[7] Диэлектрические Материалы (987507), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

Механическое напряжение  создает механическую дефор­мацию  (отрезок 1), подчиняющуюся при малых  и  зако­ну Гуна: деформация, возникающая в теле под действием силы, пропорциональна этой силе.

_ij=S_ijkl _kl (7.8.2)

где _ij —механическая деформация — явление (тензор второ­го ранга); S_ijkl — упругость — свойство (скаляр); _kl — тен­зор напряжения — воздействие.

Из уравнения следует, что деформация кристалла зависит не только от направления и типа приложенного напряжения. Так, например, одноосное растягивающее напряжение, кото­рое в изотропном теле вызвало только растяжение вдоль той же оси (и поперечное сокращение), в кристалле может вы­звать растяжение, сжатия и сдвиги в любых направлениях в зависимости от того, какова симметрия этого кристалла. Воздействие приложенного электрического поля Е вызы­вает электрическую поляризацию, характеризуемую вектором поляризации Р или вектором индукции D (отрезок 2) .

В изотропном диэлектрике диэлектрическая проницаемость g (обозначаемая нестандартно, чтобы не спутать с деформа­цией ) и диэлектрическая восприимчивость  скалярны, а векторы Е, Р, D коллинеарны и связаны между собой соот­ношениями:

(7.8.3)

где g₀ = 8,85*10¹² Ф/м.

В
анизотропном диэлектрике, в общем случае (рис. 7.8.2), электрические заряды смещаются не по направлению приложенного электрического поля, и векторы Р, Е и D не совпадают по направлению.

Рис. 7.8.2

Поле Е, направленное, например, вдоль какой-либо из осей координат, создает в кристалле индукциюD, имеющую компоненты, в общем случае, по трем осям координат: D_;=f(E₁, Е₂,, Е₃) . Обратно, любая из компонент вектора D зависит от всех трех компонент вектора Е. Для случая, когда связь между D и Е линейна, составляющие векторов D и Е записываются в виде:

D₁= g₁₁E₁+ g₁₂E₂+ g₁₃E₃; D₂= g₂₁E₁+ g₂₂E₂+ g₂₃E₃; D₃= g₃₁E₁+ g₃₂E₂+ g₃₃E₃;

Очевидно, что любая компонента g_ij характеризует количественное соотношение между напряженностью Е_j, внешнего электрического поля вдоль j-й оси координат и, вызванной этим полем, индукции D электрического поля в кристалле вдоль i-й оси координат. На основании закона сохранения энергии можно показать, что тензор g_ij симметричен, т.е. g_ij=g_ji Это означает, что если электрическое поле, направленное по оси X₁, создает в кристалле индукцию по оси X₂, то такое же поле, направленное по оси Х₂, будет создавать такую же индукцию по оси Х₁. Таким образом,

g₁₂= g_{21 ,} g₁₃= g₃₁, g₂₃= g₃₂ (7.8.4).

На основании (3.4) можно (3.3) записать в виде

g₁₁ g₁₂ g₁₃

0 g₂₂ g₂₃

0 0 g₃₃

(7.8.5)

Заметим, что тензор g_ij как всякий симметричный тензор вто­рого ранга можно привести к главным осям, так что в нем останутся лишь три диагональные компоненты, а остальные будут равны нулю. Главные оси в кристалле — это те направ­ления, вдоль которых вектор воздействия и вектор возникаю­щего явления совпадают по направлению. В главных осях (7.8.5) принимает вид

g₁₁ 0 0

0 g₂₂ 0

0 0 g₃₃

g₁ 0 0

0 g₂₂ 0

0 0 g₃

(7.8.6)

где g₁₁, g₂₂., g₃₃ — главные значения компонент тензора ди­электрической проницаемости. В дальнейшем обозначим их как g₁, g₂, g₃.

Вид тензора g_ij и ориентировка главной системы коорди­нат в кристалле зависят от симметрии кристалла.

Для того, чтобы наглядно представить анизотропию и сим­метрию физических свойств кристалла, описываемых тензо­ром второго ранга, удобно воспользоваться геометрической интерпретацией этого тензора. Если тензор А_ij описывающий физическое свойство кристалла, симметричен, т. е. А_ij= А_ji , то тензор можно представить с помощью поверхности второго порядка. Если в общее уравнение поверхности второго по­рядка

S_ijxix_j= 1 (i,j=1,2,3) (7.8.7)

в качестве коэффициентов S_ij подставить компоненты сим­метричного тензора второго ранга A_ij, то получим уравнение поверхности второго порядка, которое называется характерис­тической поверхностью тензора второго ранга. Важным свой­ством поверхности второго порядка является то, что она об­ладает тремя взаимно перпендикулярными главными осями. Если отнести уравнение (3.7) к главным осям, то оно при­нимает вид

A₁₁x₁²+ A₂₂x₂² +A₃₃x₃²=1 (7.8.8)

где A₁₁, A₂₂, A₃₃ — главные значения тензора второго ранга. Если величины A₁₁, A₂₂, A₃₃ — положительны, то поверхность, определяемая уравнением (3.8) представляет собой эллипсоид, длины полуосей которого — а=1/A₁₁, b=1/A₂₂, с=1/A₃₃. Влияние симметрии на форму характеристичес­кой поверхности тензора диэлектрической проницаемости при­ведена в табл. 7.8.1.

Таблица 7.8.1

Случай g₁=g₂=g₃ означает, что кристаллы кубической сингонии изотропны в отношении диэлектрической прони­цаемости.

Случай g₁=g₂g₃ означает, что для полного определе­ния диэлектрической проницаемости тетрагональной, тригональной и гексагональной систем достаточно измерить всего два значения g: g₃ вдоль главной оси симметрии [001] и g₁=g₂ в плоскости базиса (001).

Случай g₁g₂g₃означает, что для ромбической синго­нии, где главные оси трехосного эллипсоида совпадают с кристаллографическими осями координат, необходимо изме­рить три значения g₁,g₂,g₃. В моноклинной сингонии одна из осей трехосного эллипсоида совпадает с осью 2 или с нор­малью к плоскости m, но эллипсоид может принимать любую ориентацию по отношению к этой фиксированной оси. Поэто­му тензор (7.8.3) имеет вид

g₁₁ g₁₂ 0

g₂₁ g₂₂ 0

0 0 g₃₃

Для полного определения диэлектрической проницаемости мо­ноклинного кристалла надо измерить четыре значения: g_{11 ,} g_{22 ,} g₃₃ и g₁₂. В триклинной сингонии симметрия кристалла не налагаем никаких ограничений па ориентировку характе­ристической поверхности. Для определения свойств нужно измерять все 6 компонент тензора g_ij. Итак, запишем число независимых измерений, необходимых для полного опреде­ления диэлектрической проницаемости кристалла, как и лю­бого свойства, характеризуемого тензором второго ранга, для различных систем:

кубической — 1,

тетрагональной, тригоналыюй и гексагональной — 2,

ромбической — 3,

моноклинной — 4,

триклинной — 6.

Изменение абсолютной температуры dT диэлектрика вы­зывает изменение его энтропии dS:

DS=c/T dT,

где с- теплоемкость.

Левая сторона треугольника на рис. 7.8.1 (отрезок 4) ха­рактеризует, очевидно, электромеханические эффекты; правая (отрезок 5) —электротермические; нижняя (отрезок 6} —тер­моупругие.

Между основными воздействиями и эффектами сущест­вуют не только указанные связи. Рассмотрим их:

1. Механическое напряжение  может вызвать электриза­цию кристалла вследствие прямого пьезоэлектрического эф­фекта (отрезок 7). При прямом пьезоэлектрическом эффекте возникшее в кристалле электрическое поле может охарактери­зоваться вектором электрической поляризации Р, вектором электростатической индукции D или вектором Е, а действую­щее на кристалл механическое усилие — тензором механичес­ких напряжений _ij или тензором деформации _ij. Таким обра­зом, тензорное воздействие вызывает векторное явление (или обратно) P_i~_i, и, следовательно, связывающее их свойство кристалла должно быть тензором третьего ранга: вектор (тен­зор I)=тензор III x тензор II. В общем случае каждая компо­нента вектора Р связана с каждой компонентой тензора _ij соотношением

Pi=d_ijk_jk,

где d_ijk — тензор пьезоэлектрических модулей.

2. Механическое напряжение  может изменить энтро­пию 5 из-за пьезокалорического эффекта, т. е. нагревания, вы­званного механическим воздействием (отрезок 8).

3. Электрическое поле Е может создать механическую де­формацию кристалла при обратном пьезоэлектрическом эффекте (отрезок 9), причем величина и тип деформации зависят от величины и знака поля. Изменение формы кристалла под действием приложенного электрического поля, подчиняется уравнению _ij=d_ijh- d_ijk E_k.

4. Электрическое поле может вызвать изменение темпера­туры кристалла из-за электрокалорического эффекта (отре­зок 10} обратный пироэлектрическому.

5. Нагревание кристалла может привести к механической деформации из-за теплового расширения (отрезок 11). Одно­родное изменение температуры — воздействие скалярное, по­этому вызванная им деформация должна согласовываться с симметрией кристалла. Все компоненты тензора деформаций в этом случае пропорциональны малому изменению темпера­туры T: _ij=d_ijAT, где d_ij — коэффициенты теплового расши­рения, образующие тензор второго ранга.

6. Нагревание или охлаждение может привести к появле­нию электрической поляризации из-за пироэлектрического эф­фекта (отрезок 12).

7. Электрическая индукция D может вызвать деформацию кристалла путем электрострикции (отрезок 15). Явление электрострикции в общем случае — деформация диэлектрика под влиянием заряженных тел.

8. Электрическая поляризация  может изменить темпера­туру кристалла из-за выделения теплоты поляризации (отре­зок 13). Теплота поляризации — изменение энтропии кристал­ла под действием электрического поля.

9. Механическая деформация  может изменить энтропию кристалла из-за выделения теплоты деформации (отрезок .14).

Характеристики

Список файлов учебной работы