Учебник для 7-9 кл_Погорелов А.В_2001 2-е изд -224с (991112), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Допустив, что таких прямых можно провести две, мы пришли к выводу, что от данной полупрямой в данную полуплоскость можно отложить два угла с одной и той же градусной мерой (90'). А это противоречит аксиоме откладывания углов. Согласно этой аксиоме от данной полупрямой в данную полуплоскость можно отложить только один угол с данной градусной мерой.
Рис. 39 Рис. 40 7 класс 18. Биссектриса угла Определение'. Биссектрисой угла называется луч, который исходит из вершины угла, проходит между его сторонами и делит угол пополам. На рисунке 41 вы видите угол (аЬ). Луч с исходит из вершины угла, проходит между его сторонами и делит угол пополам: ~(аЬ) ~4ас) = ~(Ьс) = 2 Рис. 41 Задача (17).
Докажите, что биссектриса угла образует с его сторонами углы не больше 90'. Решение. Мы знаем, что градусная мера любого угла не больше 180'. Поэтому половина ее не больше 90'. 19. Что надо делать, чтобы успевать по геометрии При изучении геометрии незнание чего- либо из пройденного материала может быть причиной непонимания нового материала. Приведем пример. Допустим, на уроке учитель доказывает теорему о равенстве вертикальных углов. Как вы знаете, в этом доказательстве используются определение смежных углов и теорема о сумме смежных углов.
Если вы не знаете, какие углы называются смежными, не знаете теоремы о сумме смежных углов, то вы это доказательство не поймете. В результате этот урок будет для вас пустой тратой времени. И к вашему незнанию смежных углов прибавится незнание теоремы о равенстве вертикальных углов. Поэтому для того, чтобы хорошо успевать по геометрии, нужно знать основные результаты изученного материала. А для этого надо повторять пройденный материал по контрольным вопросам. Повторять пройденный материал по контрольным вопросам надо так.
Прочитайте вопрос. Уясните его себе. Если требуется дать определение какой-либо фигуры, мысленно дайте такое определе- Сжежн»пе и верн«скал»нвпе Лгпж В дальнейшем слово «определенне» писать не будем, а определяемое понятие будем выделять жирным шрифтом. ние. Полезно сделать от руки чертеж определяемой фигуры. Если в вопросе речь идет о теореме, сформулируйте ее, уясните себе, в чем условие и заключение этой теоремы.
Сделайте чертеж, иллюстрирующий содержание теоремы. Доказательство теоремы при каждом повторении давать необязательно. Повторяйте пройденный материал каждый раз, когда при изучении нового материала вы обнаруживаете незнание чего-либо. Задачи Пункт 14 Найдите углы, смежные с углами 30', 45', 60', 90'. Могут ли два смежных угла быть оба: 1) острыми; 2) тупыми; 3) прямыми? Обоснуйте ответ. Найдите смежные углы, если один из них в два раза больше другого. Найдите смежные углы, если: 1) один из них на 30' больше другого; 2) их разность равна 40', 3) один из ннх в три раза меньше другого; 4) они равны. Какой угол образуют часовая и минутная стрелки часов, ког- да они показывают: 1) 6 ч; 2) 3 ч; 3) 4 ч7 Найдите смежные углы, если их градусные меры относятся как: 1) 2:3; 2) 3:7; 3) 11:25; 4) 22:23.
Пункт 15 Один из углов, которые получаются при пересечении двух пря- мых, равен 30'. Чему равны остальные углы7 1. 2. 26 г класс Контрольные вопросы 1. Какие углы называются смежными? 2. Докажите, что сумма смежных углов равна 180'. 3. Докажите, что если два угла равны, то смежные с ними углы также равны. 4. Какой угол называется прямым (острым, тупым)7 5. Докажите, что угол, смежный с прямым, есть прямой угол. 6. Какие углы называются вертикальными7 7. Докажите, что вертикальные углы равны. 8.
Докажите, что если при пересечении двух прямых один из углов прямой, то остальные три угла тоже прямые. 9. Какие прямые называются перпендикулярными7 Какой знак используется для обозначения перпендикулярности прямых? 10. Докажите, что через любую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну.
11. Что такое перпендикуляр к прямой? 12. Объясните, в чем состоит доказательство от противного, 13. Что называется биссектрисой угла7 Чему равен угол, если два смежных с ним угла составляют в сумме 100'? Сумма двух углов, которые получаются при пересечении двух прямых, равна 50', Найдите эти углы. Один из углов, образованных при пересе- чении двух прямых, в четыре раза боль- ше другого. Найдите эти углы.
Один из углов, которые получаются при пересечении двух прямых, на 50' мень- ше другого. Найдите эти углы. Найдите углы, которые получаются при пересечении двух прямых, если сумма трех из этих углов равна 270'. 10. Рис. 42 12. Пункт 16 Докажите, что если три из четырех уг- лов, которые получаются при пересече- нии двух прямых, равны, то прямые пер- пендикулярны. Как с помощью линейки проверить, яв- ляется ли прямым угол в чертежном угольнике (рис. 42)? 13.
14. С О А Рис. 43 Пункт 18 Чему равен угол между биссектрисой и стороной данного уг- ла, равного: 1) 30'; 2) 52', 3) 172'? Найдите угол, если его биссектриса образует со стороной угол, равный: 1) 60'; 2) 75', 3) 89'. Докажите, что биссектриса угла образует с его сторонами уг- лы не больше 90'. Докажите, что если луч исходит из вершины угла и образует с его сторонами равные острые углы, то он является биссект- рисой угла. Найдите угол между биссектрисами смежных углов. Докажите, что биссектрисы вертикальных углов лежат на од- ной прямой.
Найдите угол между биссектрисой и продолжением одной из сторон данного угла, равного: 1) 50", 2) 90'; 3) 150'. 15 16 17 18 19 20 21 полуплоскость, где проходит общая сторона ОВ углов (рис. 43). Докажите, что луч ОР пересекает либо отрезок АВ, либо отрезок ВС. Какой из отрезков пересекает луч ОР, если угол АОР меньше (больше) угла АОВ? Объясните ответ. Смежные и вертикалвные углы Пункт 19 22. Из вершины О смежных углов АОВ и СОВ проведен луч ОР в 23. Из вершины развернутого угла (аа,) в одну полуплоскость проведены лучи Ь и с.
Чему равен угол (Ьс), если: 1) ~(аЬ) = = 60', ~(ас) = 70', 2) ~(адЬ) = 60', ~(ас) = 70', 3) ~(аЬ) = = 60', ~4а,с) = 30'7 24. Из вершины развернутого угла (аа,) проведены лучи д и с в одну полуплоскость. Известно, что ~(аЬ) = 60', а ~(ас) = 30'. Найдите углы (а,Ь), (а1с) н (Ьс). 25. От полупрямой АВ в разные полуплоскости отложены углы ВАС и ВАВ. Найдите угол САЮ, если: 1) ~ВАС= 80', ~ВА11 = = 170', 2) ~ВАС = 87', ~ВАЛ = 98', 3) ~ВАС = 140', ~.ВАВ = = 30', 4) ~ВАС = 60', с'.ВАЛ = 70'. 26. Даны три луча а, Ь, с с общей начальной точкой. Известно, что ~(аЬ) = ~(ас) = ~(Ьс) = 120'.
1) Проходит ли какой-нибудь из этих лучей между сторонами угла, образованного двумя другими лучами7 2) Может ли прямая пересекать все три данных луча7 Объясните ответ. Признаки равенства треугольников 20. Первый признак равенства треугольников Теорема (признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними) Если две стороны и утоп между ними одного треуиыпвика равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треупыплика, то такие треугольники равны.
Доказательство. Пусть у треугольников АВС и А,В,С, ~А - ~А„АВ = А,В„АС = А,С, (рис. 44). Докажем, что треугольники равны. Рис. 44 28 7 класс а) С, Пусть А,ВгСг — треугольник, равный треугольнику АВС, с вершиной Вг на луче А~В1 и вершиной Сг в той же полуплоскости относительно прямой А,В,, где лежит вершина С~ (рис. 45, а). Так как А,В, = А,Вгз то вершина Вг совпадает с вершиной В, (рис, 45, б). Так как ~В,А,С,= = л'В А,Сг, то луч А,Сг совпадает с лучом А,С, (рис.
45, в). Так как А,С, = А,С, то вершина С совпадает с вершиной С, (рис. 45, г). Итак, треугольник А,В,С, совпадает с треугольником А,В С, значит, равен треугольнику АВС. Теорема доказана. Задача (1). Отрезки АВ и СР пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. Чему равен отрезок ВР, если отрезок АС = 10 м? Решение. Треугольники АОС и ВОР равны по первому признаку равенства треугольников (рис.
46). У них углы АОС и ВОР равны как вертикальные, а ОА = ОВ и ОС = ОР потому, что точка О является серединой отрезков АВ и СР. Из равенства треугольников АОС и ВОР следует равенство их сторон АС и ВР. А так как по условию задачи АС = 10 м, то и ВР = 10 м. в, в, А, б) С, С А, Ве(В,) в) С, В,(В,) А, г) С,(С,) 21. Использование аксиом при доказательстве теорем Как мы знаем, при доказательстве теорем разрешается пользоваться аксиомами и доказанными ранее теоремами. Обычно в доказательстве ссылаются не на номер аксиомы по списку, а на ее содержание. Именно таким образом мы поступали в доказательстве первого признака равенства треугольников (теорема 3.1).
Разберем еще раз это доказательство, указывая аксиомы, которые в нем используются. Доказательство начинается словами: «Пусть А,В С вЂ” треугольник, равный треугольнику АВС, с вершиной Вг на луче А«В1 и вершиной С, в той же полуплоскости относительно прямой А,В„ где лежит вершина С,». Такой треугольник, как мы знаем, существует по аксиоме УП1.
В,(ВД А, Рис. 45 Рис. 46 Признаки равенства треугольников 29 Далее утверждается совпадение вершин В~ и В на том основании, что А,В = А,В . Здесь используется аксиома откладывания отрезков (аксиома У1). Затем утверждается совпадение лучей А,Сз и А,С, на том основании, что ~В1А1С1 = ~ВзА,Сз. Здесь используется аксиома откладывания углов (аксиома ЧП). Наконец, утверждается совпадение вершин С, и См так как А,С, = АзСм Здесь снова используется аксиома У1. Мы видим, что данное доказательство теоремы 3.1 опирается только на аксиомы. 22. Второй признак равенства треугольников Теорема (признак равенства треугольников по стороне и прилежащим к ней углам) Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. Доказательство. Пусть АВС и А,В,С, — два треугольника, у которых АЗ=А,В„~А= ~А, и Л.В=~В, (рис. 47). Докажем, что треугольники равны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
