Зи - Физика полупроводниковых приборов том 1 (989591), страница 43
Текст из файла (страница 43)
)19) Уравнение (19) определяет число электронов в единице объема со скоростями в интервале от х) до с + гЬ, двигающихся в любых направлениях, Разлагая скорость электронов на компоненты вдоль осей и выбирая ось х параллельно направлению переноса, имеем х).р + сгг + х)2' (20) После преобразования 4лх)'гЬ = аЪ„гЬ„сЬ2 из уравнений (16), (19) и (20) получаем /.
29 ( — „) ехр) — |Я„)ЕТ)Х Контакты металл — полупроводник 269 Здесь фа — = ~и + ~ы н (24) — эффективная постоянная Ричардсона для термоэлектронной эмиссии в пренебрежении рассеянием на оптических фононах и квантовомеханическим отражением (разд. 5,4.3). Для свободных электронов постоянная Ричардсона А равна 120 А см-'- К-'.
Если учесть понижение потенциального барьера ва счет силы изображения, то в уравнении (23) высоту барьера фэ нужно уменьшить на Лф. Для полупроводников с изотропной эффективной массой в нижнем минимуме зоны проводимости, таких, как баАз п-типа, А*/А = и'~т„где и* и ~п, — соответственно эффективная масса и масса свободного электрона.
Для многодолинных полупроводников соответствующая постоянная Ричардсона А* для каждого энергетического минимума задается выражением (13) — (11т„'т* + фи*т' + абдт'т,*) ~~'- (25) тО где 1„1, и 1, — косинусы углов между нормалью к' плоскости контакта и главными осями эллипсоидов, и,', т,' и и,* — компоненты тензора эффективной массы. Минимумы зоны проводимости германия расположены на краю вонь; Бриллюэна в направлении (111), Эти минимумы эквивалентны четырем эллипсоидам о продольной массой т1 = 1,64т, и поперечной т~ — — 0,082 т,.
Сумма всех А1 минимальна в направлении (111): ( — ) тнт, + ~(то'+ 8т(тд'4~т, = 1,11. (2б) Максимальным оказывается значение А* в направлении (100)~ Минимумы зоны проводимости кремния расположены в направлении (100). При этом т,* = 0,98т„а т~ = 0,19т,. Все минимумы дают одинаковый вклад в ток в направлении (111), в котором достигается максимальное зна чение А *:. А /к — Б1<п1> то ~ 3 Минимальное значение А* достигается здесь в направлении (100)~ ( — ) = 2тнт, + 4 ~т,'и,")'~~т, 2,1.
(29) 2то Валентные зоны бе, Ы и баАз имеют два энергетических минимума при и = О. Поэтому ток, создаваемый легкими и тяжелыми дырками, практически не зависит от направления, Суммируя вклад этих двух типов носителей, получаем ( *) А — ) = (тпй+ вт иь)~тпо. А Р-типа Значения величин А*/А для этих пол) проводников приведены в табл. 1 [13 ]. Поскольку высота барьера для электронов, двигающихся из металла в полупроводник, остается неизменной, величина соответствующего тока не зависит от приложенного напряжения.
В термодинамическом равновесии (т. е. при 1' = О) этот ток равен току, текущему из полупроводника в металл. Соответствующая плотность тока получается из уравнения (23) подстановкой $'=О: .р' = — А Т ехр~ — — ~~. е / Чаво 1 Ри -~а ьт (' (31) Сумма выражений (23) и (31) представляет собой плотность пол- ного тока: Т„= [А"Т'ехР ( — еет") ] [ехР ( ет ) — !] [ехр ( еет) — 1], (ал где Тхх и А"Т'ехр ( — реет~"). (33) Таблица 1.
Значения Аа/А Полупроводнии 0,34 1',11 0,66 2,2 р-типа и-типа (111) и-типа (100) 0,62 0,066 (слабые поля), 1,2 (сильные полн) 0,068 (слабые поля), !,2 (сильные поля) 2,1 Уравнение (32) имеет тот же вид, что и уравнение для плотности тока в р — п-переходе, однако выражения для плотности тока на- сыщения различаются.
Контакты металл — полупроводник 271 $.4,2, Диффузионная теория Диффузионная теория Шоттки 14) основана на аледующих предположениях: 1) высота барьера много больше ИТ; 2) рассеяние электронов при их движении в обедненном слое играет су1цественную роль; 3) концентрация носителей при х = О и х = Ж не зависит от тока (т. е. она совпадает со своим равновесным значением) 4) концентрация примесей в полупроводнике достаточно мала, и вырождение отсутствует. В данном случае приходится учитывать обе компоненть) электрического тока (диффузионную и полевую): е„[ ехр [ — — ] Ых ро„[п )х)ехр [ — — „][ 135) о с граничными условиями ~1~(о) = — ~(1~„+ Р~) = — аФ,„, дР(Ж) = дУ„ф1, п)0) — Жеехр [ — ] = Упехр ( — — "), Ес(О) — Е) 1 р ЧФв)х ~ п))Р) и Мпехр ( — — 1.
ЧхП и l' (36) Подставляя уравнение (36) в выражение (35), находим 3 -днеО,[ехр ~ Е )) — 1]/]ехр [ — „*1 ]дх. )37) Распределение потенциала в барьере Шоттки в пренебрежении силами изображения определяется уравнением (б): аЧ)о / х' ~ дУ (Х) = —, ( Ф'Х вЂ” — ) — дФаа. (34) В стационарном случае плотность тока не зависит от х и урав пение (34) можно проинтегрировать, предвари гельно умножив его на ехр 1 — дУ (х)lйТ). В результате получим Глава р Подставив его в уравнение (3?) и выразив К через Кд -)- 1г, получим окончательно и ЧЧ)„Ие Гдяы — )г) 2Л)п 1цв х ит к'"Р ( ~м г)) [ехР ( г ) — 1)=ум(ехр ( — ) — 3], (38) Выражения для плотносги тока в теории термоэлектронной эмиссии и в диффузионной теории (уравнения (32) и (38)) в основном очень похожи, однако в диффузионной теории «плотность тока насыщения» У,„сильнее зависит от напряжения и менее чувствительна к температуре, чем /зт в теории термоэлектронной эмиссии.
6,4,3. Термоэмиссионно-диффузионная теория Обобщение двух описанных выше теорий было сделано Кроуэл. лом и Зи 1141. В этой теории в качестве граничного условия используется скорость термоэлектронной рекомбинации оа на поверхности раздела металл — полупроводник. Поскольку диффузия носителей существенно зависит от распределения потенциала, мы будем сразу учитывать понижение потенциального барьера за счет эффекта Шоттки (рис. 8). Рассмогрим случай, когда высота барьера настолько велика, что плотность заряда в области между поверхностью металла и х = Я7 полностью определяется концентрацией заряженных доноров 4-гт Л-Я Ъ Рис.
8. Энергетическая диаграмма контакта о учетом эффекта Шоттки. дф (х) — потенциальная энергия электрона, дФ (х) положение кваэиуровня Ферми. Контакты металл — полупроводник Фарп Х = — апи —. к» (39) Здесь и — плотность электронов в точке х~ и = Ксе — в('р -ц'у~ит (40) где Ус — эффективная плотность состояний в зоне проводимости, Т вЂ” температура электронов, Будем предполагать, что область между х и И~ изотермична и, кроме того, температура электронов равна температуре решетки.
Поскольку область барьера между х и поверхностью раздела (х = О) действует как сток для электронов, ток носителей можно описать выражением, воспользовавшись скоростью эффективной поверхностной рекомбинации пл в максимуме потенциальной энергии: Х=д(ит ир)пл (41) где и — плотность электронов в точке х при протекании тока, и, — концентрация электронов, которая была бы в равновесии (К = О) при той же высоте и том же положении максимума потенциала р)р (х). Как ~р, так и ~р удобно измерять относительно уровня Ферми в металле. При этом ср(Ю') = — Р, ио = Ксе — в'рв.~лг, Лр ~ — ЧЧ' (хпр) — ЧЧви 1 р (42) где драоо — высота барьера, д~ (х ) — расстояние до квази- уровня Ферми в точке х . Подставив выражение (40) в выражение (39) и интегрируя от х до В', получим ехр [ рр~*",~ ) — ехр ( р ) = — ) ехр (:,рр)~о. (43) хт (т.
е. К является границей обедненного слоя). Как уже говорилось выше, максимум дф вблизи границы раздела металл — полупроводник обусловлен наложением двух электрических полей: поля ионизированных доноров (штриховая линия) и поля силы изображения, притягивающего электрон к металлу. Как пока.занона рис.8, приложенное напряжение Р создает поток электронов из полупроводника в металл. На этом рисунке показан также изменяющийся в области барьера квазиуровень Ферми, соответствующий полному току 1: Глава а Используя затем выражения (41) — (43), найдем ехр ( — е" ) [ехр ( —.) — 1), 144) где [ —,'„, ехр [ — +44..+Р)14 — эффективная скорость диффузии, описывавшая перенос электронов от границы обедненного слоя (точки В') к точке максимума потенциальной энергии. Если предположить, что функция распределения электронов при х ~ х„, максвелловская, и если никакие электроны, кроме тех, которые связаны с плотностью тока 4/п,оя, не возвращаются из металла, то полупроводник ведет себя как термоэлектронный эмиттер.
При этом ов оказывается равной средней тепловой скорости: ехр ( — тви;"/2ИТ) Йо„= 1 о), — — ) о„ех р ( — т*о,'/2АТ) ~Ь„ 4) У рверй'ехр ( — Ере" ) [ехр ( — ) — 1). 447) Лля учета влияния сил изображения при вычислении оо нужно в выражение (45) подставить соответствующее выражение для )1): )1) = 41)в„+ Лгр — В'х — — „, (48) где Ьср — понижение потенциального барьера, определяемое из формулы (15а) (в предположении, что электрическое поле посто- = ~ЯТ/2т'"п))~~ = А "ТР/~д1Чс, (46) где А* — эффективная постоянная Ричардсона, значения которой приведены в табл. 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
