Учебник для 7-9 кл_Погорелов А.В_2001 2-е изд -224с (991112), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Пункт 8 27. Проведите прямую. Отметьте на ней какую-нибудь точку А. За тем отметьте на глаз точку В этой прямой так, чтобы АВ = = 5 см. Проверьте точность построения точки В линейкой. По- вторите упражнение для: 1) АВ = 3 см; 2) АВ = 7 см; 3) АВ = 10 см.
) 8 7 класс 28. Постройте на глаз углы 30', 45', 60', 90'. Проверьте точность построения транспортиром. Повторите задание. Существует ли на полупрямой АВ такая точка Х, отличная от В, что АХ = АВ? Объясните ответ. На луче АВ отложен отрезок АС, меньший отрезка АВ.
Какая из трех точек А, В, С лежит между двумя другими? Объясни- те ответ. На луче АВ отмечена точка С. Найдите длину отрезка ВС, ес- ли: 1) АВ = 1,5 м, АС = 0,3 м; 2) АВ = 2 см, АС = 4,4 см. 29. Пункт 9 32. Постройте на глаз треугольник с равными сторонами (равно- сторонний треугольник). Проверьте точность построения изме- рением сторон. 34. На стороне АВ треугольника АВС взята точка 1).
Найдите угол С треугольника, если ~АСР = 30', а ~ВСР = 70'. 35. Начертите какой-нибудь треугольник. Постройте от руки на глаз равный ему треугольник. Проверьте правильность постро- ения, измеряя соответствующие углы и стороны. Повторите упражнение. 36. Треугольники АВС и РЯВ равны. Известно, что АВ = 5 см, ВС= = 6 см, АС = 7 см. Найдите стороны треугольника РОЯ. Объ- ясните ответ. 37. Треугольники АВС и РЯВ равны. Углы второго треугольника известны: ~Р = 40', е'й = 60', Л.В = 80'.
Найдите углы треугольника АВС. 38. Треугольники АВС и РЯВ равны. Известно, что сторона АВ равна 10 м, а угол С равен 90'. Чему равны сторона РЯ и угол В7 Объясните ответ. 39. Треугольники АВС, РЯВ и ХУЯ равны. Известно, что АВ = = 5 см, ЯВ = 6 см, ЯХ = 7 см. Найдите остальные стороны каждого треугольника. Пункт 10 40. Дан треугольник АВС.
Существует ли другой, равный ему треугольник АВР? Пункт 11 Может ли прямая, пересекающая одну из двух параллельных прямых, не пересекать другую? Объясните ответ. Даны две пересекающиеся прямые. Можно ли провести третью прямую, параллельную каждой из двух данных? 41. 42.
Пункт 12 43. Может ли прямая, не проходящая ни через одну из вершин треугольника, пересекать каждую его сторону7 Почему7 Основные своиства вростеишик геометри. ческик фигур 33. На стороне АВ треугольника АВС взята точка Р. Чему равна сторона АВ треугольника, если АР = 5 см, а ВР = 6 см? Рис. 28 Рис. 29 Рис.
30 44'. Даны четыре точки А, В, С и Р. Известно, что точки А, В, С 50. 51. ~О 7 класс 45 46 47 48 лежат на одной прямой и точки В, С, Р также лежат на од- ной прямой. Докажите, что все четыре точки лежат на одной прямой. Даны четыре прямые а, Ь, с и с(. Известно, что прямые а, Ь, с пересекаются в одной точке и прямые Ь, с, 4 также пересе- каются в одной точке. Докажите, что все четыре данные пря- мые проходят через одну точку.
Точки А, В, С, Р не лежат на одной прямой. Известно, что прямая АВ пересекает отрезок СР, а прямая СР пересекает от- резок АВ. Докажите, что отрезки АВ и СР пересекаются. Дан треугольник АВС. На стороне АС взята точка Вм а на сто- роне ВС вЂ” точка А,. Докажите, что отрезки АА, и ВВ, пере- секаются (рис. 28). Отрезки АВ и СР, не лежащие на одной прямой, пересекают- ся в точке Е. Докажите, что отрезок АС не пересекает прямую ВР (рис. 29). Пункт 13 Докажите, что если луч, исходящий из вершины угла, пере- секает отрезок АВ с концами на сторонах угла, то он пересе- кает: 1) отрезок АС с концами на сторонах угла; 2) любой от- резок СР с концами на сторонах угла (рис. 30). Докажите, что две прямые либо параллельны, либо пересека- ются в одной точке.
Точки А и С принадлежат прямой а. На полупрямой СА отло- жен отрезок СВ, больший отрезка СА. 1) Какая из трех точек А, В, С лежит между двумя другимиу Объясните ответ. 2) До- кажите, что точка А разбивает прямую а на две полупрямые АВ и АС. ' Цветом отмечены задачи повышенной трудности. Смежные и вертикальные углы 14. Смежные углы Определение. Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми.
На рисунке 31 углы (а,Ь) и (атд) смежные. У вих сторона Ь общая, а стороны аг и аз являются дополнительными полупрямыми. Пусть С вЂ” точка на прямой АВ, лежащая между точками А и В, а Р— точка, не лежащая на прямой АВ (рис. 32). Тогда углы ВСР и АСР смежные. У них сторона СР общая. Стороны СА и СВ являются дополнительными полупрямыми прямой АВ, так как точки А и В этих полупрямых разделяются начальной точкой С. а А а, Риа. 31 Теорема Сумма смежных углов равна 180'.
Доказательство. Пусть а (а,Ь) и ~(азЬ) — данные смежные углы (см. рис. 31). Луч д проходит между сторонами а1 и ау развернутого угла. Поэтому сумма углов (а1Ь) и (азЬ) равна развернутому углу, т. е. 180'. Теорема доказана. Из теоремы 2.1 следует, что если два угла равны, то смежные с ними углы равны. Из теоремы 2.1 следует также, что Рис.
32 если угол не развернутый, то его градусная мера меньше 180'. Задача (3). Найдите смежные углы, если один из них в два раза больше другого. Решение. Обозначим градусную меру меньшего из углов через х. Тогда градусная мера большего угла будет 2х. Сумма углов равна 180'. Итак, х + 2х = Смежные и Вертикальные углы 21 Прямой угол Острый угол 7улой угол = 180, Зх = 180. Отсюда х = 60.
Значит, наши Рнс. 33 смежные углы равны 60' и 120'. Угол, равный 90', называется прямым углом. Из теоремы о сумме смежных углов следует, что угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол. Угол, меньший 90', называется острым углом. Угол, больший 90' и меньший 180', называется тупым. Так как сумма смежных углов равна 180', то угол, смежный с острым углом, тупой, а угол, смежный с тупым углом, острый.
На рисунке 33 изображены три вида углов. Рис. 34 1 5. Вертикальные углы Определение. Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого. На рисунке 34 углы (а,Ь1) и (агЬг) вертикальные. Стороны аг и Ьг второго угла — дополнительные полупряме сторон а, и Ь, первого угла. Теорема Вертикальные углы равны. Доказательство.
Пусть (а,Ь1) и (агЬг) — данные вертикальные углы (рис. 34). Угол (агЬг) является смежным с углом (а1Ь,) и с углом (а Ь ). Отсюда по теореме о сумме смежных углов заключаем, что каждый из углов (а,Ь,) и (агЬг) дополняет угол (а,Ьг) до 180', т.е. углы (а,Ь1) и (а Ьг) равны. Теорема доказана. 22 7 класс Задача (9).
Сумма двух углов, которые получаются при пересечении двух прямых, равна 50'. Найдите эти углы. Решение. Рис. 35 Два угла, которые получаются при пересечении двух прямых, либо смежные, либо вертикальные (рис. 35). Данные углы не могут быть смежными, так как их сумма равна 50', а сумма смежных углов равна 180'.
Значит, они вертикальные. Так как вертикальные углы равны и по условию их сумма 50', то каждый из углов равен 25'. 16. Перпендикулярные прямые Пусть а и Ь вЂ” прямые, пересекающиеся в точке А (рис. 36). Каждая из этих прямых точкой А делится на две полупрямые. Полупрямые одной прямой образуют с полупрямыми другой прямой четыре угла. Пусть а — один из этих углов. Тогда любой из остальных трех углов будет либо смежным с углом а, либо вертикальным с углом а.
Отсюда следует, что если один из углов прямой, то остальные углы тоже будут прямые. В этом случае мы говорим, что прямые пересекаются под прямым углом. Определение. Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом (рис. 37). Перпендикулярность прямых обозначается знаком .1. Запись а .1 Ь читается: «Прямая а перпендикулярна прямой Ь». Теорема Рис. 37 Через каждую точку прямой можно провести пер- пендикулярную ей прямую, и толысо одну. Доказательство. Пусть а — данная прямая и А — данная точка на ней. Обозначим через а, одну из полупрямых прямой а с начальной точкой А (рис.
38). Отложим от полупрямой а, угол (а,Ь,), равный 90'. Тогда прямая, содержащая луч Ь„будет перпендикулярна прямой а. Смежкые и вертикальные углы 23 Допустим, что существует другая прямая,проходящая через точку А и перпендикулярная прямой а. Обозначим через с, полупрямую этой прямой, лежащую в одной полуплоскости с лучом Ьп Углы (а1Ь1) и (а,с1), равные каждый 90', отложены в одну полуплоскость от полупрямой пп Но от полупрямой а, в данную полуплоскость можно отложить только один угол, равный 90'. Поэтому не может быть другой прямой, проходящей через точку А и перпендикулярной прямой а. Теорема доказана.
Определение. Перпендикуляром к данной прямой называется отрезок прямой, перпендикулярной данной, который имеет одним из своих концов их точку пересечения. Этот конец отрезка называется основанием перпендикуляра. На рисунке 39 перпендикуляр АВ проведен из точки А к прямой а. Точка  — основание перпендикуляра. Для построения перпендикуляра пользуются чертежным угольником (рис. 40). 17. Доказательство от противного Способ доказательства, который мы применили в теореме 2.3, называется доказательством от противного.
Этот способ доказательства состоит в том, что мы сначала делаем предположение, противоположное тому, что утверждается теоремой. Затем путем рассуждений, опираясь на аксиомы и доказанные теоремы, приходим к выводу, противоречащему либо условию теоремы, либо одной из аксиом, либо доказанной ранее теореме. На этом основании заключаем, что наше предположение было неверным, а значит, верно утверждение теоремы. Поясним это на примере доказательства теоремы 2.3. Теоремой утверждается, что через каждую точку прямой можно провести только одну перпендикулярную ей прямую.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
