак Даламбера не дает ответа о сходимости ряда
Выберите один или несколько ответов:

• ∑ n!/3ⁿ
• ∑ 2n/(n² + 1)
• ∑ 1/3ⁿ
• ∑ 2/n³

Для обобщенного гармонического ряда верны следующие утверждения
Выберите один или несколько ответов:

• данный ряд расходится при α ≤ 1.
• данный ряд знакопостоянен
• Данный ряд сходится при α > 1.
• его n-ый член всегда стремится к 0 при n→∞

Для решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами можно использовать методы…
Выберите один или несколько ответов:

• метод вариации постоянных
• метод модулей
• метод наименьших квадратов
• метод неопределенных коэффициентов

Для решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка у" + рy' + qy = 0 необходимо составить и решить ___ уравнение k² + pk + q = 0

Для функции z = 2xy + y² справедливы отношения
Выберите один или несколько ответов:

• ∂z/∂y – 2y = 2x
• ∂z/∂x = ∂z/∂y
• ∂z/∂x + ∂z/∂y = 0
• ∂z/∂x – 2y = 0

Для функции z = f(x, y) верно:
Выберите один или несколько ответов:

• zᵧₓ" = ∂²y/∂z∂x
• zₓₓ" = ∂z/∂²x
• zᵧᵧ" = ∂²z/dy²
• zₓᵧ" = ∂²z/∂x∂y

Для функции z = x² ln(x + y) найти zₓᵧ''
Выберите один ответ:

• x(x + 2y)/(x + y)²
• 2y/(x + y)²
• x(x + 2y)/(x + y)
• 2x/(x + y)

Если u = cos(x² – y + z³), то значение uₓ' в точке M(0; –π/2; 0) равно
Выберите один ответ:

• 1/2
• 1
• 0
• √2/2

Если u = cos(x² – y + z³), то значение uᵧ' в точке M(0; –π/2; 0) равно
Выберите один ответ:

• 1
• –√3/2
• √2/2
• 0

Если y(x) – решение уравнения e⁻²ˣ y' = e³, удовлетворяющее начальному условию y(-1,5)=0,5, тогда y(0)=… (Ответ записать цифрами с точностью до целых)

Если y(x) – решение уравнения y’ = x + 5, удовлетворяющее условию y(1)=0, тогда y(2)=… (Ответ записать десятичной дробью через запятую)

Если y(x) – решение уравнения y’ = y(x – 2), удовлетворяющее условию y(1)=-1,тогда y(1,5)=…
Выберите один или несколько ответов:

• e^(-0.375)
• –3/8
• e^(–3/8)
• 3/2

Если в некоторой δ-окрестности точки M₀(x₀; y₀) выполнено неравенство f(x; y) < f(x₀, y₀), то говорят, что функция z = f(x; y)____________ в точке M₀
Выберите один или несколько ответов:

• не существует
• имеет экстремум
• не определена
• имеет максимум

Если для функции f(x; y) справедливо fₓ'(x₀; y₀) = fᵧ'(x₀; y₀) = 0, то можно утверждать, что
Выберите один ответ:

• (x₀; y₀) - граничная точка функции
• (x₀; y₀) -стационарная точка функции
• (x₀; y₀) - точка экстремума функции
• (x₀; y₀) - точка разрыва функции

Если предел общего члена числового ряда lim uₙ ≠ 0, при n→∞, то ряд
Выберите один ответ:

• сходится
• может сходиться или расходиться
• расходится
• другой ответ

Если предел отношения последующего члена к предыдущему члену знакоположительного числового ряда равен 2, то
Выберите один ответ:

• другой ответ
• ряд расходится
• бесконечная сумма ряда равна бесконечности или суммы ряда вообще не существует
• ряд сходится

Если при решении линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка у" + py' + q = 0 дискриминант характеристического уравнения у" + py' + qy = 0 оказался равен нулю, то общее решение однородного ДУ имеет вид
Выберите один ответ:

• y(x)₀₀ = c₁eᵏˣ + c₂xeᵏˣ
• y(x)₀₀ = c₁eᵏ¹ˣ + c₂eᵏ²ˣ
• y(x)₀₀ = c₁eᵃˣcosꞵx + c₂eᵃˣsinꞵx

Если признак ___ не даёт нам ответа на вопрос о сходимости ряда, то признак Даламбера тоже не даст ответа.

Если признак Коши не даёт нам ответа на вопрос о сходимости ряда, то признак ___ тоже не даст ответа.

Если ряд из модулей членов знакопеременного ряда расходится, то знакопеременный ряд:
Выберите один или несколько ответов:

• сходится абсолютно
• расходится
• сходится условно
• может сходиться или расходиться

Если точка M₀(x₀; y₀) является точкой экстремума функции z = f(x, y), то верно что
Выберите один ответ:

• fₓ'(x₀, y₀) > fᵧ'(x₀, y₀) > 0
• fₓ'(x₀, y₀) = fᵧ'(x₀, y₀) = 0
• fₓ'(x₀, y₀) < fᵧ'(x₀, y₀) < 0
• fₓ'(x₀, y₀) = fᵧ'(x₀, y₀) = 1

Задача отыскания частного решения ДУ, удовлетворяющего заданному начальному условию называется задачей ___

Значение производной zₓₓ'' функции z = 3x² · siny в точке (1,0) равно….
Выберите один ответ:

• 3
• 6
• 6sin1
• 0

Значение производной zₓᵧ'' функции z = 3x² · siny в точке (1,0) равно….
Выберите один ответ:

• 0
• 6
• 6sin1
• 3

Зная, что d²z = –sinxsinydx² + 2cosxcosydxdy – sinxsinydy², найти z''ₓₓ
Выберите один ответ:

• cosxcosy
• sinxsiny
• –cosxcosy
• –sinxsiny

Из перечисленных вариантов ответа выберите правильные варианты. Область определения функции двух переменных z = 1/(x² + y²) это
Выберите один или несколько ответов:

• все точки координатной плоскости, кроме точки (0; 0)
• все точки координатной плоскости, кроме точек, лежащих на окружности x² + y² = 1
• все точки координатной плоскости за исключением начала координат
• все точки координатной плоскости, кроме точек, лежащих на прямой y = –x

Из перечисленных вариантов ответа выберите правильные варианты. Область определения функции двух переменных z = 1/( x² + y² + 1) это
Выберите один или несколько ответов:

• вся координатная плоскость
• все точки координатной плоскости, кроме точек, лежащих на окружности x² + y² = 1
• все точки координатной плоскости
• все точки координатной плоскости, кроме точек, лежащих на прямой y = –x

Из перечисленных вариантов ответа выберите правильный вариант. Область определения функции двух переменных z = 1/(x² + y² – 1) это
Выберите один или несколько ответов:

• все точки координатной плоскости, кроме линии единичной окружности с началом в центре координат
• все точки координатной плоскости, кроме точек, лежащих на окружности x² + y² = 1
• все точки координатной плоскости, кроме точек, лежащих на прямой y = –x
• все точки координатной плоскости, кроме точки (0; 0)

Из перечисленных вариантов ответа выберите правильный вариант. Область определения функции двух переменных z = 1/(x + y) - это
Выберите один или несколько ответов:

• все точки координатной плоскости, кроме точек, в которых значение у является отрицательным значением х и наоборот
• все точки координатной плоскости, кроме точек, лежащих на окружности x² + y² = 1
• все точки координатной плоскости, кроме точки (0; 0)
• все точки координатной плоскости, кроме точек, лежащих на прямой y = -x

Из перечисленных ниже вариантов ответа выберите правильный вариант. Область изменения (значений) функции двух переменных z = x + y² равна
Выберите один ответ:

• (0; ∞)
• [0; ∞)
• R
• (– ∞; 0) U (0; ∞)

К дифференциальным уравнениям высшего порядка относятся
Выберите один или несколько ответов:

• дифференциальное уравнение Бернулли
• линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами y(n)+fn-1·y(n-1) +...+f1·y'+f0·y=0 и y(n)+fn-1·y(n-1)+...+f1·y'+f0·y=f(x)
• простейшие дифференциальные уравнения первого порядка вида y'=f(x)
• дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

к дифференциальным уравнениям первого порядка относятся
Выберите один или несколько ответов:

• линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка y'+P(x)·y=Q(x
• дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
• дифференциальное уравнение Бернулли
• простейшие дифференциальные уравнения первого порядка вида y'=f(x)

Как называется множество всех x, при которых степенной ряд ∑ aₙ ∙ xⁿ сходится?
Выберите один ответ:

• другой ответ
• радиус сходимости
• область сходимости
• область определения

Какая из данных функций не является первообразной для функции f(x) = cos3x?
Выберите один ответ:

• F(x) = 2 – 1/3 sin3x
• F(x) = 4 + 1/3 sin3x
• F(x) = 2 + 1/3 sin3x
• F(x) = 1/3 sin3x

Какая из данных функций не является первообразной для функции f(x) = sin2x?
Выберите один ответ:

• F(x) = 2 – 1/2 cos2x
• F(x) = –1/2 cos2x
• F(x) = –2cos2x
• F(x) = 4 – 1/2 cos2x

Какие из предложенных рядов сходятся по признаку Лейбница?
Выберите один ответ:

• ∑ 3/(2n²)
• ∑ (–1)ⁿ⁺¹
• ∑ (–1)ⁿ/n!
• ∑ (–1)ⁿ2n/(3n – 1)

Какие ряды, относящиеся к примерам обобщенного гармонического ряда расходятся
Выберите один или несколько ответов:

• ∑ 1/√n
• ∑ 1/√n³
• все ряды
• ∑ 1/∛n

Какие ряды, относящиеся к примерам обобщенного гармонического ряда сходятся
Выберите один или несколько ответов:

• ∑ 1/√n³
• ∑ 1/√n
• ∑ 1/∛n
• ∑ 1/n³

Какими свойствами обладает функция у = f(x), применяемая в интегральном признаке сходимости рядов?
Выберите один или несколько ответов:

• положительная
• отрицательная
• убывающая
• непрерывная

Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами обычно решается достаточно просто. Нам необходимо найти корни характеристического уравнения k2+pk+q=0. Здесь возможны варианты
Выберите один или несколько ответов:

• целочисленные k1=2α·β, k2=-2α·β
• действительные и различающиеся корни характеристического уравнения k1≠k2, k1, k2∈R
• комплексно сопряженные k1=α+i·β, k2=α–i·β
• действительные и совпадающие k1=k2=k, k∈R

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами y(n)+fn−1⋅y(n−1)+...+f1⋅y'+f0⋅y=f(x). Решение уравнений данного вида предполагает выполнение следующих простых шагов:
Выберите один или несколько ответов:

• находим интеграл характеристического уравнения
• находим корни характеристического уравнения
• исключаем их уравнения переменные
• записываем общее решение в стандартной форме

Линейные однородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами y(n)+fn−1⋅y(n−1)+...+f1⋅y'+f0. Решение уравнений данного вида предполагает выполнение следующих простых шагов:
Выберите один или несколько ответов:

• находим корни характеристического уравнения
• записываем общее решение в стандартной форме
• исключаем их уравнения переменные
• находим интеграл характеристического уравнения

Минимум функции z = x² + y² при условии x/2 + y/3 = 1 равен (ответ записать в виде обыкновенной дроби: 5/13)

Найдите неопределенный интеграл ∫ (e^(–x/2) + cosx)dx
Выберите один ответ:

• –2e^(–x/2) + sinx + C
• –2sinx + e^(–x/2) + C
• –1/2 e^(–x/2) + cosx + C
• –2sinx ∙ e^(–x/2) + C

Найдите неопределенный интеграл ∫ (x² – 5x + 6)dx
Выберите один ответ:

• x³/3 – 5 x²/2 + 6x + C
• 2x – 5
• 2x – 5 + C
• x³/3 – 5 x²/2 + 6

Найдите неопределенный интеграл ∫ (x⁴ + 3 ⁵√x + 1/x²)dx
Выберите один ответ:

• 1/5 x⁵ + 5/2 x ⁵√x – 1/x + C
• 4x³ + 3/5 x^(–4/5) – 2x⁻³
• 4x³ + 3/5 x^(–4/5) – 2x⁻³ + C
• 1/5 x⁵ + 5/2 x ⁵√x – 2/x + C

Найдите неопределенный интеграл ∫ 3³ˣ dx
Выберите один ответ:

• 3³ˣ⁺¹ ∙ ln3 + C
• 3³ˣ / 3ln3 + C
• 3∙3³ˣ / ln3 + C
• 3³ˣln3 / 3 + C

Найдите неопределенный интеграл ∫ dx/∛x²
Выберите один ответ:

• 1/(3∛x) + C
• 3/∛x + C
• 3∛x + C
• –3/∛x + C

Найдите неопределенный интеграл ∫ dx/√x³
Выберите один ответ:

• –2/√x + C
• 2/√x + C
• 1/(2√x) + C
• 2√x + C

Найдите общий член ряда –3 + 5/2 – 7/3 + 9/4 – …
Выберите один ответ:

• uₙ = (2n + 1)/n
• uₙ = (–1)ⁿ⁺¹ (2n + 1)/n
• uₙ = (–1)ⁿ (2n + 1)/n
• uₙ = (–1)ⁿ⁺¹ (n + 1)/n

Найти zₓₓ", если z = ln(x + y²)²
Выберите один ответ:

• –2/(x + y²)²
• –1/(x + y²)²
• 2/(x + y²)
• 2/(x + y²)²

Найти zₓₓ" функции z = sin(xy)
Выберите один ответ:

• zₓₓ" = cos(xy) – xy sin(xy)
• zₓₓ" = –x² sin(xy)
• zₓₓ" = –2x sin(xy)
• zₓₓ" = –y² sin(xy)

Найти интервал сходимости ряда ∑ (2x)ⁿ/∛n (в ответе границы указать через «;», записать в виде десятичных дробей без пробелов)

Найти интервал сходимости ряда ∑ (x – 3)ⁿ/3ⁿ⁺¹ (в ответе границы указать через «;» без пробелов)

Найти интервал сходимости ряда ∑ (–1)ⁿ (x – 2)²ⁿ/n (в ответе границы указать через «;» без пробелов)

Найти интервал сходимости ряда ∑ ((n +1)/n)ⁿ x⁴ⁿ (в ответе границы указать через «;» без пробелов)

Найти интервал сходимости ряда ∑ x^(2n²)/nⁿ (в ответе границы указать через «;» без пробелов)

Найти количество точек, в которых z = x² + y² достигает наибольшего значения в области, задаваемой неравенством x² + y² ≤ 1. Ответ записать цифрой.

Найти область определения функции: z = √(3 – x² – y²)
Выберите один ответ:

• x² + y² ≥ 3
• x² + y² ≤ 3
• x² + y² > 3
• x² + y² < 3

Найти сумму координат экстремума функции z = x² + y² + xy – 4x – 5y. Ответ записать цифрой

Найти частные производные первого порядка функции z = arcsin x/y, (y > 0)
Выберите один или несколько ответов:

• zₓ' = 1/√(y² – x²)
• zᵧ' = 2y/x ∙ 1/√(y² – x²)
• zₓ' = 1/√(y² – x²) ∙ y/x
• zᵧ' = –x/y ∙ 1/√(y² – x²)

Неопределенный интеграл ∫ ∛x² dx равен:
Выберите один ответ:

• (3⁵√x³)/5 + C
• (5∛x⁵)/3 + C
• (3∛x⁵)/5 + C
• –(3∛x⁵)/5 + C

Неопределенный интеграл ∫ sin2xcosxdx равен:
Выберите один ответ:

• 1/3 sin³2x + C
• 2cos²x – sin²2x + C
• –2/3 cos³x + C
• 2sin²2x cos²x + C

Неопределённый интеграл-это совокупность всех ___ функции f(x).

Общее решение дифференциального уравнения y"' = 2x + 1 имеет вид …
Выберите один ответ:

• y = x⁴ + x³ + C₁x² + C₂x + C₃
• y = 1/24 x⁴ + 1/6 x³ + C₁/2 x² + C₂x + C₃
• y = 1/12 x⁴ + 1/6 x³ + C₁/2 x² + C₂x + C₃
• y = 1/12 x⁴ + 1/6 x³ + C

Общее решение уравнения 4y" + 4y' + y = 0
Выберите один ответ:

• y = (C₁ + C₂x)e⁻²ˣ
• y = Ce^(–1/2 x)
• y = C₁e⁻²ˣ + C₂x
• y = (C₁ + C₂x)e^(–1/2 x)

Общий вид ___ интеграла: ∫ f(x)dx, x=a..b, где f(x) – подынтегральная функция, a и b – пределы интегрирования, dx –дифференциал

Общий вид определённого интеграла: ∫ f(x)dx, x=a..b, где f(x ) – ___ функция, a и b – пределы интегрирования, dx –дифференциал

Общий интеграл дифференциального уравнения dy/y² = dx/(1 + x²) имеет вид…
Выберите один ответ:

• 1/y = ln(1 + x²) + C
• –1/y = arctgx + C
• –1/y = arctg(1/x) + C
• –1/y = –ln(1 + x²) + C

Общим решением линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и характеристическими корнями k₁ = k₂ = 5, k₃ = –2 является …
Выберите один ответ:

• y = (C₁ + C₂x)e⁵ˣ + C₃ 1/e²ˣ
• y = C₁e⁵ˣ + C₂e⁻²ˣ
• y = (C₁ + C₂x)e⁵ˣ + C₃e⁻²ˣ
• y = C₁sin5x + C₂cos5x – C₃sin2x + C₄cos2x

Общим решением уравнения y' = 30x⁵ является функция…
Выберите один ответ:

• y = 5x⁶ + C
• y = 150x⁴ + C
• y = 6x⁵ + C
• y = 30x⁶ + C

Определенный интеграл ∫ (1 + x²)/x², x=1..2 равен:
Выберите один или несколько ответов:

• -2,5
• 3/2
• 1,5
• -1,5

Определенный интеграл ∫ (2 + x)/x dx, x=1..3 равен:
Выберите один ответ:

• 2 + ln9 + C
• ln9 + C
• 2 – 2ln2 + C
• 1 – ln2 + C

Определенный интеграл ∫ sinxdx, x=–1..1 равен:
Выберите один ответ:

• 2/3
• 0
• -2/3
• 1

Определенный интеграл ∫ x²dx, x=–1..1 равен:
Выберите один ответ:

• 2/3
• 1
• -2/3
• 0

Определенный интеграл ∫ x³dx, x=–1..1 равен:
Выберите один ответ:

• 1
• 0
• 2/3
• –2/3

Определённый интеграл вычисляется по формуле ___: ∫ f(x)dx, x=a..b = F(b) – F(a)

Определите, для каких рядов не выполняется необходимый признак сходимости
Выберите один или несколько ответов:

• ∑ (n² + 1)/10n
• ∑ 1/n²
• ∑ (n – 1)/(2n² + 1)
• ∑ √((5n + 2)/3)

Определите, для каких рядов неприменим признак Лейбница
Выберите один или несколько ответов:

• ∑ (–1)ⁿ/(2n – 1)
• ∑ 1/(3n + 1)
• 1/2 – 1/3 – 1/4 + 1/5 – 1/6 – 1/7 + …
• ∑ (–1)ⁿ⁺¹/n²

Определите, какой из рядов сходится по признаку Даламбера
Выберите один ответ:

• ∑ n²/n!
• ∑ 2/(3n²)
• ∑ n!/5ⁿ
• ∑ 4ⁿ/n²

Площадь фигуры, ограниченной линиями y = cosx, y = 0, x = 0, x = π/2 равна…
Выберите один ответ:

• 2
• 0
• 1
• π

Полный дифференциал первого порядка функции двух переменных имеет вид:
Выберите один ответ:

• ∂z = zₓ'∂²x + zᵧ'∂²y
• ∂z = zₓ'∂x + zᵧ'∂²y
• ∂z = zₓ'∂x + zᵧ'∂y
• ∂z = zₓ'∂²x + zᵧ'∂y

Порядок дифференциального уравнения y'' – y'tgx = cosx можно понизить заменой…
Выберите один или несколько ответов:

• производную у заменить на функцию от х
• y'' = z(x)
• y' = z(y)
• y' = z(x)

Предел какого выражения используется в признаке Коши сходимости числовых рядов?
Выберите один ответ:

• lim (uₙ)ⁿ, при n→∞
• lim uₙ, при n→∞
• lim ⁿ√uₙ, при n→∞
• lim √uₙ, при n→∞

При каких значениях α обобщенный гармонический ряд ∑ 1/nᵃ расходится?
Выберите один ответ:

• α > 0
• α = 0
• α ≤ 1
• α > 1

При решении уравнения x²y' = x² + y² используется замена
Выберите один ответ:

• y = uv
• y' = u(y)
• y' = u(x)
• y = ux

При решении уравнения x²y' + 2y = x³ используется замена
Выберите один ответ:

• y' = u(x)
• y = ux
• y' = u(y)
• y = uv

При решении уравнения у'' – y' = y² используется замена
Выберите один ответ:

• y' = u(x)
• y = uv
• y = ux
• y' = u(y)

Признак Лейбница: Если члены ___ ряда монотонно убывают по модулю, то ряд сходится.

Пусть F (x) и G(x) - первообразные соответственной функций f(x) g(x) на некотором промежутке, тогда:
Выберите один или несколько ответов:

• Функция F(x)·G(X) является первообразной функции f(x)·g(x)
• Функция aF(x) является первообразной функции af(x)
• Функция F(x)±G(х) является первообразной функции f(x)±g(x)
• Функция F(x)/G(x) является первообразной функции f(x)/g(x)

Радиус сходимости степенного ряда ∑ₙ₌₀ aₙxⁿ равен 4. Тогда интервал сходимости имеет вид
Выберите один ответ:

• (-4;0)
• (-2;2)
• (-4;4)
• (0;4)

Радиус сходимости степенного ряда ∑ (–1)ⁿ ∙ xⁿ/(2n∙n!) равен
Выберите один ответ:

• ∞
• 2
• 1
• 0

Радиус сходимости степенного ряда ∑ n!(x – 2)ⁿ равен
Выберите один ответ:

• 2
• 0
• ∞
• –∞

Рассмотрим два положительных числовых ряда ∑aₙ и ∑bₙ. Если предел отношения общих членов этих рядов равен конечному, отличному от нуля числу A: lim aₙ/bₙ = A, то оба ряда сходятся или расходятся одновременно. Это ___ признак сравнения числовых положительных рядов

Решением задачи Коши дифференциального уравнения y" = 2x, y(0) = 1, y'(0) = 0 является …
Выберите один или несколько ответов:

• y = x³/3 + 1
• y = (x³+3)/3
• y = 2x² + 5x + 1
• y = x³/6 + 2x + 1

Ряд 1/11 + 1/12 + 1/13 + …, полученный из гармонического ряда ∑ 1/n отбрасыванием первых десяти членов
Выберите один ответ:

• может сходиться или расходиться
• расходится
• другой ответ
• сходится

Ряд 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + …, полученный умножением членов гармонического ряда ∑ 1/n на 1/2
Выберите один ответ:

• сходится
• может сходиться или расходиться
• другой ответ
• расходится

Ряд ∑ 1/n называется ___ рядом.

Ряд ∑ n²/n! по признаку Даламбера
Выберите один ответ:

• сходится
• может сходиться или расходиться
• расходится
• другой ответ

Связь между производной и интегралом в анализе функций многих переменных воплощена в известных теоремах интегрирования векторного анализа
Выберите один или несколько ответов:

• теорема Беллмана
• теорема Ньютона-Лейбница
• теорема Стокса
• теорема Остроградского-Гаусса

Смешанная производная ∂²f/∂x∂y для функции f = cosx – 5x²y равна
Выберите один ответ:

• sinx
• sinx – 10xy
• –10x
• 0

Совокупность пар (x, y) значений x и y, при которых определена функция z = f (x, y), называется
Выберите один или несколько ответов:

• областью существования этой функции
• областью существования частной производной функции
• областью определения этой функции
• начальной областью

Среди перечисленных дифференциальных уравнений уравнениями первого порядка являются:
Выберите один или несколько ответов:

• x d²y/dx² + xy dy/dx + x² = y
• 2x d²y/dx² + x dy/dx + y = 0
• x³y' + 8y – x + 5 = 0
• y² ∂y/∂x + x = 0

Среди перечисленных дифференциальных уравнений уравнениями первого порядка являются:
Выберите один или несколько ответов:

• y"' – xy' = x²
• dy/dx = y√(1 – x²)
• y' = (x + y)/(x – y)
• sinx d²y/dx² + cosx dy/dx = 2x

Среди перечисленных интегралов укажите ВСЕ, которые вычисляются с помощью формулы интегрирования по частям:
Выберите один или несколько ответов:

• ∫ xlnxdx
• ∫ xcosxdx
• ∫ xe^x² dx
• ∫xeˣdx

Среди перечисленных интегралов укажите те, которые вычисляются методом интегрирования по частям:
Выберите один или несколько ответов:

• ∫ lnxdx
• ∫ √(16 – x²) dx
• ∫ xsinxdx
• ∫ sin³xcosdx

Среди перечисленных интегралов укажите те, которые вычисляются методом интегрирования по частям:
Выберите один или несколько ответов:

• ∫ √(9 – x²) dx
• ∫ (x – 1)cosxdx
• ∫ (x + 1/x + 1/x²)dx
• ∫ xe²ˣdx

Среди перечисленных интегралов укажите те, которые вычисляются методом подстановки:
Выберите один или несколько ответов:

• ∫ xsinxdx
• ∫ sin³xcosxdx
• ∫ lnxdx
• ∫ √(16 – x²) dx

Среди перечисленных интегралов укажите те, которые вычисляются методом подстановки:
Выберите один или несколько ответов:

• ∫ x³/(1 + x⁴) dx
• ∫ (x² – x + 1) lnxdx
• ∫ xlnxdx
• ∫ sin³xcosxdx

Среди перечисленных ниже утверждений выберите то(-е), которое(-ые) является(-ются) истинным(-и)
Выберите один или несколько ответов:

• если в любой окрестности точки Р есть точки, принадлежащие этой области, то точка Р является граничной точкой области
• если точка Р является внутренней точкой области, то в любой её окрестности есть точки, принадлежащие этой области
• если точка Р является внутренней точкой области, то можно указать её окрестность, содержащую только точки, принадлежащие этой области
• если точка Р является внутренней точкой области, то в любой её окрестности есть точки, не принадлежащие этой области

Среди перечисленных уравнений выберите дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными:
Выберите один или несколько ответов:

• y' = (x – y)/(x + y)
• y' + xy = x³
• y'√(1 – x²) = 1 + y²
• y' = (1 – 2x)/y²

Среди перечисленных уравнений линейными дифференциальными уравнениями первого порядка являются:
Выберите один или несколько ответов:

• y' = (1 – 2x)/y²
• y' + xy = x³
• y/(x² + y²) dx – x/(x² + y²) dy = 0
• 3x + 4y – 2 + y'(x – 1) = 0

Среди перечисленных функций укажите ВСЕ, которые являются первообразными для функции y = 2/cos²2x
Выберите один или несколько ответов:

• 2 – ctg2x
• tg2x
• tg2x + 2
• –tg2x

Среди перечисленных функций укажите ВСЕ, которые являются первообразными для функции y = ln x
Выберите один или несколько ответов:

• xlnx – x
• xlnx + 3
• 1/x
• 2 + xlnx – x

Среди предложенных методов выберите основные методы интегрирования
Выберите один или несколько ответов:

• метод разложения на множители
• метод интегрирования по частям
• метод замены переменной
• метод наименьших квадратов

Среди предложенных рядов выберите знакочередующиеся
Выберите один или несколько ответов:

• 1/2 – 1/3 – 1/4 + 1/5 – 1/6 – 1/7 + …
• –1/2² + 1/2³ – 1/2⁴ + 1/2⁵ – …
• ∑ 1/n
• ∑ (–1)ⁿ⁺¹ ∙ 1/n²

Среди предложенных утверждений выберите верные
Выберите один или несколько ответов:

• если числовой ряд ∑uₙ сходится, то n-ый член ряда uₙ равен 0
• если n-ый член числового ряда ∑uₙ не стремится к 0 при n→∞, то числовой ряд ∑uₙ расходится
• если числовой ряд ∑uₙ сходится, то n-ый член ряда стремится к 0 при n→∞
• если n-ый член числового ряда ∑uₙ стремится к 0 при n→∞, то ряд ∑uₙ сходится

Среди признаков сходимости ряда есть
Выберите один или несколько ответов:

• признаки неопределенных коэффициентов
• признаки Коши
• нет верных ответов
• признак Даламбера
• признак Лейбница

Точкой локального экстремума функции f(x; y) = 4x² + 7y² – 40x + 14y + 15 является… Ответ записать цифрами в круглых скобках через точку с запятой, например, (-3;3)

Точкой локального экстремума функции z = x³ – 15xy + y³ является…Ответ записать цифрами в круглых скобках через точку с запятой, например, (-3;3)

Укажите среди перечисленных утверждений то, которое соответствует истине:
Выберите один или несколько ответов:

• если функция непрерывна на всём данном интервале, то она интегрируема на этом интервале
• если функция дифференцируема на некотором интервале, то её первообразная выражается в элементарных функциях
• если функция дифференцируема на некотором интервале, то она не всегда имеет на нём первообразную
• если функция дифференцируема на некотором интервале, то она имеет на нём первообразную

Укажите среди перечисленных утверждений то, которое соответствует истине:
Выберите один или несколько ответов:

• если функция непрерывна на всей числовой оси, то она имеет первообразную на ней
• если функция непрерывна на некотором интервале, то она имеет первообразную на нём
• если функция определена на всём данном интервале, то она интегрируема на нём
• если функция дифференцируема на некотором интервале, то её первообразная выражается в элементарных функциях

Укажите среди перечисленных утверждений то, которое соответствует истине
Выберите один или несколько ответов:

• если функция дифференцируема на числовой прямой, то она имеет первообразную в любой ее точке
• если функция определена на всём данном интервале, то она интегрируема на нём
• если функция дифференцируема на некотором интервале, то она имеет на нём первообразную
• если функция дифференцируема на некотором интервале, то её первообразная выражается в элементарных функциях

Укажите сходящиеся числовые ряды
Выберите один или несколько ответов:

• ∑ 1/⁴√(n³ + n)
• ∑ 1/⁸√(n – 4)
• ∑ 1/(n³ + 7n)
• ∑ 1/∛(n⁵ – 5n⁴ + 2)

Укажите тип дифференциального уравнения x²y' – x = y, x ≠ 0
Выберите один ответ:

• однородное
• в полных дифференциалах
• с разделяющимися переменными
• линейное

Укажите тип дифференциального уравнения y' = y/x – 1
Выберите один ответ:

• с разделяющимися переменными
• в полных дифференциалах
• однородное
• линейное

Укажите тип дифференциального уравнения √(y² + 1) dx = xydy
Выберите один ответ:

• с разделяющимися переменными
• в полных дифференциалах
• линейное
• однородное

Укажите частное приращение функции f(x; y) по переменной y:
Выберите один ответ:

• f(x; y+∆y) – f(x; y)
• f(x+∆x; y+∆y)
• f(x+∆x; y+∆y) – f(x; y)
• f(x+∆x; y) – f(x; y)

Уравнение y' – 3xy = (x+1)y² является …
Выберите один ответ:

• линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами
• линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами
• дифференциальным уравнением первого порядка с разделёнными переменными
• дифференциальным уравнением Бернулли

Уравнение вида F(y', y, x) = 0 называется ___ уравнением первого порядка

Уравнением Бернулли является…
Выберите один ответ:

• y' + 2x/y = x³
• y' + xy = x³
• y' – yctgx = y³/sinx
• y'√(1 – x²) = 1 + y²

Установите последовательность этапов нахождения наибольшего и наименьшего значений функции нескольких переменных в ограниченной замкнутой области D

• Найти область определения функции z = f(x, y)
• Найти наибольшие и наименьшие значения функции z = f(x, y) на границах области D.
• Сравнить все найденные значения и выбрать из них наименьшее и наибольшее.
• Найти критические точки функции z = f(x, y) и отобрать из них те, которые являются внутренними точками области D. Вычислить значение функции z в этих точках.
• Определить, включена ли область D в область определения функции

Установите соответствие между знакопеременными рядами и видами сходимости.

• ∑ (–1)ⁿ/(n + 4)!
• ∑ (–1)ⁿ gⁿ
• ∑ (–1)ⁿ/(n + 5)

Установите соответствие между знакопеременными рядами и видами сходимости.

• ∑ (–1)ⁿ⁻¹/ln(n + 1)
• ∑ (–1)ⁿ⁻¹ 1/n²
• ∑ (–1)ⁿ ∙ n

Установите соответствие между знакопеременными рядами и видами сходимости.

• ∑ (–1)ⁿ⁺¹ 1/(2n – √n)
• ∑ (–1)ⁿ (3n² – 1)/(5 + 2n²)
• ∑ (–1)ⁿ⁺¹ 1/nln²n

Установите соответствие между знакопеременными рядами и видами сходимости.

• ∑ (–1)ⁿ/(3n – 2)!
• ∑ (–1)ⁿ(2n + 1)/(n(n + 2))
• ∑ (–1)ⁿ⁺¹ (3 ∙ 7 ∙ … ∙ (4n – 1))/(5 ∙ 8 ∙ … ∙ (3n + 2))

Частное решение уравнения y'' – 4y = 4x имеет вид…
Выберите один ответ:

• y = –x
• y = –2x + 2
• y = e²ˣ + e⁻²ˣ
• y = –4x + 4

Чему равны коэффициенты степенного ряда ∑ (–x)ⁿ/3ⁿ⁺¹?
Выберите один ответ:

• (–x)ⁿ/3ⁿ⁺¹
• 1/3ⁿ⁺¹
• xⁿ/3ⁿ⁺¹
• (–1)ⁿ/3ⁿ⁺¹