Учебник для 7-9 кл_Погорелов А.В_2001 2-е изд -224с (991112), страница 8
Текст из файла (страница 8)
72 Сумма углов треугольника нами А и В равны, то они совпадают с внутренними накрест лежащими углами. Значит, прямая АС совпадает с прямой а, а прямая ВС, совпадает с прямой Ь. Получается, что через точки С и С, проходят две различные прямые а и Ь. А это невозможно. Значит, прямые а и Ь параллельны. Если у прямых а и Ь и секущей АВ сумма внутренних односторонних углов равна 180', то, как мы знаем, внутренние накрест лежащие углы равны. Значит, по доказанному выше прямые а и Ь параллельны.
Теорема доказана. Из теоремы 4.2 следует, что две прямые, перпендшсуляриые третьей, параллельны. Если. у пары внутренних накрест лежащих углов один угол заменить вертикальным ему, то получится пара углов, которые называются соответственными углами данных прямых с секущей. Углы 1 и 2 на рисунке 74 внутренние накрест лежащие, а углы 1 и 3 соответственные. Из равенства внутренних накрест лежащих углов следует равенство соответственных углов, и наоборот. Отсюда получается признак параллельности прямых по соответственным углам.
Именно: прямые параллельны, если соответственные углы равны. Задача (8). Даны прямая АВ и точка С, не лежащая на атой прямой. Докажите, что через точку С можно провести прямую, параллельную прямой АВ. Решение. Прямая АС разбивает плоскость на две полуплоскости (рис. 75). Точка В лежит в одной из них. Отложим от полупрямой СА в другую полуплоскость угол АСЮ, равный углу САВ. Тогда прямые АВ и СВ будут параллельны. В самом деле, для этих прямых и секущей АС углы ВАС и РСА внутренние накрест лежащие.
А так как они равны, то прямые АВ и СХ) параллельны. Сопоставляя утверждение задачи 8 и аксиомы 1Х (основного свойства параллельных прямых), приходим к важному выводу: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести параллельную ей прямую, и только одну. Рис. 73 Рис.
74 44 7 класс 32 Свойство углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей Теорема (обратная теореме 4.2) Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны, а сумма внутренних односторонних углов равна 180'. Рис. 76 если прямая перпендикулярна одной из параллель- ных прямых, то она перпендикулярна и другой. Задача (13). Прямые АС и ВР параллельны, причем точки А и Р лежат по разные стороны от секущей ВС (рис. 77). Докажите, что: 1) углы РВС и АСВ внутренние накрест лежащие относительно секущей ВС; 2) луч ВС проходит между сторонами угла АВ1); 3) углы САВ и РВА внутренние односторонние относительно секущей АВ. Решение.
1) Углы РВС и АСВ внутренние накрест лежащие потому, что точки А и Р лежат по разные стороны от секущей ВС. 2) Луч ВС проходит между сторонами угла АВ.Р потому, что он пересекает отрезок АР с концами на сторонах угла (задача 4). 3) Углы САВ и РВА внутренние односторонние потому, что точки С и Р лежат по одну сторону от секущей АВ, а именно в полуплоскости, где лежит точка Х пересечения отрезков ВС и АР. Рис. 77 Сумма углов гареуголькика Доказательство.
Пусть а и Ь вЂ” параллельные прямые и с — прямая, пересекающая их в точках А и В. Проведем через точку А прямую а, так, чтобы внутренние накрест лежащие углы, образованные секущей с с прямыми а, и Ь, были равны (рис. 76). По признаку параллельности прямых прямые а, и Ь параллельны. А так как через точку А проходит только одна прямая, параллельная прямой д, то прямая а совпадает с прямой а,.
Значит, внутренние накрест лежащие углы, образованные секущей с параллельными прямыми а и Ь, равны. Теорема доказана. Из свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей, следует: 33. Сумма углов треугольника Теорема Сумма углов треугольника равна 180'. Доказательство. Пусть АВС вЂ” данный треугольник.
Проведем через вершину В прямую, параллельную прямой АС. Отметим на ней точку Р так, чтобы точки А и Р лежали по разные стороны от прямой ВС (рис. 78). Углы РВС и АСВ равны как внутренние В накрест лежащие, образованные секущей ВС с параллельными АС и ВР. Поэтому сумма углов треугольника при вершинах В и С равна углу АВР. А сумма всех трех углов треугольника равна сумме углов АВР и ВАС. Так как эти углы внутренние односторонние для параллельных прямых АС и ВР и секущей АВ, то их сумма равна 180'.
Теорема доказана. Из теоремы 4.4 следует, что у любого треугольника хотя бы два угла острые. Действительно, допустим, что у треугольника только один острый угол или вообще нет острых углов. Тогда у этого треугольника есть два угла, каждый из которых не меньше 90'. Сумма этих двух углов уже не меньше 180'. А это невозможно, так как сумма всех углов треугольника равна 180'.
Что и требовалось доказать. Задача (80). Чему равны углы равностороннего треугольника7 Решение. У равностороннего треугольника, как мы знаем, все углы равны. Так как они в сумме дают 180', то каждый из них равен 60'. 34. Внешние углы треугольника Внешним углом треугольника при данной вершине называется угол, смежный с углом треугольника при этой вершине (рис. 79). Чтобы не путать угол треугольника при данной вершине с внешним углом при этой же вершине, его иногда называют внутренним углом. 'Рис. 79 46 т класс Теорема Внешний угол треугольника равен сумме двух вну- тренних углов, не смежных с ним.
Доказательство. Пусть АВС вЂ” данный треугольник (рис. 80). По теореме о сумме углов треугольника ~А + ~В + ~С = 180'. Отсюда следует, что в'.А + в'В = 180' — в'С. В правой части этого равенства стоит градусная мера внешнего угла треугольника при вершине С. Теорема доказана.
Из теоремы 4.5 следует, что А С Рис. 80 внешний угол треугольника больше любого внутрен- него угла, не смежного с ним. Задача (Зб). В треугольнике АВС проведена высота СР. Какая из трех точек А, В, Р лежит между двумя другими точками, если углы А и В треугольника острые г Решение. Точка В не может лежать между точками А и Р. Если бы она лежала между точками А и Р (рис.
81), то острый угол АВС как внешний угол треугольника СВР был бы больше прямого угла СРВ. Точно так же доказывается, что и точка А не может лежать между точками В и Р. Значит, точка Р лежит между точками А и В. Рис. 81 35. Прямоугольный треугольник Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол. Так как сумма углов треугольника равна 180', то у прямоугольного треугольника только один прямой угол. Два других угла прямоугольного треугольника острые.
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 180' — 90' = 90'. Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой, две другие стороны называются катетами (рис. 82). Лаигель Рис. 82 Сумма углов треугольника Отметим следующий признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету: в Если гипотенуза и катет одного прямоугольного тре- угольника соответственно равны гипотенузе и кате- ту другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 83).
А, в 36. Существование и единственность перпендикуляра к прямой Теорема А С Рис. 84 Из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и только один. Доказательство. Пусть а — данная прямая и А — не лежащая на ней точка (рис. 85). Проведем через какую-нибудь точку прямой а перпендикулярную прямую.
А теперь проведем через точку А параллельную ей прямую Ь. Она будет перпендикулярна прямой а, так как прямая а, будучи перпендикулярной одной из параллельных прямых„ перпендикулярна и другой. Отрезок АВ прямой Ь и есть перпендикуляр, проведенный из точки А к прямой а. 48 Г класс Доказательство этого признака дано в виде решения задачи 29 к 5 3. Задача (43).
Докажите, что в прямоугольном треугольнике с углом 30' катет, противолежащий этому углу, равен половине гипотенузы. Решение. Пусть АВС вЂ” прямоугольный треугольник с прямым углом С и углом В, равным 30' Рис. 83 (рис. 84). Построим треугольник ХлВС, равный треугольнику АВС, как показано на рисунке 84. У треугольника АВХ) все углы равны (60'), поэтому он равносторонний. Так как 1 1 АС = — АХ), а А0 = АВ, то АС = — АВ. Что и требовалось доказать. Рис. 85 А, в, Рис. 86 37. Из истории возникновения геометрии Первоначальные сведения о свойствах геометрических фигур люди получили, наблюдая окружающий мир и в результате практической деятельности.
Со временем ученые заметили, что некоторые свойства геометрических фигур можно вывести из других свойств путем рассуждения. Так возникли теоремы и доказательства. Появилось естественное желание по возможности сократить число тех свойств геометрических фигур, которые берутся непосредственно из Сумма углов треугольника Докажем единственность перпендикуляра АВ. Допустим, существует другой перпендикуляр АС.
Тогда у треугольника АВС будут два прямых угла. А это, как мы знаем„невозможно. Теорема доказана. Длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую, называется расстоянием от точки до прямой. Задача (50). Докажите, что расстояния от любых двух точек прямой до параллельной прямой равны. Решение. Пусть а и Ь вЂ” параллельные прямые и А, А, — любые точки на прямой а (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
